Преобразовать комплексную функцию f(x, y) к f(z)

[nnosipov]

Запрещать изучать в ТФКП неаналитические функции как-то не комильфо.

artempalkin в сообщении #1539237 писал(а):

О чем мы тут спорим?

А ни о чем.

[Otta]

amon в сообщении #1539257 писал(а):

Попробуйте записать функцию $f(x,y)=x+y+i$ как $f(z).$

Не, а что особенного?
$f(z)=\operatorname{Re} z + \operatorname{Im} z +i$. Медитировать не буду. Ну да, не аналитическая. Ну и пусть.

[amon]

Otta в сообщении #1539290 писал(а):

Медитировать не буду.

А Вам-то чего медитировать, Вы и так из брахманов. Просто я хотел сказать, что если сделать замену переменных $x=(z+z^*)/2,\,y=(z-z^*)/(2i),$ то аналитическая функция окажется зависящей только от $z,$ а не аналитическая - от обеих переменных $z$ и $z^*$.

[Padawan]

amon
Для произвольной функции $f(x,y)$ двух действительных переменных эта "замена" бессмысленна. $z$ и $\overline z$ не являются независимыми переменными.

-- Пн ноя 15, 2021 23:28:28 --

amon
Это имеет какой-то смысл, если мы можем придавать $x$ и $y$ комплексные значения, то есть в случае вещественно аналитической функции $f(x,y)$. Тогда действительно $z$ и $\overline z$ можно рассматривать в качестве независимых переменных.
Но лучше таким не заморачиваться и вообще не говорить фразу "$f$ зависит только от $z$, и не зависит от $\overline z$". Либо же вкладывать в это только то, что $\frac{\partial f}{\partial \overline z}=0$ в том смысле, что $B=0$ в формуле ewert

Цитата:

$\Delta f=A\Delta z+B\Delta\overline z+o(\Delta z)$.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1539381 писал(а):

Для произвольной функции $f(x,y)$ двух действительных переменных эта "замена" бессмысленна. $z$ и $\overline z$ не являются независимыми переменными.

Думал над этим моментом (безотносительно исходной задачи). Но ведь, например, когда мы делаем замену декартовых координат на полярные, они тоже не являются независимыми (обе как-то выражаются через $x$ и $y$). Там главное, чтобы якобиан был ненулевой, как я понимаю (что в общем-то наоборот означает их функциональную зависимость, насколько я могу понять). В случае с $z$ и $\overline z$ якобиан будет ненулевой, так что вроде в теории можно сделать замену :)

-- 16.11.2021, 10:51 --

Но хотя с другой стороны $r$ и $\varphi$ на самом деле можно совершенно независимо друг от друга выбрать, а вот $z$ и $\overline z$ не получится... не совсем понимаю разницу что-то...

Но в целом интересно, как проверить независимость замены в комплексном случае?

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1539381 писал(а):

Но лучше таким не заморачиваться

Полностью согласен. И вообще, правильный контекст такой: $z$ --- это просто пара $(x,y)$, которую мы договорились записывать в виде $x+yi$. Поэтому $f(z)=f(x,y)$.

[mihaild]

amon в сообщении #1539220 писал(а):

Кто бы мне объяснил, что означает последнее равенство, если $f$ - функция двух переменных, либо $x$ и $y,$ либо $z$ и $z^*$?

Вот если бы было сказано "рассмотреть $f$ как функцию от $z$", то было бы понятно. А так нет - нам явно нужно какое-то вложение $\mathbb R$ в $\mathbb R^2$ с фиксированным базисом, но совершенно непонятно, чем вложение в первую координатную ось лучше любого другого.