Размышления о ВТФ для Р = 3

[vasili]

Размышление о ВТФ от 09.10.2021.

1.В предыдущем посте я рассмотрел только 2 варианта значений чисел $z,x$, а именно:
--вариант № 1 --$z = m_2 + 2$, а $x = m_1 +2$ и

--вариант № 2 --$z = m_2 - 1$, а $x = m_1 - 1$, где
натуральные числа $m_1, m_2$ принадлежат показателю 3 по модулю $p_2$, а это значит, что
$m_1 ^ 3\equiv m_2 ^ 3\equiv1\mod p_2$,

$m_2 + m_1 +1 = p_2$, $m_1m_2\equiv 1\mod p_2 $, $m_1^2\equiv m_2\mod p_2 $ и .

$m_2^2\equiv m_1\mod p_2 $
Эти значения чисел $z,x$ удовлетворяют сравнению

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $.

2.Однако, вариантов значений чисел $z,x$ оказалось больше 2-х. Я нашел, еще 10 вариантов, значений чисел $z,x$, удовлетворяющих сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, а именно:

--вариант №3 - $z\equiv (2m_1 + 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $,

--вариант №4 - $z\equiv (2m_1 + 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $,

--вариант №5 - $z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (2m_2 + 1)\mod p_2 $,

--вариант №6 - $z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $, а $x\equiv (2m_2 + 1)\mod p_2 $,

--вариант № 7 $z\equiv m_2 – (m_1 - 1)\mod p_2 $, $x\equiv 2\mod p_2 $,

--вариант № 8 $z\equiv m_2 – (2m_1 - 1)\mod p_2 $, а $x\equiv 3\mod p_2 $,

--вариант № 9 $z\equiv (- 4m_1)\mod p_2 $, а $x\equiv 4\mod p_2 $,

--вариант № 10 $z\equiv (- 1)\mod p_2 $, а $x\equiv m_1\mod p_2 $,

--вариант № 11 $z\equiv (- 1)\mod p_2 $, а $x\equiv m_2\mod p_2 $,

--вариант № 12 $z\equiv (m_2 - 3)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1+ 3)\mod p_2 $.

Не исключено, что имеются иные варианты значений чисел $z, x $.

Я прошу прощения участников Форума за поспешный вывод, сделанный мною в предыдущем посте.

3.Теперь следует показать, что все 10 вариантов значений чисел $z,x$ приводят нас к противоречиям.
3.1. Пусть $z ^ 3 + x ^ 3 = (z + x) (z ^ 2 - z x + x ^ 2)\equiv 0\mod p_2 $, отсюда

$-x^3\equiv z^3\mod p_2 $.

Пусть $x ^ 3 + y ^ 3 - z^3\equiv 0\mod p_2 $, отсюда с учетом сравнения

$-x ^ 3\equiv z ^ 3\mod p_2 $ имеем

$y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\equiv 2 z ^ 3\mod p_2 $.

3.2. Возведем полученное последнее сравнение в степень $2n $

$(y ^ 3) ^ {2n}\equiv 2 ^ {2n}(z ^ 3) ^ {2n}\mod p_2 = (6n + 1) $, так как

$(y ^ 3) ^ {2n}= y ^ {6n}\equiv (z ^ 3) ^ {2n} = z ^ {6n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $, то

$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.

3.3. Простые числа $p_2= 6n + 1 $, принадлежащие только 3-м подмножествам $M_1, M_2, M_9$ обладают свойством: $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.
Простые числа $p_2 = 6n + 1$, принадлежащие подмножествам $M_3 - M_8$,
не обладают таким свойством, т.е.
$2 ^ {2n}\not\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.

