Какие вопросы задавать себе при чтении учебной литературы?

[мат-ламер]

В последнее время промелькнуло несколько тем, где начинающие задают глобальные вопросы. Например, что такое число, что такое сложение, что такое система координат? Из последнего - откуда возник определитель, для чего нужны линейные пространства, для чего нужны подстановки? Я поймал себя на том, что когда изучал линейную алгебру, никаких таких вопросов у меня не возникало. Хорошо было бы (для меня тогда) научиться отвечать на вопросы, которые задаёт преподаватель. Тут уж не до своих вопросов. Хочу задать вопрос форумчанам, а возникали ли у них вопросы, и если да, то какие, в процессе изучения фундаментальных математических дисциплин? Если дисциплина не фундаментальная, а прикладная, то такие вопросы у меня возникают постоянно. Например, как поведёт себя такой-то алгоритм, если мы его применим не к такому классу функций, о котором пишет автор, а к более общему? А, скажем, линейная алгебра настолько фундаментальна, что и вопрос придумать сложно.

[eugensk]

Иногда спрашиваю себя, надо ли прослеживать рассуждения буквально, в точности как они изложены (имею ввиду не доказательство целиком, а элементарные шаги). Ну как если бы автор предпочитал сокращать, а мне например удобнее домножать. Я вижу, что в шаге всё правильно, могу обосновать строго, но с трудом могу понять, что именно говорится чтобы убедить меня. И вот думаю, не обкрадываю ли себя, может это входит в замысел прививать правильные привычки, а может и нет. Наверное, такая проблема существует только в учебных текстах.

[zykov]

Ну вообще приличный автор в начале должен обрисовать кратко проблематику, которой будет касаться. (Грубо говоря, зачем вся эта писанина дальше нужна.)
А уже дальше, по мере того как автор детали раскрывает, смотрите, как именно это всё относится к данной проблематике.
И совет, слишком не лезть в глобальные вопросы. Всё же текст обычно имеет какую-то ограниченную область. Для начала хотя бы в этих рамках разобраться нужно.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1538476 писал(а):

что такое система координат?

Qlin нормальную тему поднял, зря закрыли. Если ему вдруг придет уведомление, то правильный ответ примерно следующий. Здесь на форуме есть тема topic41737.html за авторством _hum_ о том, почему комплексные числа "работают" на практике. Там единственный правильный ответ был дан самим ТС в начале темы: переходить в комплексную область и обратно можно благодаря существованию инъективного гомоморфизма из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Ответы из разряда "Комплексные числа - конструкция, позволяющая получать правильные результаты, что подтверждается опытом.", "Пока согласно опыту - соответствовало и мы надеемся, что и дальше так будет. " понятно дело никакой критики не выдерживают. Тема о системах координат задает по сути тот же вопрос. Почему можно вводить систему координат на некоторых объектах, потом применять алгебраические манипуляции с числами, а потом переходить обратно к предметной области и получать правильные результаты. Ответ тот же самый: система координат - это биекция между точками предметной области и числами (под "числами" я понимаю $K^n$, где $K$ - поле). Уравнение задает характеристическое свойство некоторого подмножества точек предметной области. В этом и заключается связь между уравнением и фигурой. Точка принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное тождество. А значит можно переходить от фигуры к ее уравнению. Я пишу потому, что меня самого оба эти вопроса интересовали, а будь передо мной подобный ответ, он бы сэкономил мне время.

P.S. Ну и можно еще добавить, что биективность для системы координат выполняется не всегда, как в случае полярной системы координат. Поэтому правильно вместо "биекция" говорить отображение. Но какое-угодно отображение не подойдет, связь между точками и числами должна быть "разумной". Биективность - самое естественное и удобное требование. Но никто не запрещает им пожертвовать в пользу других плюсов, как в случае с полярными координатами.

[zykov]

EminentVictorians в сообщении #1538514 писал(а):

Там единственный правильный ответ был дан самим ТС

Обычно нетривиальные вопросы имеют много разных аспектов. На такой вопрос можно взглянуть под разными углами. Под одним углом будет одна картина и важные моменты, под другим - другая.
Уж комплексные числа точно многогранны. "единственный правильный ответ" звучит крайне субъективно и никак не тянет на объективность.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1538514 писал(а):

Здесь на форуме есть тема topic41737.html за авторством _hum_ о том, почему комплексные числа "работают" на практике.

Когда я познакомился с комплексными числами в восьмом классе, у меня такого вопроса не возникло. И это естественно. Потому как, как эти числа работают на практике, я просто не знал. Было просто большое восхищение и удивление, что есть оказывается числа, отличные от привычных. И они позволяют упростить решение некоторых вопросов. Например, выразить $\sin 10 x$ или решить кубическое уравнение с тремя действительными корнями. Было очень интересно, но вот вопросов не возникало вообще никаких.

zykov в сообщении #1538518 писал(а):

Обычно нетривиальные вопросы имеют много разных аспектов. На такой вопрос можно взглянуть под разными углами. Под одним углом будет одна картина и важные моменты, под другим - другая.
Уж комплексные числа точно многогранны.

