"Теорема Гёделя" никогда не была доказана

[Xaositect]

Инт в сообщении #153948 писал(а):

Рассуждение не по делу. Можете лишить себя права не решать. Пожалуйста.
Любой математик имеет такое право.

Я имел в виду, что если принять серию аксиом $Prf(A)\to A$, то по теореме Леба любое утверждение станет доказуемым.

[Инт]

маткиб писал(а):

Инт в сообщении #153948 писал(а):

Я пользовался в точности определениями и аксиомами арифметики и логики.

Ложь.

Лжёте Вы маткиб. Не внимательно следили за моими рассуждениями.

Добавлено спустя 5 минут 19 секунд:

Xaositect писал(а):

Инт в сообщении #153948 писал(а):

Рассуждение не по делу. Можете лишить себя права не решать. Пожалуйста.
Любой математик имеет такое право.

Я имел в виду, что если принять серию аксиом $Prf(A)\to A$, то по теореме Леба любое утверждение станет доказуемым.

Что-то новенькое. Я не в теме. Это называется "ссылка на неведение".
В содержательной интуиции абсурдом является эта теорема Леба, если правда о чём вы говорите. Думаю, что это ещё один виток казуистики. После разбора "теоермы Гёделя" в "теорему Леба" уже никто не поверит, и очевидно опровержима уже "в первом приближении".

[Xaositect]

Инт в сообщении #153954 писал(а):

Лжёте Вы маткиб. Не внимательно следили за моими рассуждениями.

В своих последних рассуждениях вы действительно строите теорию, в которой можно доказать все истинные утверждения. Проблема в том, что в ней можно также доказать все ложные.

Добавлено спустя 7 минут 9 секунд:

Инт в сообщении #153954 писал(а):

В содержательной интуиции абсурдом является эта теорема Леба, если правда о чём вы говорите. Думаю, что это ещё один виток казуистики. После разбора "теоермы Гёделя" в "теорему Леба" уже никто не поверит, и очевидно опровержима уже "в первом приближении".

Вот сразу видно, что вы статью, на которую я дал ссылку не читали, потому что там первым же предложением идет:

Цитата:

In this short article we will provide an example where one's intuition can be faulty, and that strict formalization is always needed when one does mathematics in order to avoid possible hidden intuitive inconsistencies.

Переход от доказательства к истинности может быть сделан только в метатеории.

[маткиб]

Инт в сообщении #153954 писал(а):

Лжёте Вы маткиб. Не внимательно следили за моими рассуждениями.

Лжёте вы Инт. Вы невнимательно читали учебник по логике.

[Инт]

Xaositect писал(а):

Инт в сообщении #153954 писал(а):

Лжёте Вы маткиб. Не внимательно следили за моими рассуждениями.

В своих последних рассуждениях вы действительно строите теорию, в которой можно доказать все истинные утверждения. Проблема в том, что в ней можно также доказать все ложные.

Добавлено спустя 7 минут 9 секунд:

Инт в сообщении #153954 писал(а):

В содержательной интуиции абсурдом является эта теорема Леба, если правда о чём вы говорите. Думаю, что это ещё один виток казуистики. После разбора "теоермы Гёделя" в "теорему Леба" уже никто не поверит, и очевидно опровержима уже "в первом приближении".

Вот сразу видно, что вы статью, на которую я дал ссылку не читали, потому что там первым же предложением идет:

Цитата:

In this short article we will provide an example where one's intuition can be faulty, and that strict formalization is always needed when one does mathematics in order to avoid possible hidden intuitive inconsistencies.

Переход от доказательства к истинности может быть сделан только в метатеории.

Вот прочтите все параграфы от 1 до 12, подумайте. Как раз последнее Ваше утверждение есть утверждаемый Вами абсурд, т.е. умышленное ограничение естественной теории, в которой есть предикат доказуемости.

[Xaositect]

Вы упоминали книгу Успенского "теорема Геделя о неполноте", значит, Вы ее, наверное, прочли.
Доказательство теоремы Геделя о неполноте занимает там страницы с 25 по 42 включительно.
Приведите номер страницы и абзац, который содержит логическую ошибку.

Добавлено спустя 10 минут 36 секунд:

Инт в сообщении #153954 писал(а):

В содержательной интуиции абсурдом является эта теорема Леба, если правда о чём вы говорите. Думаю, что это ещё один виток казуистики.

