2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение20.10.2021, 14:00 


27/03/12
446
г. новосибирск
Размышление о ВТФ от 09.10.2021.

1.В предыдущем посте я рассмотрел только 2 варианта значений чисел $z,x$, а именно:
--вариант № 1 --$z = m_2 + 2$, а $x = m_1 +2$ и

--вариант № 2 --$z = m_2 - 1$, а $x = m_1 - 1$, где
натуральные числа $m_1, m_2$ принадлежат показателю 3 по модулю $p_2$, а это значит, что
$m_1 ^ 3\equiv m_2 ^ 3\equiv1\mod p_2$,

$m_2 + m_1 +1 = p_2$, $m_1m_2\equiv 1\mod p_2 $, $m_1^2\equiv m_2\mod p_2 $ и .

$m_2^2\equiv m_1\mod p_2 $
Эти значения чисел $z,x$ удовлетворяют сравнению

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $.

2.Однако, вариантов значений чисел $z,x$ оказалось больше 2-х. Я нашел, еще 10 вариантов, значений чисел $z,x$, удовлетворяющих сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, а именно:

--вариант №3 - $z\equiv (2m_1 + 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $,

--вариант №4 - $z\equiv (2m_1 + 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $,

--вариант №5 - $z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $, а $x\equiv (2m_2 + 1)\mod p_2 $,

--вариант №6 - $z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $, а $x\equiv (2m_2 + 1)\mod p_2 $,

--вариант № 7 $z\equiv m_2 – (m_1 - 1)\mod p_2 $, $x\equiv 2\mod p_2 $,

--вариант № 8 $z\equiv m_2 – (2m_1 - 1)\mod p_2 $, а $x\equiv 3\mod p_2 $,

--вариант № 9 $z\equiv (- 4m_1)\mod p_2 $, а $x\equiv 4\mod p_2 $,

--вариант № 10 $z\equiv (- 1)\mod p_2 $, а $x\equiv m_1\mod p_2 $,

--вариант № 11 $z\equiv (- 1)\mod p_2 $, а $x\equiv m_2\mod p_2 $,

--вариант № 12 $z\equiv (m_2 - 3)\mod p_2 $, а $x\equiv (m_1+ 3)\mod p_2 $.

Не исключено, что имеются иные варианты значений чисел $z, x $.

Я прошу прощения участников Форума за поспешный вывод, сделанный мною в предыдущем посте.

3.Теперь следует показать, что все 10 вариантов значений чисел $z,x$ приводят нас к противоречиям.
3.1. Пусть $z ^ 3 + x ^ 3 = (z + x) (z ^ 2 - z x + x ^ 2)\equiv 0\mod p_2 $, отсюда

$-x^3\equiv z^3\mod p_2 $.

Пусть $x ^ 3 + y ^ 3 - z^3\equiv 0\mod p_2 $, отсюда с учетом сравнения

$-x ^ 3\equiv z ^ 3\mod p_2 $ имеем

$y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\equiv 2 z ^ 3\mod p_2 $.

3.2. Возведем полученное последнее сравнение в степень $2n $

$(y ^ 3) ^ {2n}\equiv 2 ^ {2n}(z ^ 3) ^ {2n}\mod p_2 = (6n + 1) $, так как

$(y ^ 3) ^ {2n}= y ^ {6n}\equiv (z ^ 3) ^ {2n} = z ^ {6n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $, то

$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.

3.3. Простые числа $p_2= 6n + 1 $, принадлежащие только 3-м подмножествам $M_1, M_2, M_9$ обладают свойством: $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.
Простые числа $p_2 = 6n + 1$, принадлежащие подмножествам $M_3 - M_8$,
не обладают таким свойством, т.е.
$2 ^ {2n}\not\equiv 1\mod p_2 = (6n + 1) $.

4. Далее ищем противоречия для всех найденных вариантов значений чисел $z,x$, учитывая формулы Абеля, иные соотношения, а также свойства элементов подмножеств $M_1, M_2, M_9$, а именно:
4.1. $z ^ 2 + z x + x ^ 2\equiv [(z ^ 2 - z x + x ^ 2) + 2z x]\equiv u_1^3\mod p_2 $,

отсюда $2z x\equiv u_1^3\mod p_2 $, где $u_1$ сомножитель числа $y = u_1d_1 $.