4. Далее ищем противоречия для всех найденных вариантов значений чисел $z,x$, учитывая формулы Абеля, иные соотношения, а также свойства элементов подмножеств $M_1, M_2, M_9$, а именно:
4.1. $z ^ 2 + z x + x ^ 2\equiv [(z ^ 2 - z x + x ^ 2) + 2z x]\equiv u_1^3\mod p_2 $,

отсюда $2z x\equiv u_1^3\mod p_2 $, где $u_1$ сомножитель числа $y = u_1d_1 $.

4.2. $z - x = d_1 ^ 3$.

4.3. $z ^ 2 - z x + x ^ 2 = (z - x) ^ 2 + z x\equiv 0\mod p_2 $,

$(z - x) ^ 2 = d_1 ^ 6\equiv –z x $.

4.4. $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $(M_1),

$3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $(M_2) и $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $(M_9).
Продолжение следует.

[vasili]

Продолжение Размышления от 09.10.2021 г.

5. Для поиска противоречий сначала будем использовать сравнения, полученные в предыдущем посте.
Найдем значение $(2z x) $ - левой чисти, указанного сравнения для всех вариантов (кроме первых двух) значений чисел $z x $
5.1. $(2z x) $ для варианта №3 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2 (2m_1 +1) (m_1 - 1) = 2(2m_1^2 - 2m_1 + m_1 - 1)\ mod p_2 $, отсюда $)2z x)\equiv 2[2m_2 - (m_1 + 1)]\mod p_2$, тогда

с учетом того, что $(m_1 + 1) = - m_2$ имеем

$(2z x)\equiv u_1^3\equiv 2(3m_2)\mod p_2 $(№3).

Возведем, полученное сравнение (№3) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на
$2 ^ {2n}\equiv 1\ mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n} (m_2) ^ {2n}\mod p_2 $.

Если $2n = 3k$, то $m_2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\equiv [(u_1) ^ 3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1$, то $m_2 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

$(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\equiv m_1\not\equiv [(u_1) ^ 3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2$, то $m_2 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 1$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.2. $(2z x) $ для варианта №4 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv (2m_1 + 1) (m_1 + 2)\equiv (2m_1^2 + 4m_1 + m_1 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_1^2\equiv m_2$, а $(2m_2 + 2m_1 + 2)\equiv 0\mod p_1 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_1)\mod p_2 $ (№4).

Возведем полученное сравнение (№4) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^{2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n} (m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.3. $(2z x) $ для варианта №5 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2(m_2 - 1) (2m_2 + 1)\equiv2 (2m_2^2 + m_2 - 2m_2 - 1)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_2^2\equiv m_1$, а $- (m_2 + 1)\equiv m_1\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_1)\mod p_2 $(№5).

Возведем полученное сравнение (№5) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
Тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.4. $(2z x) $ для варианта №6 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2(m_2 + 2) (2m_2 + 1)\equiv 2(2m_2^2 + m_2 + 4m_2 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_2^2\equiv m_1$, а $(2m_1 + 2m_2 + 2)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_2)\mod p_2 $(№6)

Возведем полученное сравнение (№6) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n}(m_2) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, тогда Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 1$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.5. $(2z x) $ для варианта №7 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2[2(m_2 - (m_1 - 1))]\equiv 2(2m_2 - 2m_1 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что

$(2m_2 + 2m_1 + 2)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(-4m_1)\mod p_2 $(№7).

Возведем полученное сравнение (№7) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 4) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.6. $(2z x) $ для варианта №8 чисел $(z x) $ будет

$ 2[3(m_2 - (2m_1 - 1))]\equiv 2(3m_2 - 6m_1 + 3)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$(3m_2 + 3m _1 + 3)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(-9m_1)\mod p_2 $(№8).

Возведем полученное сравнение (№8) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 9) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 9) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 9) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv (m_1) ^ 2\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 9) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2 $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.7. $(2z x) $ для варианта №9 чисел $(z x) $ будет

$2(-4m_1)(4)\equiv 2 (-16m_1)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2(-16m_1)\mod p_2 $(№9).

