"Теорема Гёделя" никогда не была доказана

[Инт]

маткиб-у

Прошу у Вас прощение за коверкание Вашего ника.
Я нечаяно, в запале спора не проверил правильность написания.

Обдумаю как детальнее предъявить требуемые Вами теории. Сегодня дам ответ.

Добавлено спустя 1 час 51 минуту 37 секунд:

маткиб-у

и другим

При формулировке некой требуемой теории R, подобной S, переопределим функцию г(n), о которой говорилось в посте №1, так чтобы для всех номеров, которые являются номерами доказательства формулы Ф: "не существует n (g равно г(n))", где g - гёделев номер "гёделевой формулы" Ф, оказывалось бы, что г(n) = 0. Плюс к тому, считаем, что аксиомами теории R являются обычные аксиомы арифметики (каковы бы они ни были) и формула Ф, и аксиома, что "из доказуемости вытекает истинность".

Таким образом, если N не является номером доказательства для Ф, то будет "г(N) не равно g". Если N - номер доказтельства для Ф, то так как "g не равно 0", а г(N) = 0, то "г(N) не равно g" для таких N. Получаем, что "для всех n (g не равно г(n))". Т.е. Ф очевидно верна. Проведённое рассуждение всегда можно провести в рамках созданной теории R.

Посмотрим, что является утверждением "формула X доказуема". Можно считать, что формула "существует n (m равно г(n))" является утверждением "доказуема формула с гёделевым номером m, если она не есть формула Ф". Последнюю формулу обозначим Д(m). Таким образом, в теории R естественно принять в качестве полного утверждения "формула доказуема", относительно формулы с гёделевым номером m, утверждение: "Д(m) или Ф".

Посмотрим, что означает утверждение "формула с гёделевым номером g не доказуема". Она означает "неД(g) и неФ", т.е. формулу: "(для всех n (g не равно г(n))) и (существует n (g равно г(n)))", т.е. тождественно ложную формулу. Следовательно, формула "формула с гёделевым номером g не доказуема", т.е. утверждение о недоказуемости Ф, в теории R будет тождественно ложной формулой, т.е. эквивалентно тождественно ложной формуле, а не формуле Ф. Следовательно, отрицание такого утверждения будет тождественно истинной формулой и, поэтому, не может противоречить аксиоме, что "из доказуемости следует истинность", если эта аксиома не противоречит другим аксиомам. Указанная тождественно истинная формула говорит в точности о том, что "Ф доказуема".

Таким способом явное, конкретное (связанное с конкретной формулой) противоречие снимается.

С другой стороны, вряд ли указанные переопределения ограничат богатство теории арифметики R.

Наконец, о непротиворечивости теории R. Противоречивых теорий очень много и их легко предъявить бесконечно много. Некоторые противоречивые теории уже трудно выявляемы, так как противоречие запрятано в них глубоко. Но это противоречие всегда может быть в принципе обнаруживаемо на конечном шаге. Непротиворечивых теорий, оперирующих бесконечным количеством объектов, не предъявил никто, так как для этого необходимо некое общее доказательство относительно бесконечного количества утверждений. И тогда возникает замкнутый круг. Поэтому, некоторые определения, если они сразу и в явном виде не приводят к противоречиям и являются достаточно содержательными и интересными, являются достаточным основанием (индукции) для того, чтобы считать такие определения непротиворечивыми. Поэтому, я и утверждаю, что R непротиворечива с точностью до непротиворечивости арифметики. Можно рассуждать ещё подробнее, но думаю, что не стоит в формате данного форума.

Что же касается, оператора D и аксиомы "DX влечёт X", то неужели следует предполагать, что содержательных теорий с кванторами, содержащими указанную аксиому нет? Отмечу так же, что никакой перемены смысла доказуемости при переходе к каким-либо аксиомам я не допускаю.

[epros]

Инт писал(а):

Вы так и не прочли мои определения и мои доказательства. Учите меня тому, что я и сам определил в постах №1 и №2. Иными словами, там приведено рассуждение именно в метатеории, которое "доказывает теорему Гёделя".

То, что я процитировал, я прочёл. Прежде, чем мне читать дальше, скажите мне пожалуйста: Мне верить этому или нет? Пункты 1. и 2. параграфа 7 являются утверждениями интерпретируемой теории, а не метатеории?

Инт писал(а):

в S определён предикат Prf

Неверно. Предикат доказуемости не может быть определён в той же теории, для которой он определён. Ткните пальцем в то место работы Гёделя, где такое утверждается.

