Какие вопросы задавать себе при чтении учебной литературы?

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1538685 писал(а):

Даже такой элементарный вопрос, а для чего нужны обобщённые функции, на третьем курсе я не понимал.

Значит ВУЗ такой.
У нас такой проблемы не было.

[мат-ламер]

zykov в сообщении #1538702 писал(а):

Значит ВУЗ такой.
У нас такой проблемы не было.

У нас на лекциях было примерно, как в учебнике. Вот есть определение обобщённой функции. Вот есть примеры этих функций. Дальше про операции с этими функциями. Дальше, как решать уравнения с этими функциями. Вроде всё хорошо. Но тут возникает у начинающего вопрос: "Ну и что? А в чём смысл и польза этих теорий?". А это объяснить либо забыли, либо объяснение было спрятано внутри другого сложного текста и не было воспринято. Опойцев писал, что самое трудное в математике лежит вне её.

[zykov]

Не знаю как у вас...
У нас кроме математики и физику учили. В физике дельта функция была ещё до курса по математике. Так что наоборот, было очень хорошо узнать строгий математический смысл того, что и так в физике на пальцах делали.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1538709 писал(а):

либо объяснение было спрятано внутри другого сложного текста и не было воспринято.

Скорее это. Примеры применения обобщённых функций были спрятаны внутри второй половины курса УМФ, который я уже не понимал. А формальное определение их было в курсе функционального анализа. Вроде оно было понятно, но непонятна была мотивировка.

-- Чт ноя 11, 2021 21:39:54 --

zykov в сообщении #1538710 писал(а):

У нас кроме математики и физику учили. В физике дельта функция была ещё до курса по математике. Так что наоборот, было очень хорошо узнать строгий математический смысл того, что и так в физике на пальцах делали.

А у нас физика была упрощённая и дельта-функции там не было.

[мат-ламер]

Интересную фразу встретил при чтении темы про определители. Я пока её приведу:

e2e4 в сообщении #232908 писал(а):

В конце концов, неужели Вы (преподаватели) и вправду верите, что ничем не мотивированных молодых людей в самом расцвете сил и гормонов реально можно целый семестр пичкать всякими абсолютно точными и настолько же бесполезными знаниями (без всякого намека на применимость в реальной жизни), чтобы они хоть что-то действительно поняли??? Инитерес (а потом и понимание) приходит намного позже, так что в первую очередь - заинтересуйте студента, а уж потом стремитесь к точности и исчерпывающим формулирвкам!

А прокомментирую позже. Смысл в том, что студенческий мозг, это не жёсткий диск компьютера, куда можно потихоньку складывать информацию, в надежде, что она когда-нибудь пригодится. Семестр наверное можно складывать. Даже может и два года. А на третьем году начинают приходить разные крамольные мысли.

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #1538476 писал(а):

как поведёт себя такой-то алгоритм, если мы его применим не к такому классу функций, о котором пишет автор, а к более общему

Именно так и происходит настоящий (естественный) процесс обучения - подобно пятилетнему ребенку, отрывающему крылья мухам и лапки лягушкам. И применять его надо не только в прикладной математике, но и в остальной математике тоже - да и не только в ней. "Надо" конечно в том случае, если хочется научиться чему-нибудь, кроме подражания.

На просторах этого форума из меня когда-то вырвалась фраза

demolishka в сообщении #1354362 писал(а):

Математика не любит вопросов "Зачем?", она любит вопросы "Почему?".

На тот момент я и сам не понимал, почему это произошло и что же я имел под этим в виду (насколько же человеческие ощущения порой оказываются прозорливей и содержательней слов). С тех пор я много раз к нему возвращался, чтобы обдумать. Сейчас же могу сказать следующее. Вопрос "Зачем?" - вопрос потребительский. Из серии: "Зачем мне?", "Для чего мне?", "Обозначьте мне цель", "Разжуйте и положите в рот". Вопрос "Зачем?" - вопрос категоричный: "Я не сдвинусь с места пока не получу ответ и требую его незамедлительно". Вопрос "Зачем?" - вопрос эгоистический, причем в извращенном (потребительском) смысле. Зарытый в нем эгоизм не имеет ничего общего с эгоизмом естественным, кроющемся в детской невинной тяге к познанию мира на собственном примере. Я уж не буду расписывать про то, что, как правило, в вопросе "Зачем?" заведомо кроется отрицание. И произносится он как реакция - попытка отторгнуть осмысление поступающей информации. Поэтому зачастую это не вопрос, а ответ, который вопрошающий уже заведомо себе дал.