Ну да, это следующая глава в учебнике

[epros]

Инт писал(а):

Из сказанного Вами вытекает, что вы совершенно не прочли мои аргументы в параграфах 10-12, так как они полностью делают бесмыссленной "теорему Гёделя", т.е доказывают, что из рассуждения Гёделя из его доказательства в мететеории, не вытекают те более обобщающие выводы, которые он и Вы распространяете на содержательную арифметику.

Уважаемый Инт! Я начну читать Ваши пространные писания только после того, как Вы внятно сформулируете проблему, ибо вникать во всякую бессмыслицу я не имею желания. Я не знаю что это за "более обобщающие выводы", которые я и Гёдель "распространяем на содержательную арифметику". Утверждение теоремы Гёделя я выше несколько раз озвучил и никаких конкретных возражений против него пока не услышал. А про какие-то другие "выводы" никто пока ничего не говорил.

[Инт]

epros писал(а):

Я начну читать Ваши пространные писания только после того, как Вы внятно сформулируете проблему, ибо вникать во всякую бессмыслицу я не имею желания. Я не знаю что это за "более обобщающие выводы", которые я и Гёдель "распространяем на содержательную арифметику". Утверждение теоремы Гёделя я выше несколько раз озвучил и никаких конкретных возражений против него пока не услышал. А про какие-то другие "выводы" никто пока ничего не говорил.

Таким образом, Вы не прочли мои рассуждения и тут же утверждаете, что я никаких аргументов не предъявлял.

Xaositect писал(а):

Вы упоминали книгу Успенского "теорема Геделя о неполноте", значит, Вы ее, наверное, прочли.
Доказательство теоремы Геделя о неполноте занимает там страницы с 25 по 42 включительно.
Приведите номер страницы и абзац, который содержит логическую ошибку.

Я изложил свои позитивные аргументы. Этого достаточно. Могу лишь дать оценку: Текст Успенского является примером казуистического многословного рассуждения не по-существу. Совершенно не математичного по сути. Указывать в этом тексте ошибку, всё равно что объяснять почему кусок земли не является самолётом. Предлагаю Вам самим спросить Успенского.

Кроме того, ВСЕМ.

По-видимому накал спора большой. Мы все находимся на грани применения ненаучных методов спора. Предлагаю разойтись по углам. И всем подумать. Через три дня я просмотрю тему и, видимо, её следует закрыть. Предлагаю излагать последние замечания.

Благодарю модераторов, маткиба, Xaositect и epros за организацию действительно интересной беседы. То, что некоторые вопросы меня "разозлили в спортивном смысле" надеюсь не сказалось на качестве беседы. Думаю, что всем придётся уточнить свои метаматематические позиции. До свидания.

[epros]

Инт писал(а):

Таким образом, Вы не прочли мои рассуждения и тут же утверждаете, что я никаких аргументов не предъявлял.

Да, утверждаю. С таким же успехом Вы могли выложить 20 страниц случайных сочетаний букв , а потом посылать меня их читать, утверждая, что там содержатся все "аргументы".

Вот Выше Вы сделали некое заявление про то, что из теоремы Гёделя "не вытекают более обобщающие выводы", но почему-то не хотите мне сказать о чём именно идёт речь. Обычно на это требуется 2-3 строчки текста.

[Инт]

epros писал(а):

С таким же успехом Вы могли выложить 20 страниц случайных сочетаний букв, а потом посылать меня их читать, утверждая, что там содержатся все "аргументы".

Вот Выше Вы сделали некое заявление про то, что из теоремы Гёделя "не вытекают более обобщающие выводы", но почему-то не хотите мне сказать о чём именно идёт речь. Обычно на это требуется 2-3 строчки текста.

Откуда Вы знаете что в тексте случайные сочетания букв, если Вы его не рассматривали.

Уже сказал Вам в постах №1 и №2, в параграфах 1-12. Отвечать примитивно не буду. Поснить 2-3 строчки могу, но я уже не раз пояснял. Вы сделайте на 2 дня паузу, обдумайте, что написано мной. В противном случае, зачем тогда вести дискуссию.

[epros]

Инт писал(а):

Откуда Вы знаете что в тексте случайные сочетания букв, если Вы его не рассматривали.

Рассмотрел достаточно, чтобы понять, что читать это бессмысленно. Я начал с того, чтобы Вы указали пальцем на то место, где Вы находите противоречие. На этом мы и застряли.

Инт писал(а):

Поснить 2-3 строчки могу, но я уже не раз пояснял. Вы сделайте на 2 дня паузу, обдумайте, что написано мной. В противном случае, зачем тогда вести дискуссию.