4.2. $z - x = d_1 ^ 3$.

4.3. $z ^ 2 - z x + x ^ 2 = (z - x) ^ 2 + z x\equiv 0\mod p_2 $,

$(z - x) ^ 2 = d_1 ^ 6\equiv –z x $.

4.4. $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $(M_1),

$3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $(M_2) и $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $(M_9).
Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение04.11.2021, 14:34 


27/03/12
446
г. новосибирск
Продолжение Размышления от 09.10.2021 г.

5. Для поиска противоречий сначала будем использовать сравнения, полученные в предыдущем посте.
Найдем значение $(2z x) $ - левой чисти, указанного сравнения для всех вариантов (кроме первых двух) значений чисел $z x $
5.1. $(2z x) $ для варианта №3 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2 (2m_1 +1) (m_1 - 1) = 2(2m_1^2 - 2m_1 + m_1 - 1)\ mod p_2 $, отсюда $)2z x)\equiv 2[2m_2 - (m_1 + 1)]\mod p_2$, тогда

с учетом того, что $(m_1 + 1) = - m_2$ имеем

$(2z x)\equiv u_1^3\equiv 2(3m_2)\mod p_2 $(№3).

Возведем, полученное сравнение (№3) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на
$2 ^ {2n}\equiv 1\ mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n} (m_2) ^ {2n}\mod p_2 $.

Если $2n = 3k$, то $m_2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\equiv [(u_1) ^ 3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1$, то $m_2 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

$(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\equiv m_1\not\equiv [(u_1) ^ 3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2$, то $m_2 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2 $, тогда

Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 1$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.2. $(2z x) $ для варианта №4 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv (2m_1 + 1) (m_1 + 2)\equiv (2m_1^2 + 4m_1 + m_1 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_1^2\equiv m_2$, а $(2m_2 + 2m_1 + 2)\equiv 0\mod p_1 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_1)\mod p_2 $ (№4).

Возведем полученное сравнение (№4) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^{2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n} (m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.3. $(2z x) $ для варианта №5 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2(m_2 - 1) (2m_2 + 1)\equiv2 (2m_2^2 + m_2 - 2m_2 - 1)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_2^2\equiv m_1$, а $- (m_2 + 1)\equiv m_1\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_1)\mod p_2 $(№5).

Возведем полученное сравнение (№5) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
Тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9$, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет

5.4. $(2z x) $ для варианта №6 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2(m_2 + 2) (2m_2 + 1)\equiv 2(2m_2^2 + m_2 + 4m_2 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$m_2^2\equiv m_1$, а $(2m_1 + 2m_2 + 2)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(3m_2)\mod p_2 $(№6)

Возведем полученное сравнение (№6) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n}(m_2) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2 ^ 2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, тогда Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 1$ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, для которого справедливо сравнение $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.5. $(2z x) $ для варианта №7 чисел $(z x) $ будет

$(2z x)\equiv 2[2(m_2 - (m_1 - 1))]\equiv 2(2m_2 - 2m_1 + 2)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что

$(2m_2 + 2m_1 + 2)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(-4m_1)\mod p_2 $(№7).

Возведем полученное сравнение (№7) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 4) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 4) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.6. $(2z x) $ для варианта №8 чисел $(z x) $ будет

$ 2[3(m_2 - (2m_1 - 1))]\equiv 2(3m_2 - 6m_1 + 3)\mod p_2 $, отсюда
с учетом того, что
$(3m_2 + 3m _1 + 3)\equiv 0\mod p_2 $ имеем

$(2z x)\equiv 2(-9m_1)\mod p_2 $(№8).

Возведем полученное сравнение (№8) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 9) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 9) ^ {2n}\equiv  m_1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 9) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv (m_1) ^ 2\not\equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 9) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k + 2 $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.7. $(2z x) $ для варианта №9 чисел $(z x) $ будет

$2(-4m_1)(4)\equiv 2 (-16m_1)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2(-16m_1)\mod p_2 $(№9).