Согласен. Я лично придерживаюсь мнения, что комплексные числа, это часть нашего мира. Мы их открыли, а не изобрели. Ровно как и определитель. Поэтому определитель мы открыли. а не изобрели для собственного удобства.

[Anton_Peplov]

Вопросы, которые у меня возникали в процессе самообучения, а также последствия увлечения этими вопросами, я подробно описал здесь.

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1538514 писал(а):

почему комплексные числа "работают" на практике. Там единственный правильный ответ был дан самим ТС в начале темы: переходить в комплексную область и обратно можно благодаря существованию инъективного гомоморфизма из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$.

Точно, именно и только несомненно поэтому $\mathbb{C}$ такое удобное и особенное множество. Больше же из $\mathbb{R}$ ни в одно другое множество не построить гомоморфизма.
И обратный переход из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}$ тривиален, ага. Возьми прообраз инъективной функции, да и всё.

[EminentVictorians]

Nemiroff в сообщении #1538595 писал(а):

Точно, именно и только несомненно поэтому $\mathbb{C}$ такое удобное и особенное множество. Больше же из $\mathbb{R}$ ни в одно другое множество не построить гомоморфизма.

Там ТС несколько раз предмет темы обозначил: почему мы можем выходить в комплексную область, делать алгебраические выкладки с комплексными числами, а потом переходить обратно к вещественным и иметь уверенность в том, что полученный результат является верным с точки зрения первоначальной задачи, в формулировке которой никаких комплексных чисел не было. Корректность таких переходов обеспечивается именно существованием инъективного гомоморфизма. Считаете иначе - предложите свой вариант.

Nemiroff в сообщении #1538595 писал(а):

И обратный переход из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}$ тривиален, ага. Возьми прообраз инъективной функции, да и всё.

А как еще то? Именно так и получают вещественное число по его комплексному образу.

[мат-ламер]

Опойцев В.И. "Школа Опойцева. Математический анализ", глава 13 "Проблемы обучения", пункт 13.1 "Кто мы есть и как мы учимся".

"Любая аудитория делится на три категории: А, В и С. Первые схватывают всё на лету, вторые переосмысливают, третьи ничего не понимают, как ни объясняй. ... гениальные решения чаще рождаются в недрах С ... из них потом такие Менделеевы получаются, что группе А остаётся сожалеть, что схватывала на лету".

Я понял, почему я не задавал себе вопросов. Фундаментальную (не прикладную) математику я осознавал как часть природы. И глупо спрашивать о природы, почему она устроена так или иначе.

Хотя при изучении линейной алгебры, у меня возник вопрос, а зачем нужны аффинные пространства? Ведь их теорию можно свести к линейным? Они встретились у нас в курсе линейной алгебры и больше ни в каких курсах не встречались. Однако, возможно в спецкурсах некоторых кафедр они и встречались. Но аффинные пространства как-то ближе к нашему миру, поскольку в нём нет выделенной точки.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1538603 писал(а):

Любая аудитория делится на три категории: А, В и С. Первые схватывают всё на лету, вторые переосмысливают, третьи ничего не понимают, как ни объясняй.

Наверное, чтобы объяснить это, нужно обратиться к нейрофизиологии. Мозг всё-таки не бесконечный сосуд, который можно всё время наполнять информацией. В нём существуют защитные механизмы, которые ограничивают её приток. У одних эти механизмы слабее, у других сильнее.

Те, у которых они слабее, схватывают всё на лету. Им всё интересно. В школе они круглые отличники. Часто заканчивают школу с золотой медалью. Есть успехи в разных олимпиадах. Успех в дальнейшей жизни у них никак не коррелирует с успехами в школе.

Вторая категория, те, у которых эти механизмы чуть посильнее. Они выбирают в школе один предмет, который их интересует больше всего. Золотой медали у них нет. Но за то в университете они чувствует себя уверенно. Они схватывают там всё на лету. Часто получают красный диплом. Но в конце обучения мозг переполняется информацией и наступает пресыщенность. Дальнейшее накопление информации происходит уже с бОльшим трудом. И не все могут заставить себя учиться дальше.

Третья категория. У них механизм защиты ещё сильнее. В университете по многим предметам, которые не входят в их интересы, часто отметки всего лишь удовлетворительные. Но интерес в своей очень узкой области сохраняют надолго.

У четвёртой группы механизм защиты ещё сильнее. Этот механизм постоянно задаёт им вопросы - а зачем нам определитель, а зачем нам подстановки, зачем нужно складывать, с чего бы это ввели линейные пространства с такими несуразными аксиомами? Они как правило выпадают из учебного процесса. Но интерес к науке зато остаётся. Плохо, что он соседствует с отсутствием знаний. Такие люди атакует форумы с вопросом, как стать математиком (уже далеко после окончания университета). Также задают на форумах фундаментальные вопросы, которые многие расценивают как троллинг. Такие люди часто очень хорошо устраиваются по жизни, поскольку мозг информацией не заполнен и легко адаптируется к окружающему миру.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1538603 писал(а):

а зачем нужны аффинные пространства?

