"Теорема Гёделя" никогда не была доказана

[bot]

naiv1 писал(а):

Если не требовать от аксиоматики независимости ее аксиом, т.е. ее минимальности, то все эти утверждения действительно могут считаться аксиомами.
Хотя мое эстетическое чувство интуитивно протестует против подобного подхода - объявлять заведомо выводимые утверждения аксиомами.

А что делать в случае, если любая аксиома выводима из остальных? Примеров таких систем, разумеется конечных среди них нет, хоть пруд пруди.

ЗЫ. Вообще-то это оффтоп, а по топу что-то не хочется. Такое ощущение здесь К.Давидюк присутствует - стиль уж очень похож, нахватался терминологии, а в смысл вникнуть не удосужился.

[вздымщик Цыпа]

bot в сообщении #153864 писал(а):

Примеров таких систем, разумеется конечных среди них нет, хоть пруд пруди.

Ну почему же нет конечных? Элементарно. Если у нас есть конечная система аксиом, и мы для каждой аксиомы $\cal A$ добавим в систему в качестве аксиомы $\neg\neg\cal A$, то получим конечную систему, эквивалентную исходной, где каждая аксиома выводится из остальных.

[Инт]

маткиб писал(а):

Предъявите список аксиом в таком виде, чтобы они не были утверждениями о самих себе. Пока вы этого не сделали, нет гарантии, что это можно сделать. Аксиома "2+2=4" таковой является, а вот из "из доказуемости следует истинность" не является, сто раз писал почему (потому что в понятие доказуемости включается и сама аксиома).

Вот если бы вы сказали "из доказуемости на основе других аксиом (без этой) следует истинность", то я бы поверил.

Формула Гёделя является утверждением о самой себе, и ничего, принммается Вами. Вы хотите сказать, что у Вас есть абсолютные критерии по этому поводу?

Добавлено спустя 23 минуты 50 секунд:

маткиб писал(а):

Инт в сообщении #153248 писал(а):

Это именно тот случай, из двух, который рассматриваете Вы. Т.е. противоречия у Вас нет, но тогда, Вы получаете «логически неполноценную теорию арифметики».

Повторяетесь, батенька.
Вы не как не можете поверить в то, что логически полноценных теорий не бывает. Не в формализации Гёделя, а вообще их не бывает в принципе!
[философия]
Степень логической абстракции не ограничена, и в рамках одной теории вы все возможные уровни логической абстракции не запихаете, вот попробуйте! Вообще, уровни логической абстракции не существуют сами по себе, их ещё придумать надо (в это трудно поверить)!
[/философия]
Короче, читать парадоксы теории множеств (несуществование множества всех множеств, множества всех кардиналов, множества всех ординалов).

Зачем мне кому-то верить, если мною приведены точные рассуждения: теория Гёделя либо использует формулы А и Б одновременно в качестве аксиом, либо не использует одну или обе эти формулы. Если первое, то противоречие. Если второе, то если Вы утверждаете, что аксиома "из доказуемости следует истинность" не должна с необходимостью использоваться в достаточно богатой арифметике, то вы утверждаете абсурд. Если вы отрицаете в качестве аксиомы теории S соотношение А, т.е. соотношение в котором участвует формула Гёделя, то снова не можете говорить об адекватности созданной Вами теории арифметики, так как по существу, по факту способны разрешить формулу Гёделя Ф в теории Т или в некой более богатой теории арифметики Е, и никак не обосновали, что столь эффективные процедуры не могут использоваться в арифметике, и "доказуемость" Гёделя тогда становится лишь "доказуемостью средствами очевидно ограниченного набора аксиом".

Даже если считать, что я не предьявил требуемой Вами теории (хотя это не так, см. обсуждение с маткибом по этому поводу), то это никак не отменяет сделанных мной выводов.

[Xaositect]

Инт в сообщении #153927 писал(а):

Формула Гёделя является утверждением о самой себе, и ничего, принммается Вами. Вы хотите сказать, что у Вас есть абсолютные критерии по этому поводу?