Возведем полученное сравнение (№ 9) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 16) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 16) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.8. $(2z x) $ для варианта №10 чисел $(z x) $ будет

$2(m_1)(-1)\equiv 2 (-m_1)\mod p_2 $, тогда имеем
.
$(2z x)\equiv 2 (-m_1)\mod p_2 $.

Возведем полученное сравнение (№ 10) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 1) ^ {2n}(m_1) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_1) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.9. $(2z x) $ для варианта №11 чисел $(z x) $ будет

$2(m_2)(-1)\equiv 2 (- m_2)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2(-m_2)\mod p_2 $(№11).

Возведем полученное сравнение (№ 11) в степень $2n$, сократив обе части сравнения на $2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $ получим

$(z x) ^ {2n}\equiv (- 1) ^ {2n}(m_2) ^ {2n}\mod p_2 $,

Если $2n = 3k $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, а $(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

тогда $(z x) ^ {2n}\equiv 1\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Противоречия нет.

Если $2n = 3k + 1 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,
тогда $(z x) ^ {2n}\equiv m_2\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если $2n = 3k + 2 $, то $(m_2) ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $, а
$(- 1) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $, тогда
$(z x) ^ {2n}\equiv m_1\not\ equiv [(u_1) ^3] ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.
Пришли к противоречию.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_2 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

Если модуль $p_2$ принадлежит подмножеству $M_9 $, то
для случая, когда $2n = 3k $ Противоречия нет.

5.10. $(2z x) $ для варианта №12 чисел $(z x) $ будет

$2(m_1 + 3)(m _2 - 3)\equiv 2(m_1m_2 – 3m_1 + 3m_2 - 9)\mod p_2 $, тогда имеем

$(2z x)\equiv 2[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,отсюда $(z x)\equiv 3(m_2 - m_1) - 8\mod p_2 $.
Так как
$z ^ 2 - z x + x ^ 2 = (z + x) ^ 2 - 3z x\equiv 0\mod p_2 $, тогда

$(z + x) ^ 2 - 3z x\equiv 0\mod p_2 для варианта №12 чисел $(z x) $ будет

$(m_2 - 3 + m_1 + 3) ^ 2\equiv (- 1) ^ 2\equiv 3z x\equiv 3[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,
отсюда
$1\equiv 3[3(m_2 - m_1) - 8]\mod p_2 $,

$1 + 24 = 25\equiv 9(m_2 - m_1)\mod p_2 $.

Возведем последнее сравнение в 2-ю степень получим

$625\equiv 81(m_1^2 – 2m_1m_2 + m_2^2)\equiv 81(m_2 - 2 + m_1)\mod p_2 $,

$625\equiv 81(m_2 - 2 + m_1) = 81(- 3) = - 243\mod p_2 $, отсюда

$868\equiv 0\mod p_2 $.

Так как $868 = 4\cdot 7\cdot 31$, тогда возможны:

$p_2 =7$
или
$p_2 = 31$.

Пусть $p_2 =7$, тогда $m_2 = 4$ (4^3\equiv 1\mod 7 $) и

$z\equiv m_2 - 3 = 4 -3 = 1\mod 7 $, а $m_1 = 7 -1 - 4 = 2$ и

$x\equiv m_1 + 3 = 2 + 3= 5\mod 7$.

Противоречия:
Используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 1$, где $y = u_1d_1 $.
$z -x = d_1^3$
Пусть $p_2 = 7$, тогда $2n = 2 $.

$(z - x)\equiv (1 - 5) = - 4\equiv d_1^3\mod 7 $

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 2$ получим

$(- 4) ^ 2\equiv (d_1)^6\equiv 1\mod 7$, получили противоречивое сравнение

$(- 4) ^2\equiv 2\not\equiv 1\mod 7 $.

Теперь используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 3, где $y = u_1d_1 $.

$3(z - x)= d_1 ^3 $.