Кстати, на этот предмет существует специальная теорема Тарского.

[маткиб]

Инт в сообщении #152770 писал(а):

При формулировке некой требуемой теории R, подобной S, переопределим функцию г(n), о которой говорилось в посте №1, так чтобы для всех номеров, которые являются номерами доказательства формулы Ф: "не существует n (g равно г(n))", где g - гёделев номер "гёделевой формулы" Ф, оказывалось бы, что г(n) = 0. Плюс к тому, считаем, что аксиомами теории R являются обычные аксиомы арифметики (каковы бы они ни были) и формула Ф, и аксиома, что "из доказуемости вытекает истинность".

Не вижу, чем это отличается от того, о чём я писал раньше. Вы так можете и парадокс лжеца добавить в качестве аксиомы. Остальное не читал, потому что сразу в глаза бросилось.

Добавлено спустя 5 минут 54 секунды:

Инт в сообщении #152770 писал(а):

Что же касается, оператора D и аксиомы "DX влечёт X", то неужели следует предполагать, что содержательных теорий с кванторами, содержащими указанную аксиому нет?

Такие теории есть, в них D - символ. Можете и в свою теорию его добавить, только это ничего не даст. В доказательстве теоремы Гёделя используется не значок D, а конкретное отображение Prf из множества арифметических формул в множество арифметических формул.

Если уж хотите построить свою "логически полноценную" теорию, то опишите, что в этой теории является доказательством и т.п. А не просто добавляя парадокс лжеца в качестве аксиомы.

[Инт]

epros-у

Цитата:

Прежде, чем мне читать дальше, скажите мне пожалуйста: Мне верить этому или нет? Пункты 1. и 2. параграфа 7 являются утверждениями интерпретируемой теории, а не метатеории?

Ничему верить не надо. Надо точно знать. Поскольку приведены доказательства, то они либо доказательства, либо нет. На самом деле, если бы Вы прочли полностью все мои определения, то вопросов этих бы не задавали, так как в постах №1 и №2 всё определено.

Тем не менее, поясню дополнительно:

Пункты 1 и 2 параграфа 7 можно считать утверждениями метатеории T относительно формул теории S. С другой стороны, формулы, упомянутые в этих пунктах суть S-формулы, т.е. принадлжат теории S. Следовательно, относительно этих формул можно рассуждать как в теории T, так и в теории S (условно или безусловно).

Ниже пунктов 1 и 2, приводятся рассуждения, которые можно проводить в S, при определённых условиях, а можно только в T, при определённых условиях. Оба случая рассмотрены.

Цитата:

Предикат доказуемости не может быть определён в той же теории, для которой он определён. Ткните пальцем в то место работы Гёделя, где такое утверждается.

Предикат доказуемости является S-формулой, возможно, связанный какими-то соотношениями через аксиомы теории S и именно такой смысл подразумевался, когда утверждалось, что он определён в S. Ясно, что в T он так же определён, и даже более полно.

Добавлено спустя 1 час 56 секунд:

маткиб-у

Цитата:

Не вижу, чем это отличается от того, о чём я писал раньше. Вы так можете и парадокс лжеца добавить в качестве аксиомы. Остальное не читал, потому что сразу в глаза бросилось.

Отличается. Если бы прочли дальше, то там и содержался ответ на Ваш вопрос.
В частности, почему присоединяемая аксиома не должна привести к противоречиям.
Парадокс лжеца Вы присоединить не можете, так как он сразу приводит к конкретному противоречию, и кроме того, до конца не формализован.

Цитата:

Если уж хотите построить свою "логически полноценную" теорию, то опишите, что в этой теории является доказательством и т.п. А не просто добавляя парадокс лжеца в качестве аксиомы.

Парадокс лжеца я не добавлял. Там, где Вы не прочли, многое объясняется: при переопределении функтора, формула Ф становится тривиально разрешимой и истинной, а утверждение, что эта формула недоказуема, уже не эквивалентно формуле Ф. Таким образом, соотношение Гёделя (формула эквивалента собственной недоказуемости) не выполняется в теории R.

Добавлено спустя 50 минут 4 секунды:

Цитата:

опишите, что в этой теории является доказательством

Стандартное определение доказательства. Аксиомы. Правила вывода.

[epros]

Инт писал(а):

Пункты 1 и 2 параграфа 7 можно считать утверждениями метатеории T относительно формул теории S. С другой стороны, формулы, упомянутые в этих пунктах суть S-формулы, т.е. принадлжат теории S.