Строго говоря, формула Геделя является утверждением о своем геделевом номере.
Есть, теорема о неподвижной точке(не критеий, но достаточное условие):
Если $A(x)$ - арифметическая формула, то сущ. формула $B$ такая, что доказуемо $B\equiv A(\gamma B)$, $\gamma B$ - геделев номер $B$

[bot]

вздымщик Цыпа писал(а):

Ну почему же нет конечных? Элементарно.

Виноват, я имел в виду системы аксиом, которые не эквивалентны никаким независимым системам аксиом. В частности, из такой системы можно выбрасывать любую аксиому и конечных таких систем ясно нет.

[Xaositect]

Инт в сообщении #153927 писал(а):

(хотя это не так, см. обсуждение с маткибом по этому поводу)

Вы предъявили противоречивую теорию.

Инт в сообщении #153927 писал(а):

то это никак не отменяет сделанных мной выводов.

Для того, чтобы опровергнуть теорему, нужно привезти логическую ошибку в признанном правильным доказательстве, а не философские пробелы в своей интерпретации популярной статьи.

[маткиб]

Инт в сообщении #153927 писал(а):

Формула Гёделя является утверждением о самой себе, и ничего, принммается Вами. Вы хотите сказать, что у Вас есть абсолютные критерии по этому поводу?

Формула Гёделя НЕ ЯВЛЯЕТСЯ утверждением о самой себе. Гёдель описал, как записать свою формулу, используя лишь язык формальной арифметики (и в этом вся суть его доказательства), а вы - нет.

Инт в сообщении #153927 писал(а):

Если второе, то если Вы утверждаете, что аксиома "из доказуемости следует истинность" не должна с необходимостью использоваться в достаточно богатой арифметике, то вы утверждаете абсурд.

Пока вы не пояснили, как пользоваться этим набором слов, который вы называете аксиомой, вы не показали существование естественной логически неограниченной теории.

[Инт]

Ещё раз:

epros писал(а):

Я утверждаю, что Гёдель проводит свои рассуждения в метатеории.

Инт писал(а):

Формулу «Ф эквивалентна Prf(Ф)» обозначим как А.

Формулу «Prf(Ф) влечёт Ф» обозначим как Б.

Обе формулы принадлежат теории S.

Докажите.

Инт писал(а):

Вы рассуждаете средствами теории T, но это не означает, что нельзя рассуждать в S, используя эти же формулы.

Докажите что можно.

Инт писал(а):

Решающим фактом при выводе «противоречия или логической ограниченности теории Гёделя» является несовместимость формул А и Б в S.

Всё дальнейшее Вы зря написали, ибо:
1. Несовместимость этих формул в теории S никого не интересует, ибо Гёдель не утверждал, что они есть в теории S.
2. То, что эти формулы могут быть записаны в теории S, Вами декларировано, но не доказано.

Вас могут не интересовать рассуждения в теории S, но они проводимы в S, и приводят как часть более общего рассуждения к выяснению что т.н. "теорема Гёделя" не есть теорема в содержательном понимании того, что должно принадлежать арифметике.

Добавлено спустя 7 минут 44 секунды:

epros писал(а):

Инт писал(а):

Если формулы А и Б не принадлежат теории S, и их нельзя использовать в рассуждениях S, то относительно недоказуемости их в S бессмысленно говорить.

Относительно недоказуемости чего? Гёдель говорит о недоказуемости в $S$ некой формулы $G$, но он ничего не говорит о доказуемости или недоказуемости в $S$ "формулы А":
$G \leftrightarrow \neg (S \vdash G)$

Инт писал(а):

В частности, тогда никакаго смысла не имеет "теорема Гёделя", т.е. она имеет смысл тогда, когда эти формулы принадлежат S, но недоказуемы в этой теории.

Не знаю, какой ещё "смысл" Вы ищете, но теорема говорит именно о том, о чём говорит:
Есть такое арифметическое выражение $G$, которое истинно (что доказано метатеорией $T$), но недоказуемо средствами теории $S$.

Действительно, мной написано не очень удачно, в спешке. Я имел ввиду, конечно, чно бессмысленно тогда говорить о недоказуемости Ф в теории S.

Если формула не принадлежит S, то говорить об её истинности в S или о её недоказуемости в S не имеет никакого смысла. Этот смысл я и имел ввиду.

[Xaositect]

Инт в сообщении #153939 писал(а):

того, что должно принадлежать арифметике.