Поэтому вопросы (при чтении ли или еще какой-то деятельности) надо задавать те, которые исходят изнутри человека. А оттуда все вопросы начинаются с "Почему".

[druggist]

(Оффтоп)

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

подобно пятилетнему ребенку, отрывающему крылья мухам

Интересно, что именно такой малосимпатичный образ привел один известный ученый в предисловии к своей книге, характеризуя суть образа действий математика. Кажется, это был А.Н. Колмогоров. Может, кто-нибудь знает точную цитату?

[demolishka]

druggist в сообщении #1539093 писал(а):

малосимпатичный образ

Образ скорей яркий и этой яркостью призывающий задуматься о природе творчества. Для этого конечно надо перешагнуть через отвращение или малосимпатичность и хотя бы начать воспринимать его метафорично.

druggist в сообщении #1539093 писал(а):

кто-нибудь знает точную цитату

В. И. Арнольд. Об А. Н. Колмогорове:

Цитата:

Я вспоминаю, как однажды (в середине пятидесятых годов) Андрей Николаевич, собрав у себя дома учеников (студентов, аспирантов) на Рождество, произнёс целую речь о математических способностях. По его теории математические способности человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. «Самый гениальный наш математик, — говорил Андрей Николаевич, — остановился в возрасте четырёх-пяти лет, когда дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя Андрей Николаевич считал остановившимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознательны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их ещё не отвлекают (уровень П. С. Александрова он оценивал, помнится, шестнадцатью или даже восемнадцатью годами).

[ozheredov]

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

Именно так и происходит настоящий (естественный) процесс обучения - подобно пятилетнему ребенку, отрывающему крылья мухам и лапки лягушкам. И применять его надо не только в прикладной математике, но и в остальной математике тоже - да и не только в ней.... если хочется научиться чему-нибудь, кроме подражания.

Много плюсов. Причём заметьте, что в реальности:

1. Время на зубрёжку и решение 400 типовых задач с кучей вычислений типа "раскрой скобки и приведи подобные" рассчитывается так, чтоб у студента оставалось как можно меньше времени на "отрывание крыльев мухам". Т.е. аброзование заточено под производство подражающих болванчиков.

2. При всей очевидной рациональности Ваших взглядов, насколько я заметил, на форуме у Вас скорее больше противников, чем сторонников. А это с большим отрывом самый разумный форум в русскоязычном пространстве.

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

Вопрос "Зачем?" - вопрос эгоистический, причем в извращенном (потребительском) смысле.

Тут имеются небольшие возражения ) На момент задавания вопроса "Зачем?" у студента как взрослого человека уже сформирован пул интересов. Он хочет отрывать крылья тем мухам, которые в этот пул входят. Чем меньше он будет копаться в бесполезном остальном, тем больше ресурсов высвободит на отрывание крыльев нужным мухам (и на релаксацию, разумеется).

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

как правило, в вопросе "Зачем?" заведомо кроется отрицание

С-с-кажем так, если задан вопрос "Зачем?", то человек процентов на 90% уверен, что "Незачем", но возможно он просто не понимает связи предлагаемого материала с пулом своих интересов и всё-таки есть 10%-й шанс его переубедить. Например, в упомянутой Вами теме Вы с еще одним участником весьма соблазнительно доказываете полезность изучения топологии. Т.е. эти оставшиеся 10% на 99% упираются в широту кругозора и профессионализм препода.

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

А оттуда все вопросы начинаются с "Почему".