Итак, всё-таки утверждения метатеории (в Ваших обозначениях - $T$), а не теории (в Ваших обозначениях - $S$). Т.е. имеем:
$T \vdash \exists (G \in S) (G \leftrightarrow \neg (S \vdash G))$
$T \vdash \forall (\Phi \in S) ((S \vdash \Phi) \to \Phi)$

Здесь $T \vdash$ в начале строк явно указывает на то, что речь идёт об утверждениях мета-теории $T$. Правильно?

Естественно, формулы, упомянутые в этих пунктах (т.е. $G$ и $\Phi$), принадлежат интерпретируемой теории $S$ (что явно указано в выражениях, следующих за значками кванторов).

Инт писал(а):

Следовательно, относительно этих формул можно рассуждать как в теории T, так и в теории S (условно или безусловно).

Относительно этих формул можно рассуждать как в теории $T$, так и в теории $S$, но относительно доказуемости этих формул в теории $S$ нельзя рассуждать в теории $S$.

Инт писал(а):

Предикат доказуемости является S-формулой, возможно, связанный какими-то соотношениями через аксиомы теории S и именно такой смысл подразумевался, когда утверждалось, что он определён в S. Ясно, что в T он так же определён, и даже более полно.

Тэк-с, давайте уточним о чём речь.

Предикат $Prf(k,n)$ который с точки зрения метатеории $T$ равносилен доказуемости $\Psi_k(n)$ в теории $S$, где $k$ - Гёделевский номер одноместного предиката теории $S$, а $n$ - натуральное число, подставляемое в качестве его аргумента, действительно является арифметическим выражением, т.е. является предикатом теории $S$ (ибо она включает арифметику). На формальном языке:
$T \vdash \forall (k,n \in \mathbb{N}) (Prf(k,n) \leftrightarrow (S \vdash \Psi_k(n)))$
$T \vdash Prf(k,n) \in S$

Определив:
$D(k) = \neg Prf(k,k)$
и учтя, что $D(k)$ - это одноместный арифметический предикат, т.е. он принадлежит теории $S$:
$T \vdash D(k) \in S$
Гёдель делает вывод, что у $D(k)$ есть некий Гёделевский номер $m$:
$T \vdash \exists (m \in \mathbb{N}) \forall (k \in \mathbb{N}) (D(k) = \Psi_m(k))$
А подставив $k = m$ в $D(k)$, он получает своё высказывание $G$, которое равносильно своей недоказуемости в теории $S$:
$G = D(m) = \neg Prf(m,m) \leftrightarrow \neg (S \vdash \Psi_m(m))$

Итак, в чём парадокс?

[маткиб]

маткиб в сообщении #152820 писал(а):

Стандартное определение доказательства. Аксиомы. Правила вывода.

Предъявите список аксиом в таком виде, чтобы они не были утверждениями о самих себе. Пока вы этого не сделали, нет гарантии, что это можно сделать. Аксиома "2+2=4" таковой является, а вот из "из доказуемости следует истинность" не является, сто раз писал почему (потому что в понятие доказуемости включается и сама аксиома).

Вот если бы вы сказали "из доказуемости на основе других аксиом (без этой) следует истинность", то я бы поверил.

[Инт]

epros-у

Рад, что Вы перешли на техничный язык. Отвечу Вам скоро, т.к. думаю об ответе не одному Вам.

[mud]

epros писал(а):

Инт писал(а):

Пункты 1 и 2 параграфа 7 можно считать утверждениями Тэк-с, давайте уточним о чём речь.

Предикат $Prf(k,n)$ который с точки зрения метатеории $T$ равносилен доказуемости $\Psi_k(n)$ в теории $S$, где $k$ - Гёделевский номер одноместного предиката теории $S$, а $n$ - натуральное число, подставляемое в качестве его аргумента, действительно является арифметическим выражением, т.е. является предикатом теории $S$ (ибо она включает арифметику). На формальном языке:
$T \vdash \forall (k,n \in \mathbb{N}) (Prf(k,n) \leftrightarrow (S \vdash \Psi_k(n)))$
$T \vdash Prf(k,n) \in S$

Определив:
$D(k) = \neg Prf(k,k)$
и учтя, что $D(k)$ - это одноместный арифметический предикат, т.е. он принадлежит теории $S$:
$T \vdash D(k) \in S$
Гёдель делает вывод, что у $D(k)$ есть некий Гёделевский номер $m$:
$T \vdash \exists (m \in \mathbb{N}) \forall (k \in \mathbb{N}) (D(k) = \Psi_m(k))$
А подставив $k = m$ в $D(k)$, он получает своё высказывание $G$, которое равносильно своей недоказуемости в теории $S$:
$G = D(m) = \neg Prf(m,m) \leftrightarrow \neg (S \vdash \Psi_m(m))$

Итак, в чём парадокс?