Возведем полученное сравнение (№ 9) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 16) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.8. $(2z x) $ для варианта №10 чисел $(z x) $ будет

$2(m_1)(-1)\equiv 2 (-m_1)\mod p_2 $, тогда имеем
.
$(2z x)\equiv 2 (-m_1)\mod p_2 $.

Возведем полученное сравнение (№ 10) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 1) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.9. $(2z x) $ для варианта №11 чисел $(z x) $ будет

$2(m_2)(-1)\equiv 2 (- m_2)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2(-m_2)\mod p_2 $(№11).

Возведем полученное сравнение (№ 11) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 1) ^ {2n}(m_2) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.10. $(2z x) $ для варианта №12 чисел $(z x) $ будет

$2(m_1 + 3)(m _2 - 3)\equiv 2(m_1m_2 – 3m_1 + 3m_2 - 9)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,отсюда $(z x)\equiv 3(m_2 - m_1) - 8\mod p_2 $.
Так как
$z ^ 2 - z x + x ^ 2 = (z + x) ^ 2 - 3z x\equiv 0\mod p_2 $, тогда

$(z + x) ^ 2 - 3z x\equiv 0\mod p_2 для варианта №12 чисел $(z x) $ будет

$(m_2 - 3 + m_1 + 3) ^ 2\equiv (- 1) ^ 2\equiv 3z x\equiv 3[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,
отсюда
$1\equiv 3[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,

$1 + 24 = 25\equiv 9(m_2 - m_1)\mod p_2 $.

Возведем последнее сравнение в 2-ю степень получим

$625\equiv 81(m_1^2 – 2m_1m_2 + m_2^2)\equiv 81(m_2 - 2 + m_1)\mod p_2 $,

$625\equiv 81(m_2 - 2 + m_1) = 81(- 3) = - 243\mod p_2 $, отсюда

$868\equiv 0\mod p_2 $.

Так как $868 = 4\cdot 7\cdot 31$, тогда возможны:

$p_2 =7$
или
$p_2 = 31$.

Пусть $p_2 =7$, тогда $m_2 = 4$ (4^3\equiv 1\mod 7 $) и

$z\equiv m_2 - 3 = 4 -3 = 1\mod 7 $, а $m_1 = 7 -1 - 4 = 2$ и

$x\equiv m_1 + 3 = 2 + 3= 5\mod 7$.

Противоречия:
Используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 1$, где $y = u_1d_1 $.
$z -x = d_1^3$
Пусть $p_2 = 7$, тогда $2n = 2 $.

$(z - x)\equiv (1 - 5) = - 4\equiv d_1^3\mod 7 $

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 2$ получим

$(- 4) ^ 2\equiv (d_1)^6\equiv 1\mod 7$, получили противоречивое сравнение

$(- 4) ^2\equiv 2\not\equiv 1\mod 7 $.

Теперь используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 3, где $y = u_1d_1 $.

$3(z - x)= d_1 ^3 $.

Пусть $p_2 = 7$, тогда $2n = 2 $.

$3(z - x)\equiv 3(1 - 5) = 3(- 4)\equiv (- 5)\equiv d_1 ^ 3\mod 7 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 2$ получим

$(-5) ^ 2\equiv (d_1) ^ 6\equiv 1\mod 7$, получили противоречивое сравнение

$(4)\not\equiv 1\mod 7 $.

Пусть теперь
Пусть $p_2 =31$, тогда $(2n = 10), $m_2 = 25$ (25 ^ 3\equiv 1\mod 31 $) и

$z\equiv m_2 - 3 = 25 -3 = 22\equiv 31 $, а $m_1 = 31 - 1 - 25= 5 $ и

$x\equiv m_1 + 3 = 5 + 3= 8\mod 31 $.

Используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 1$, где $y = u_1d_1 $.
$z - x = d_1^3$

$z - x\equiv 22 - 8 = 14\equiv d_1^3\mod 31 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 10 $ получим

$14 ^ {10} = 2 ^ {10}7 ^ {10}\equiv d_1 ^ {30}\equiv 1\mod 31 $.
Так как
$2 ^ {10} =1024\equiv 1\mod 31 $, а

$7 ^ 3 = 343\equiv 2\mod 31 $ и

$7 ^ {10} = (7 ^ 3) (7 ^ 3) (7 ^ 3)7\equiv (7) (2^3) = 56\equiv m_2 = 25\mod 31 $,
тогда получим противоречивое сравнение

$(z - x) ^ {10}\equiv m_2 = 25\not\equiv d_1 ^ {30}\equiv 1\mod 31 $.

Теперь используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 3, где $y = u_1d_1 $.

$3(z - x)= d_1 ^3 $.

Пусть $p_2 = 31$, тогда $2n = 10 $.

$3(z - x)\equiv 3(22 - 8) = 3(14)\equiv (11)\equiv d_1 ^ 3\mod 31 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 10$ получим
противоречивое сравнение

$3(z - x) ^ {10}\equiv (11) ^ {10} = (-3) ^ 5\equiv m_1 = 5\not\equiv 1\mod 31$.

Вывод: числа $z,x$ варианта № 12 не удовлетворяют равенству $x^3 + y^3 - z^3 = 0$.

Продолжение следует.

[vasili]

24.11.2021 г.

Продолжение поста от 14.11.2021 г.

1.Я нашел K вариантов чисел $(z x) $ (кроме уже найденных), удовлетворяющих сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, а именно:

$z\equiv Km_2 + K\mod p_2 $, а $x\equiv Km_2\mod p_2 $,

$ p_2 > K $ – натуральное число.

Покажем, что найденные варианты чисел $(z x) $, удовлетворяют сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $.

Пусть $z ^ 2 + x ^ 2\equiv (Km_2 + K) ^ 2 + (Km_2) ^ 2\mod p_2 $, отсюда

$z ^ 2 + x ^ 2\equiv (Km_2) ^ 2 + 2K (Km_2) + K ^ 2 + (Km_2) ^ 2\mod p_2 $, тогда

с учетом того, что $m_2^2\equiv m_1\mod p_2 $ и $m_1 + m_2\equiv - 1\mod p_2 $
в следующих размышлениях получим

$z^2 + x^2\equiv 2K ^ 2(m_1 + m_2) + K ^ 2\equiv -2K ^ 2 + K ^ 2\equiv - K ^ 2\mod p_2 $.

Пусть $- z x\equiv - (Km_2 + K) Km_2\equiv - K ^ 2(m_1 + m_2)\equiv K ^ 2\mod p_2 $.

В результате имеем

$z ^ 2 - z x+ x ^ 2=(z ^ 2 + x ^ 2) + (- z x)\equiv (-K^2) + K^2\equiv 0\mod p_2 $, что и требовалось показать.

Продолжение следует…

[vasili]

Продолжение поста от 24.11.2021 г.

1. Если в сравнениях $z\equiv Km_2 + K\mod p_2 $ и $x\equiv Km_2\mod p_2 $ заменим $m_2$ на $m_1$, то получим еще K вариантов чисел $(z x) $ (кроме уже найденных в предыдущем посте), удовлетворяющих сравнению $z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2$, а именно:

$z\equiv Km_1 + K\mod p_2 $ и $x\equiv Km_1\mod p_2 $, где $K< p_2$ - число натуральное.
В самом деле:
$- z x\equiv- (K ^ 2) (m_1 + 1)m_1\equiv- (K ^ 2)(m_1 ^ 2 + m_1)\equiv- K ^ 2(-1)\mod p_2 $,

отсюда $- z x\equiv K ^ 2\mod p_2 $,

где $m_1^2\equiv m_2\mod p_2 $ и $(m_2 + m_1)\equiv - 1\mod p_2 $.