При условии, что на "Зачем?" уже давным-давно отвечено ))

[demolishka]

Отвечу, поскольку это имеет прямое отношение к обсуждаемой текущей и соседним с ней темам.

ozheredov в сообщении #1539111 писал(а):

у Вас скорее больше противников, чем сторонников

Пока у субъекта есть доминирующая над ним потребность в бинарной (или еще какой) определенности относительно поступающей информации (например, делить кого-то на противников и сторонников, соглашаться или не соглашаться), то этот субъект всегда будет в первую очередь реализовывать эти потребности. Тем самым любая (в том числе и потенциально новая) для субъекта информация будет разорвана на части и изуродована в целях формирования из лишенных всех смыслов ошметков "основной мысли", доставляющей субъекту определенность. Не стоит и говорить, что такое поганище "основной мысли" не имеет ничего общего с целостной исходной информацией.

Что интересно, этот навык расчленения, по всей видимости, имеет внутричеловеческие корни и сродни упомянутому отрыванию конечностей лягушкам. Только ребенок, оторвав лягушке все конечности, осознает, что лягушка ценна своей целостностью. А девиации, когда потребность в расчленении начинает приносить удовольствие и доминировать над потребностью в познании, у детей редки. В современном же обществе эта девиация искусственно культивируется через информационную пропаганду разных сортов, где любое "обсуждение" превращается в соревнования по расчленению, либо же смакование нарубленных ошметков. Здесь наличие "оппонента" или противопоставления кого-то кому-то обязательно и является оправданием совершенного надругательства.

Такая искусственная подмена человеческой природы блокирует его способность к настоящему обучению.

Я же выступаю как наблюдатель и каждый человек для меня ценен как такой же наблюдатель. И никто никому не противопоставляется.

[мат-ламер]

demolishka в сообщении #1539090 писал(а):

Какие вопросы задавать себе ...

Вот задал себе очередной вопрос: "А должен ли я верить всему тому, что говорится про математику?" . Как пример, приведу ролик: https://www.youtube.com/watch?v=EYsr0DZWMCg . Там в первые несколько минут идут рассуждения про этажи в математике. Это точка зрения сугубо точка зрения автора ролика или она более-менее распространена?

[мат-ламер]

Или можно верить вот этой даме https://www.youtube.com/watch?v=fAKrEr5IAEo ? Она считает, что надо нагружать свой мозг реально трудными вещами. А если верить предыдущему ролику, это не поможет. Савватеев считает, что этаж, на который сможешь подняться, предопределён заранее.

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #1539828 писал(а):

Как пример, приведу ролик: https://www.youtube.com/watch?v=EYsr0DZWMCg. Там в первые несколько минут идут рассуждения про этажи в математике. Это точка зрения сугубо точка зрения автора ролика или она более-менее распространена?

Интересное видео. Эта теория об этажах перекликается с тем, что я писал об аналогии между последовательностью изучения математики в вузе и её историческом развитии:

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

в своем математическом развитии человек обязательно должен пройти все этапы, которые прошла математика в своем развитии. И если греческую математику в основном проходят в школе, то на первом курсе проходят, грубо говоря, математику 16-17, в частности аналитическую геометрию. И перескочить этот этап никак нельзя. Если его не будет в программе, человек будет изучать это самостоятельно.