Если я правитльно понял вас, epros, то ошибка Геделя заключается в следующем. Гедель применяет диагональный метод Кантора при построении своего высказывания. В то время, как диоганальный метод не введен на уровне конструкции посредством правила вывода или аксиомы.

[epros]

mud писал(а):

диоганальный метод не введен на уровне конструкции посредством правила вывода или аксиомы.

Не вижу здесь никакого возражения Гёделю.

[mud]

epros, разберите более детально построение Геделя.

Добавлено спустя 48 минут 12 секунд:

1-ая ошибка.

epros писал(а):

Определив:
$D(k) = \neg Prf(k,k)$
и учтя, что $D(k)$ - это одноместный арифметический предикат, т.е. он принадлежит теории $S$:

D(k) является формальным выражением в теории S, но оно не является теоремой в этой теории, т.е. оно не выводимо. Поясню, чтобы вы правильно поняли. Выражение "Колеса светят широко" - грамматически правильное, но лишенное смысла. То же самое и здесь, можно построить выражение, которое будет формулой в теории, но не будет теоремой или не будет иметь смысла.

2-ая ошибка.

epros писал(а):

Гёдель делает вывод, что у $D(k)$ есть некий Гёделевский номер $m$:
$T \vdash \exists (m \in \mathbb{N}) \forall (k \in \mathbb{N}) (D(k) = \Psi_m(k))$

Гедель методом Кантора строит диагональный предикат $D(k)$, который не совпадает ни с одним из занумерованных. Но! все все предикаты имеют номера... "Значит.."- думает Гедель - "есть некоторое число, скажем m..."
На самом деле предикат $D(k)$ не может иметь номера, так как он не является формальным выражением, допустимым для построения формальных выражений для данной теории S. Взгляните в любую книгу по матлогике, там определено правило для построения выражений. Среди них диагонального метода нету. Вы скажите:"Но ведь оно грамматически правильное!" - смотрите выше ошибку №1.

3-я ошибка.

epros писал(а):

А подставив $k = m$ в $D(k)$, он получает своё высказывание $G$, которое равносильно своей недоказуемости в теории $S$:
$G = D(m) = \neg Prf(m,m) \leftrightarrow \neg (S \vdash \Psi_m(m))$

Конкретизировав k, прировняв его m, он получает высказывание, которое не принадлежит теории S, так как предикат $D(k)$ не является предикатом теории S и , тем более, его частности.

[Jnrty]

mud в сообщении #153096 писал(а):

Гедель применяет диагональный метод Кантора при построении своего высказывания. В то время, как диоганальный метод не введен на уровне конструкции посредством правила вывода или аксиомы.

Jnrty:

Идиотизмы Давидюка здесь уже обсуждались и более обсуждаться не будут. В своё время объяснялось, что диагональная конструкция Кантора легко формализуется и никаких дополнительных предположений, аксиом, постулатов или правил вывода не требует.

mud блокируется как клон Давидюка.

[naiv1]

маткиб в сообщении #152954 писал(а):

Аксиома "2+2=4" таковой является

Интересно, можете привести пример теории, в которой утверждение 2+2=4 "является аксиомой"?

А равенство 2+3=5 это тоже аксиома или уже теорема?

[arqady]

Jnrty, а можно хотя бы ссылочку на "Идиотизмы Давидюка" и на "лёгкую" формализацию на этом форуме, чтобы самому оценить.
Мне по поиску ничего не удалось найти.
Спасибо!

[маткиб]

naiv1 в сообщении #153149 писал(а):

Интересно, можете привести пример теории, в которой утверждение 2+2=4 "является аксиомой"?

А равенство 2+3=5 это тоже аксиома или уже теорема?

Не понимаю, что вы хотите сказать своим вопросом. Даже в аксиоматику Пеано можно добавить 2+2=4 и 2+3=5, а от того, что они выводимы из других, они не перестают быть аксиомами.