Чтобы алгебраический подход перенести от линейных пространств (где есть выделенная точка "ноль") на пространства изучаемые в геометрии (где все точки равноправны).

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1538603 писал(а):

"Любая аудитория делится на три категории: А, В и С. Первые схватывают всё на лету, вторые переосмысливают, третьи ничего не понимают, как ни объясняй. ... гениальные решения чаще рождаются в недрах С ... из них потом такие Менделеевы получаются, что группе А остаётся сожалеть, что схватывала на лету".

На самом деле в любой категории с равной частотой появляются свои Менделеевы. Просто от первых и вторых ждут больше, а потому бросается в глаза когда они становятся заурядными. От третьих, наоборот, ничего не ждут, потому бросается в глаза когда они чего-то добиваются. Универсального рецепта нет, главное интересоваться предметом, не растерять творческий энтузиазм.

Кстати, если в недрах С как написал автор вообще ничего не понимают, то это повод обратиться к психологу.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1538611 писал(а):

Те, у которых они слабее, схватывают всё на лету. Им всё интересно. В школе они круглые отличники. Часто заканчивают школу с золотой медалью. Есть успехи в разных олимпиадах. Успех в дальнейшей жизни у них никак не коррелирует с успехами в школе.

Вторая категория, те, у которых эти механизмы чуть посильнее. Они выбирают в школе один предмет, который их интересует больше всего. Золотой медали у них нет. Но за то в университете они чувствует себя уверенно. Они схватывают там всё на лету. Часто получают красный диплом. Но в конце обучения мозг переполняется информацией и наступает пресыщенность. Дальнейшее накопление информации происходит уже с бОльшим трудом. И не все могут заставить себя учиться дальше.

Третья категория. У них механизм защиты ещё сильнее. В университете по многим предметам, которые не входят в их интересы, часто отметки всего лишь удовлетворительные. Но интерес в своей очень узкой области сохраняют надолго.

У четвёртой группы механизм защиты ещё сильнее. Этот механизм постоянно задаёт им вопросы - а зачем нам определитель, а зачем нам подстановки, зачем нужно складывать, с чего бы это ввели линейные пространства с такими несуразными аксиомами? Они как правило выпадают из учебного процесса. Но интерес к науке зато остаётся. Плохо, что он соседствует с отсутствием знаний. Такие люди атакует форумы с вопросом, как стать математиком (уже далеко после окончания университета). Также задают на форумах фундаментальные вопросы, которые многие расценивают как троллинг. Такие люди часто очень хорошо устраиваются по жизни, поскольку мозг информацией не заполнен и легко адаптируется к окружающему миру.

Ну это просто не так. Гораздо больше вероятность, что вопросом "зачем определитель" заинтересуется круглый отличник, а не двоечник или троечник. Двоечникам и троечникам всё и так ясно: определитель нужен, чтобы сдать экзамен, а вопросы задают придурки-ботаники. Желание докопаться до каких-то истин, а не удовольствоваться тем, что говорят преподаватели, как правило, двоечникам и троечникам не присуще. Хотя бы потому, что для того чтобы искать какие-то смыслы за пределами учебного курса, надо вначале этот учебный курс хотя бы минимально освоить и убедиться, что внутри него этих самых искомых смыслов найти не удаётся.

Не понимаю романтизацию "выпадания из учебного процесса". Как правило, человек, выпавший из всех учебных процессов - скучный человек, не имеющий никаких нетривиальных мыслей, интересов и целей. Конечно, бывают исключения - подтверждающие правило.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1538668 писал(а):

Ну это просто не так. Гораздо больше вероятность, что вопросом "зачем определитель" заинтересуется круглый отличник, а не двоечник или троечник. Двоечникам и троечникам всё и так ясно: определитель нужен, чтобы сдать экзамен, а вопросы задают придурки-ботаники.

Я нигде в своём тексте не говорил про двоечников и троечников. У меня такой термин не встречается и моя классификация их не рассматривает. Я писал про людей в принципе заинтересованных в учёбе.

мат-ламер в сообщении #1538611 писал(а):

Третья категория. У них механизм защиты ещё сильнее. В университете по многим предметам, которые не входят в их интересы, часто отметки всего лишь удовлетворительные. Но интерес в своей очень узкой области сохраняют надолго.

Вот тут я по себе сужу. У меня средний бал по диплому 4.3. И да, были тройки. Особенно не давались нематематические дисциплины. И были сложности с пониманием курса уравнений матфизики на третьем курсе. Первую часть курса, в которой рассматривались конкретные уравнения и методы их решения, я понимал. А во второй начались проблемы. Там в основном был упор на доказательство теорем, причём в каких-то хитрых пространствах. И, то ли у меня уже переполнение в голове наступило, то ли я не испытывал к этому интерес (а моя специализация была далека от УМФ), в общем вторая часть курса мне совершенно не далась. Хотя реально хотел разобраться. И основной вопрос у меня тогда был: "Это всё для чего?". Причём я такой был не один. Причём среди студентов, заинтересованных в учёбе. Даже такой элементарный вопрос, а для чего нужны обобщённые функции, на третьем курсе я не понимал.