Посмотрев монолог Саватеева, я начал рассуждать, какие математические предметы в вузе можно отнести к тому или иному уровню математики. А также какой исторический период в развитии математики этому уровню соотвествует. Получилось примерно такая классификация:
второй уровень (согласно Саватееву его достигает выпускник средней школы) -- уровень школьной алгебры -- манипуляция с буквенными выражениями, в которых буквы обозначают числа. Это примерно уровень поздней греческой математики (Диофант), арабской математики (Омар Хаям, Аль Хорезми), европейской математики до 16 века (Кардано, Виет);
третий уровень -- уровень манипуляции с произвольными объектами, которые имеют наглядный смысл -- линейная алгебра, аналитическая геометрия, почти весь математический анализ (кроме основ теории метрических пространств), дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с частными производными (пока там не начинает применяться функан), теория функций комплексного переменного (хотя она уже приближается к четвертому уровню, наглядности там поменьше, график функции не представить), теория меры и интеграла Лебега и вообще, то, что называется ТФДП (тоже приближается к четвертому уровню, так как активно использует теорию множеств) . Исторически тут очень большой период -- 17, 18, 19 век, даже начало 20 века (интеграл Лебега). Можно мне возразить, что линейная алгебра или математический анализ в $\mathbb R^N$ не наглядны. Тут дело вот в чем: почти ничего не меняется, если излагать все для $\mathbb R^3$, все легко переносится на произвольную размерность. Во многих учебниках матанализа так и делают -- ограничиваются трёхмерным случаем. То же касается и абстрактной теории меры. Формально она строится в произвольном пространстве (конструкция продолжения меры по Лебегу с полукольца), но достаточно представлять себя, что это полукольцо прямоугольников на плоскости, все рассуждения сохраняются. Но, например, теорему Радона-Никодима я уже целиком отнесу к четвертому уровню, так как там по сравниваются различные меры на сигма-алгебре, это уже не наглядно.
четвертый уровень -- уровень манипуляций с произвольными объектами, которые уже не наглядны в силу своей слишком большой общности, либо по какой-то другой причине -- функциональный анализ, абстрактная алгебра (группы, кольца, поля), теория множеств (мощности, ординалы, трансфинитная индукция), общая топология (здесь в отличие от теории меры нельзя ограничиться множествами в $\mathbb R^3$, так как для них многие понятия общей топологии просто теряют смысл, например, все аксиомы отделимости), алгебраическая топология (кроме наглядной топологии двухмерных поверхностей, которую можно отнести к третьем уровню, но её слишком мало, чтобы изучать как отдельный предмет), дифференциальная геометрия на многообразиях (тензорный анализ, риманова геометрия), случайные процессы, и вообще теория вероятностей, излагаемая на современном уровне (много пересечений с функаном). Исторически это 19 век (в части алгебры) и первая половина 20 века. И сейчас еще на этом уровне продолжаются научные исследования.
пятый уровень. Вот тут я не могу даже сформулировать, что он из себя представляет. Возможно, потому что сам его не достиг. По крайней мере ни один из стандартных вузовских учебных курсов к этому уровню не относится, только различные спец.курсы, спец.семинары. Могу предположить, что на этом уровне изучаются взаимосвязи между различными объектам четвертого уровня. Наверное, к этому уровню можно отнести теорию категорий. Или какую-нибудь теорию универсальных алгебр. Наверняка и в функане этот уровень есть. Есть же всякие "когомологии банаховых пространств". В общем, пусть, более сведущие в современной математике люди напишут, что можно отнести к этому уровню и как его охарактеризовать. Исторически пятый уровень -- это вторая половина 20 века и первая половина 21 века. Вообще, это уровень современной математики.
Шестого уровня, думаю, еще не существует (возможно, более сведущие в математике люди считают иначе). Но со временем появится и шестой уровень.

Также было бы интересно проследить, есть ли подобные уровни в физике, и как они связаны с уровнями в математике. Возьмём, например, специальную теорию относительности. Математический аппарат относится к третьему уровню, но думаю, физическая теория относится к четвертому уровню, потому что нет наглядности. В ОТО уже и математический аппарат относится к четвертому уровню.

Также я подумал, что наличие этих уровней в математике влечет важные выводы в педагогической теории и практике. Целью математического образования должно быть помочь студенту перейти на следующий уровень. Если уровень взят, то нет смысла на нем долго сидеть. Например, если на первом курсе студент уже достаточно освоился на третьем уровне (в курсах матанализа и линейной алгебры), то на втором курсе в дифференциальной геометрии нет смысла много времени разбирать кривые и поверхности в трёхмерном пространстве, а лучше сразу переходить к римановой геометрии или тензорному анализу, в общем к дифференциальной геометрии в современном смысле слова. Для человека, взявшего барьер четвертого уровня, не составит труда по учебникам самостоятельно освоить любую часть математики более низкого третьего уровня. Но и слишком рано нельзя переходить на четвертый уровень, потому что тогда студент просто ничего не поймет, или поймет формально, а потом забудет.