P.S. Вопрос о минимальности аксиоматики чрезвычайно сложный, поэтому лучше по этому поводу особо не заморачиваться.

Добавлено спустя 2 часа 23 минуты 16 секунд:

Кстати, аксиоматика Пеано не минимальна.

[Инт]

epros

Цитата:

...Итак, в чём парадокс?

Вы применяете новые обозначения, эквивалентные тем, которые я уже ввёл. По-видимому, и для моих оппонентов, и для тех, кто читает нашу дискуссию, и для меня, такой подход не удобен, так как обсуждение будет загромождаться переводом формул из одних обозначений в другие. Поэтому, я буду придерживаться своих обозначений, которые, тем более, привязаны к моему тексту в постах №1 и №2, и, отсюда, могут подвергаться более ясной критике.

Выводя недоказуемость гёделевой формулы, Вы привели рассуждение в точности такое же, какое я привёл в посте №1, лишь с тем отличием, что вы утверждаете, будто бы рассуждение можно провести только в метатеории. В посте №1 я отметил, что моими оппонентами будет оспариваться возможность проведения рассуждения «о недоказуемости гёделевой формулы» в самой гёделевой теории, и будет утверждаться, что такое рассуждение проводимо только в метатеории. В посте №2 я точно пояснил, что если противоречие снимается, то это приводит: либо к логически неполноценной теории, либо к теории недоказуемость формулы которой, никак не влечёт неполноту арифметики, так как теория не совпадает с арифметикой.

Разъясняю более детально.

§10

Формулу «Ф эквивалентна Prf(Ф)» обозначим как А.

Формулу «Prf(Ф) влечёт Ф» обозначим как Б.

Обе формулы принадлежат теории S. Вы рассуждаете средствами теории T, но это не означает, что нельзя рассуждать в S, используя эти же формулы.

Решающим фактом при выводе «противоречия или логической ограниченности теории Гёделя» является несовместимость формул А и Б в S. Несовместимость устанавливается средствами S (см. пост №2, и приведённый здесь текст). Что, как далее будет доказано, достаточно для заключения о том, что «теорема Гёделя не доказана».

В самом деле. Обозначим как ThS множество формул, являющихся теоремами теории S (т.е. множеством формул, безусловно выводимых из аксиом теории S). Ясно, что множество ThS включено в S. Рассмотрим следующие случаи:

(i) Формула А принадлежит ThS.
(ii) Формула А не принадлежит ThS.
(iii) Формула Б принадлежит ThS.
(iv) Формула Б не принадлежит ThS.

Если верно (i), то в посте №2 детально выводится противоречие в S (если верно (iii)), или логическая ограниченность S (если верно (iv)).

Вы рассматриваете, если говорить по существу, случаи когда формула А не принадлежит ThS и формула Б не принадлежит ThS, т.е. случаи (ii) и (iv) – в том предположении, что обе формулы выводимы только в метатеории T, или случаи (ii) и (iii) когда формула А не принадлежит ThS и формула Б принадлежит ThS - в предположении, что только в метатеории выводится формула А. В каком-то смысле, Вы повторяете одно из рассуждений, изложенное в посте №2, в параграфе 7, которое проводится в метатеории, которое выводит недоказуемость гёделевой формулы Ф в S, и не приводит к противоречиям только потому, что одна из формул теории S (именно, формула Б в моём отмеченном рассуждении), используемых для вывода, может не являться теоремой (аксиомой) теории S, не принадлежит ThS. Т.е., по Вашим доводам, обе формулы или одна из них, используемых в рассуждении, могут быть определены так, что не будут принадлежать ThS, не являются S-теоремами, и поэтому так же не приведут к противоречию. Это действительно так, явного противоречия ни в S, ни в T, в том, что формула Гёделя будет «недоказуемой», при выставленных Вами условиях, такое рассуждение не даст. Мало того, из него вытекает, что «Ф недоказуема средствами S» в качестве утверждения метатеории.

Если формула А не принадлежит ThS, а формула Б принадлежит ThS, то опять же можно провести рассуждение (похожее на Ваше рассмотренное, или на моё в параграфе 7), и вновь придти к заключению, что «Ф недоказуема средствами S» без противоречия. Кроме того, окажется, что в S будет выполняться аксиома «из доказуемости вытекает истинность» без противоречия (во всяком случае, без явного противоречия), т.е. одновременно, если судить по такому рассуждению, теория S окажется ещё и «логически полноценной».