Давайте мы оставим право решать, что должно принадлежать арифметике людям, работающим в теории чисел.

Почитайте вот эту статью: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9381
В ней доказывается теорема Лёба:
Если $\vdash Prf(A)\to A$, то $\vdash A$

[PSP]

Перенёс в Свободный полёт

[PAV]

PAV:

PSP, не развивайте оффтоп, пожалуйста.

[epros]

Инт писал(а):

Действительно, мной написано не очень удачно, в спешке. Я имел ввиду, конечно, чно бессмысленно тогда говорить о недоказуемости Ф в теории S.

Если формула не принадлежит S, то говорить об её истинности в S или о её недоказуемости в S не имеет никакого смысла. Этот смысл я и имел ввиду.

Да о какой формуле, наконец, Вы говорите? Гёделевская формула $G$ принадлежит к $S$, ибо является арифметическим выражением. Поэтому о её недоказуемости в $S$ можно говорить. А истинность её доказана метатеорией $T$, а не теорией $S$.

[Инт]

Xaositect писал(а):

Инт в сообщении #153927 писал(а):

Формула Гёделя является утверждением о самой себе, и ничего, принммается Вами. Вы хотите сказать, что у Вас есть абсолютные критерии по этому поводу?

Строго говоря, формула Геделя является утверждением о своем геделевом номере.
Есть, теорема о неподвижной точке(не критеий, но достаточное условие):
Если $A(x)$ - арифметическая формула, то сущ. формула $B$ такая, что доказуемо $B\equiv A(\gamma B)$, $\gamma B$ - геделев номер $B$

Гёделев номер формируется через алгоритм, который переводит некоторую цепочку знаков, интерпретируемых как знаки формулы. Т.е. формула Гёделя является утверждением о себе самой. Другой вопрос каким утверждением она является.

По этому же вопросу:

маткиб писал(а):

Формула Гёделя НЕ ЯВЛЯЕТСЯ утверждением о самой себе. Гёдель описал, как записать свою формулу, используя лишь язык формальной арифметики (и в этом вся суть его доказательства), а вы - нет.

Инт в сообщении #153927 писал(а):
Если второе, то если Вы утверждаете, что аксиома "из доказуемости следует истинность" не должна с необходимостью использоваться в достаточно богатой арифметике, то вы утверждаете абсурд.

Пока вы не пояснили, как пользоваться этим набором слов, который вы называете аксиомой, вы не показали существование естественной логически неограниченной теории.

Я пользовался в точности определениями и аксиомами арифметики и логики.

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

Xaositect писал(а):

Инт в сообщении #153939 писал(а):

того, что должно принадлежать арифметике.

Давайте мы оставим право решать, что должно принадлежать арифметике людям, работающим в теории чисел.

Почитайте вот эту статью: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9381
В ней доказывается теорема Лёба:
Если $\vdash Prf(A)\to A$, то $\vdash A$

Рассуждение не по делу. Можете лишить себя права не решать. Пожалуйста.
Любой математик имеет такое право.

Прошу ВСЕХ участников темы не обсуждать не имеющие к ней отношения вопросы.

[маткиб]

Инт в сообщении #153948 писал(а):

Я пользовался в точности определениями и аксиомами арифметики и логики.

Ложь.

[Инт]

epros писал(а):

Инт писал(а):

Действительно, мной написано не очень удачно, в спешке. Я имел ввиду, конечно, чно бессмысленно тогда говорить о недоказуемости Ф в теории S.

Если формула не принадлежит S, то говорить об её истинности в S или о её недоказуемости в S не имеет никакого смысла. Этот смысл я и имел ввиду.

Да о какой формуле, наконец, Вы говорите? Гёделевская формула $G$ принадлежит к $S$, ибо является арифметическим выражением. Поэтому о её недоказуемости в $S$ можно говорить. А истинность её доказана метатеорией $T$, а не теорией $S$.

Из сказанного Вами вытекает, что вы совершенно не прочли мои аргументы в параграфах 10-12, так как они полностью делают бесмыссленной "теорему Гёделя", т.е доказывают, что из рассуждения Гёделя из его доказательства в мететеории, не вытекают те более обобщающие выводы, которые он и Вы распространяете на содержательную арифметику.