$z ^ 2 + x ^ 2\equiv K ^ 2(m_1 + 1) ^ 2 + K ^ 2m_1 ^ 2\mod p_2 $, отсюда

с учетом того, что $(m_1 + 1) ^ 2\equiv (-m_2) ^ 2\equiv m_1\mod p_2 $

и $m_1 ^ 2\equiv m_2\mod p_2 $, получим

$K ^ 2(m_1 + m_2)\equiv - K ^ 2\mod p_2 $, тогда

$z ^ 2 - z x + x ^ 2 = (z ^ 2 + x ^ 2) - z x\equiv (- K ^ 2) + K ^ 2 = 0\mod p_2 $, что и требовалось показать.

Продолжение следует…

[vasili]

27.12.2021 г.
Продолжение поста от 09.12. 2021 г.

1.Пусть {1,2,….,ri,…,rj,….,rk,…….,(p_2 - 1)} - приведенная система наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$,.
где $i= 1, 4, 7,…..,3n + 1,.. $, $j = 2, 5, 8,…..,3n + 2,...$,
$k = 3, 6,.9,….3n +3,….$, а $n = 0, 1,2,……$.
Тогда, очевидно, существуют такие числа $r_1,r_2,r_3,…..,r_{36} $, принадлежащей этой системе, что

для варианта №1 чисел $z x $ будет $r_1z\equiv x\mod p_2\engo (1.1) $;
$r_2y\equiv z\mod p_2\engo (1.1) $;
$r_3x\equiv - y\mod p_2\engo (1.1) $, отсюда
$r_1z r_2y r_3x\equiv x z (-y)\mod p_2\engo (1.1) $, тогда
$r_1 r_2 r_3\equiv (- 1)\mod p_2\engo (1.1) $.

для варианта №2 чисел $z x $ будет $r_4z\equiv x\mod p_2\engo (1.2) $;
$r_5y\equiv z\mod p_2\engo (1.2) $;
$r_6x\equiv - y\mod p_2\engo (1.2) $.
$r_4 r_5 r_6\equiv (- 1)\mod p_2\engo (1.2) $.

для варианта №3 чисел $z x $ будет $r_7z\equiv x\mod p_2\engo (1.3) $;
$r_8y\equiv z\mod p_2\engo (1.3) $;
$r_9x\equiv - y\mod p_2\engo (1.3) $.
$r_7 r_8 r_9\equiv (- 1)\mod p_2\engo (1.3) $.

для варианта №4 чисел $z x $ будет $r_{10}z\equiv x\mod p_2\engo (1.4) $,
$r_{11} y\equiv z\mod p_2\engo (1. 4) $,
$r_{12} x\equiv - y\mod p_2\engo (1.4) $.
$r_{10} r_{11} r_{12}\equiv (- 1)\mod p_2\engo (1.4) $.
………………………………………………………………………………………

для варианта №12 чисел $z x $ будет $r_{34}z\equiv x\mod p_2\engo (1.12) $,
$r_{35} y\equiv z\mod p_2\engo (1.12) $, $r_{36} x\equiv - y\mod p_2\engo (1.12) $.
$r_{34}z r_{35} y r_{36} x\equiv x z (-y)\mod p_2\engo (1.12)$
$r_{34} r_{35} r_{36} \equiv (- 1)\mod p_2\engo (1.12)$

Продолжение следует…..

[vasili]

28.12.2021 г.
Продолжение поста от 27.12. 2021 г.

Противоречия чисел $z\equiv K(m_2 +1)\mod p_2 $ и
$x\equiv Km_2\mod p_2 $

Пусть $(r_ {k_1}) z\equiv x\mod p_2 $,

где $(r_ {k_1})$ принадлежит приведенной системе, натуральных вычетов, по модулю $p_2 $, тогда

$(r_ {k_1}) K (m_2 + 1)\Km_2\mod p_2 $, а учитывая, что

$(m_2 + 1)\equiv - m_1\mod p_2 $ имеем

$(r_ {k_1}) K (-m_1)\equiv Km_2\mod p_2 $.