Однако. В параграфе 7 поста №2 формулировка утверждения 2 такова:

Существует формула Ф из S такая, что средствами теории S доказуемо, что «Ф равносильна формуле неPrf(Ф)».

Там же приводится доказательство в S, почему верно указанное утверждение 2. В самом конце этого поста, в параграфе 11, я поясню такое доказательство подробнее.

Иными словами, утверждение 2, если оно верно, исключает выставляемый Вами случай, т.е., что «формула А не принадлежит ThS», т.е. исключает случай (ii).

Но всё же будем рассматривать неблагоприятный для моих аргументов и благоприятный для Ваших аргументов случай (ii), хотя бы потому, что всегда можно ухитрится и дать такое определение теории S, что окажется, что «формула А не принадлежит ThS». В частности, для этого, можно все права на определения функторов передать в метатеорию T, а все обязанности по доказательству свойств этих функторов возложить на теорию S. На самом деле, так определённая S будет уже «слабо патологична», т.е. отличаться от любой классической теории арифметики, в силу того, что в последних, рассматриваемые объекты определяются как можно полнее в самой теории арифметики (Представьте, что в классическую теорию введён предикат, который никаким образом не связан логически с другими предикатами. Лишь символ. Ясно, что относительно его свойств ничего доказать нельзя). В «слабо патологичной» S нельзя говорить в полной мере о том, для чего эта теория была создана. Однако и такую «слабую патологию» считаем допустимой.

При выполнении условия (ii):

Если выполнено условие (iv), то мы снова рассматриваем случай «логически неполноценной теории», о которой с маткиб-ом беседа велась в подробностях (прошу эту беседу проследить, прежде чем мне возражать), т.е. случай, когда в S не содержится в качестве схемы аксиом то, что «из доказуемости следует истинность».

Это именно тот случай, из двух, который рассматриваете Вы. Т.е. противоречия у Вас нет, но тогда, Вы получаете «логически неполноценную теорию арифметики».

Если выполняются (ii) и (iii) (да и если не рассматривать последние мои доводы), всё равно возникает вопрос об адекватности теории S классической теории арифметики, понимаемой в первую очередь содержательно. Именно: теория S включает в себя арифметику Пеано PA, или каким-то другим образом понимаемую классическую арифметику CA, в интерпретируемом теорией T смысле, но не наоборот. Т.е. PA или CA не интерпретируются в качестве теорий метатеорией так, чтобы они совпадали в точности с теорией S, или включали S в себя (вместе с утверждениями о доказуемости формул PA или CA). В самом деле, в S допустимы утверждения о доказуемости формул (вопреки обратному утверждению, так как Prf(X) есть S-формула). Следовательно, S содержит формулы, не содержащиеся в обычной арифметике. «Недоказуемость в S» выводится для формулы Ф, не принадлежащей обычной классической арифметике (в том содержательном смысле, какой придаётся формулам арифметики в теории S). Следовательно, не доказывается (по факту), что формулы какой-либо богатой классически понимаемой арифметики не могут образовывать полную теорию. То, что формулы А, Б, Ф могут являться арифметическими формулами в теории T ничего не даёт, так как такие формулы доказуемы в T. Более короткое замечание по этому поводу я делал в параграфе 8, от чего оно не теряет силу.

§11

Пояснение к доказательству утверждения 2 из параграфа 7.

В теории S содержится предикат «m равно гёд.ном.Ч», при любой формуле Ч, принадлежащей теории S, и любом натуральном m. Так как простым алгоритмом, через аксиомы S, в S определим гёделев номер Ч как цепочки знаков.

Для каждой формулы Ч из S, для каждого натурального m установимо средствами S, что «m равно гёд.ном.Ч» или для каждой Ч из S, для каждого m установимо средствами S, что «m не равно гёд.ном.Ч». Простой проверкой по указанному алгоритму.

Функтор sb(n, m) определим в S, так как для каждых n и m sb(n, m) – гёделев номер конкретной формулы.

Опять же, если умышленно ограничены аксиомы, определяющие в S указанные функторы «гёд.ном.» и «sb», то прибегаем к рассуждениям параграфов 10 и 11.



P.S. Я считаю, что даже если участник нашей дискуссии ошибается, лишение его слова это ненаучный метод. Я, например, не понял полностью возражение mud, но прояснить позицию, видимо, теперь невозможно.

Добавлено спустя 1 час 56 минут 43 секунды:

epros писал(а):

Итак, всё-таки утверждения метатеории...