Пусть $p_2 = 7$, тогда $2n = 2 $.

$3(z - x)\equiv 3(1 - 5) = 3(- 4)\equiv (- 5)\equiv d_1 ^ 3\mod 7 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 2$ получим

$(-5) ^ 2\equiv (d_1) ^ 6\equiv 1\mod 7$, получили противоречивое сравнение

$(4)\not\equiv 1\mod 7 $.

Пусть теперь
Пусть $p_2 =31$, тогда $(2n = 10),  $m_2 = 25$ (25 ^ 3\equiv 1\mod 31 $) и

$z\equiv m_2 - 3 = 25 -3 = 22\equiv 31 $, а $m_1 = 31 - 1 - 25= 5 $ и

$x\equiv m_1 + 3 = 5 + 3= 8\mod 31 $.

Используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 1$, где $y = u_1d_1 $.
$z - x = d_1^3$

$z - x\equiv 22 - 8 = 14\equiv d_1^3\mod 31 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 10 $ получим

$14 ^ {10} = 2 ^ {10}7 ^ {10}\equiv d_1 ^ {30}\equiv 1\mod 31 $.
Так как
$2 ^ {10} =1024\equiv 1\mod 31 $, а

$7 ^ 3 = 343\equiv 2\mod 31 $ и

$7 ^ {10} = (7 ^ 3) (7 ^ 3) (7 ^ 3)7\equiv (7) (2^3) = 56\equiv m_2 = 25\mod 31 $,
тогда получим противоречивое сравнение

$(z - x) ^ {10}\equiv m_2 = 25\not\equiv d_1 ^ {30}\equiv 1\mod 31 $.

Теперь используем формулу Абеля для случая когда $(y, 3) = 3, где $y = u_1d_1 $.

$3(z - x)= d_1 ^3 $.

Пусть $p_2 = 31$, тогда $2n = 10 $.

$3(z - x)\equiv 3(22 - 8) = 3(14)\equiv (11)\equiv d_1 ^ 3\mod 31 $.

Возведем, полученное сравнение в степень $2n = 10$ получим
противоречивое сравнение

$3(z - x) ^ {10}\equiv (11) ^ {10} = (-3) ^ 5\equiv m_1 = 5\not\equiv 1\mod 31$.

Вывод: числа $z,x$ варианта № 12 не удовлетворяют равенству $x^3 + y^3 - z^3 = 0$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение24.11.2021, 11:53 


27/03/12
446
г. новосибирск
24.11.2021 г.

Продолжение поста от 14.11.2021 г.

1.Я нашел K вариантов чисел $(z x) $ (кроме уже найденных), удовлетворяющих сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, а именно:

$z\equiv Km_2 + K\mod p_2 $, а $x\equiv Km_2\mod p_2 $,

$ p_2 > K $ – натуральное число.

Покажем, что найденные варианты чисел $(z x) $, удовлетворяют сравнению
$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv 0\mod p_2 $.

Пусть $z ^ 2 + x ^ 2\equiv (Km_2 + K) ^ 2 + (Km_2) ^ 2\mod p_2 $, отсюда

$z ^ 2 + x ^ 2\equiv (Km_2) ^ 2 + 2K (Km_2) + K ^ 2 + (Km_2) ^ 2\mod p_2 $, тогда

с учетом того, что $m_2^2\equiv m_1\mod p_2 $ и $m_1 + m_2\equiv - 1\mod p_2 $
в следующих размышлениях получим

$z^2 + x^2\equiv 2K ^ 2(m_1 + m_2) + K ^ 2\equiv -2K ^ 2 + K ^ 2\equiv - K ^ 2\mod p_2 $.

Пусть $- z x\equiv - (Km_2 + K) Km_2\equiv  - K ^ 2(m_1 + m_2)\equiv K ^ 2\mod p_2 $.

В результате имеем

$z ^ 2 - z x+ x ^ 2=(z ^ 2 + x ^ 2) + (- z x)\equiv (-K^2) + K^2\equiv 0\mod p_2 $, что и требовалось показать.

Продолжение следует…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 168 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group