Так как $m_2\equiv (± m_1) ^ 2\mod p_2 $, то тогда

$(r_ {k_1}) K (-m_1)\equiv K (± m_1) ^ 2\mod p_2 $, отсюда

$(r_ {k_1}) = (- m_1)$, тогда

$(- m_1) z\equiv x\mod p_2 $, а после возведения полученного сравнения в

3-ю степень и учитывая, что $(- m_1) ^ 3\equiv (- 1)\mod p_2 $, получим

$(- z) ^ 3\equiv x ^ 3\mod p_2\engo (a) $.


Аналогично варианту №1 чисел $z x$ запишем

$(r_ {k_1}) (r_ {k_2})(r_ {k_3})\equiv (- 1)\mod p_2 $, где

$(r_ {k_2})$ и $(r_ {k_3})$ также принадлежат приведенной системе,
натуральных вычетов, по модулю $p_2 $, тогда с учетом

$(r_ {k_1}) = (- m_1)$ будет

$(- m_1) (r_ {k_2})(r_ {k_3})\equiv (- 1)\mod p_2 $, а так как

$(- 1)\equiv (- m_1) ^ 3$, то

$(r_{k_2}) (r_ {k_3})\equiv (±m_1) ^ 2\mod p_2 $, отсюда

$(r_{k_2})\equiv (± m_1)\mod p_2 $.

Пусть $(r_ {k_2})\equiv (- m_1)\mod p_2 $, тогда

$(r_ {k_2}) y\equiv (- m_1) y\equiv z\mod p_2 $.

Возведем полученное последнее сравнение. в 3-ю степень

$(r_ {k_2}) ^ 3 y ^ 3\equiv (- m_1) ^ 3 y ^ 3\equiv z ^ 3\mod p_2 $,

отсюда, так как $ (- m_1) ^ 3\equiv (- 1)\mod p_2 $, имеем

$(- z) ^ 3\equiv y^3\mod p_2\engo(b) $

Сложим сравнения (а) и (b)

$(- z) ^ 3 + (- z) ^ 3\equiv x^3 + y^3\mod p_2$, так как

$x ^ 3 + y ^ 3\equiv z ^ 3\mod p_2 $, тогда

$3z ^ 3\equiv0\mod p_2 $, что невозможно т.к. $p_2 > 3$ и $(z, p_2) = 1$.

Пришли к противоречию, что и требовалось показать.

Пусть теперь $(r_ {k_2})\equiv (+ m_1)\mod p_2 $, тогда

$(r_ {k_2}) y\equiv (+ m_1) y\equiv z\mod p_2 $.

Возведем полученное последнее сравнение. в 3-ю степень

$(r_ {k_2}) ^ 3 y ^ 3\equiv (+ m_1) ^ 3 y ^ 3\equiv z ^ 3\mod p_2 $,

отсюда, так как $ (+ m_1) ^ 3\equiv (+ 1)\mod p_2 $, имеем

$z^3 - y^3\equiv x^3\equiv 0\mod p_2 $, что невозможно, т.к. $(x, p_2) = 1$.

Пришли к противоречию, что и тр. показать.

Доказательство Противоречия в числах

$z\equiv K (m_1 + 1)\mod p_2 $ и $x\equiv Km_1\mod p_2 $

будет аналогичное вышеприведенным для чисел

$z\equiv K (m_2 + 1)\mod p_2 $ и $x\equiv Km_2\mod p_2 $.

Продолжение следует…..

[Pphantom]

vasili в сообщении #1544525 писал(а):

Продолжение следует…..

Пожалуй, хватит. Форум - не блог, какой-либо интерес к этому опусу, очевидно, отсутствует, так что тема закрыта.