Думать не над чем, Вы ничего не сказали. Вы взялись опровергать теорему Гёделя, а так до сих пор толком и не сформулировали, что именно собиратетесь опровергнуть.

Повторяю неоднократно сказанное:
Есть арифметическое выражение $G$, которое недоказуемо в теории $S$, но истинно, потому что доказано метатеорией $T$. Такова теорема Гёделя, без всяких "более обобщающих выводов" и проч. Что с ней не так?

[naiv1]

bot в сообщении #153864 писал(а):

Такое ощущение здесь К.Давидюк присутствует

За последнюю неделю меня уже третий раз пытаются спутать с другими. Я протестую самым решительным образом!

bot в сообщении #153864 писал(а):

нахватался терминологии, а в смысл вникнуть не удосужился.

Вместо того, заниматься инсинуациами - измышлениями, лучше бы разъяснили смысл, в который Вы "вникнуть удосужились" - было бы больше пользы от Вашей реплики.

[bot]

naiv1 писал(а):

За последнюю неделю меня уже третий раз пытаются спутать с другими.

А с чего Вы решили, что я о Вас говорил?
Я просто имел в виду, что обсуждать, доказана теорема Гёделя или нет, можно если вникать в доказательство.
Совсем не годится козырять сведениями из популярных источников, в которых зачастую слишком вольно с ней обращаются, в частности выдавая некоторые метаследствия из теоремы за саму теорему.

[Инт]

epros писал(а):

Рассмотрел достаточно, чтобы понять, что читать это бессмысленно. Я начал с того, чтобы Вы указали пальцем на то место, где Вы находите противоречие. На этом мы и застряли.

Думать не над чем, Вы ничего не сказали. Вы взялись опровергать теорему Гёделя, а так до сих пор толком и не сформулировали, что именно собиратетесь опровергнуть.

С такой же уверенностью можно сказать, что epros абсолютно ничего толком не предъявил, кроме апломба. Вообще, это можно сказать по любой текст, хороший он или плохой, когда не хочешь его рассматривать - безошибочно сработает на публику.

Добавлено спустя 37 минут 42 секунды:

По-видимому, моё предложение уйти от ненаучных аргументов не воспринято. Такого рода высказывания вывели дискуссию за рамки науки.

Уберу эмоции. Постараюсь сформулировать запрошенные epros-ом "строчки".

epros писал(а):

Повторяю неоднократно сказанное:
Есть арифметическое выражение $G$, которое недоказуемо в теории $S$, но истинно, потому что доказано метатеорией $T$. Такова теорема Гёделя, без всяких "более обобщающих выводов" и проч. Что с ней не так?

Формальный вывод, который Вы приводите вообще не влечёт содержательные утверждения, сделанные Гёделем и его последователями, "школой", т.е. эти рассуждения влекут только то, что в рамках некой весьма существенно ограниченной доказуемости недоказуема некоторая формула Ф.

Логическая ограниченность теории Гёделя выражена в том, что либо отрицается существование в теории S, которой приписывается тождество с "эффективной арифметикой", очевидная логическая аксиома, т.е. отрицается, что "из доказуемости вытекает истинность", либо теории S не передаются очевидные эффективные математические процедуры. Это последнее, означает, что формула Ф тривиально доказуема не только в метатеории, но и в некоторой теории Е, которую так же можно назвать "эффективной арифметикой". Таким образом, "доказуемость" Гёделя ограничена или логически или математически, является специфичной, примитивной, расчитанной на заведомо ограниченный круг эффективных процедур.

Если же Вы попытаетесь наполнить теорию Гёделя указанными естественными аксиомами, то придёте к противоречию. Оно не означает, что нельзя определить непротиворечивые теории с такими аксиомами. Пример я приводил для маткиба.

Xaositect писал(а):

... по теореме Леба любое утверждение станет доказуемым.

Ясно после этого, что теорема Леба - ложь, утверждение "школы", отрицающее реальную логику. Таких утверждений, отрицающих наше реальное знание, "школа" будет делать много. Чтобы обосновать очередную свою нелепость, будет прибегать к формулировке новых нелепостей и т.д.

Поясню. Если аксиома "из доказуемости вытекает истинность" приводит к тотальным противоречиям, то отрицание такой аксиомы, т.е. "формула может быть доказуемой, но не истинной" - так же абсурд. Таким образом, никакое из двух противоположных утверждений не может быть присоединено к какой-либо достаточно богатой теории. Если, как того требует маткиб, считать, что "Prf Ч влечёт Ч" утверждает смысл доказуемости не самой себя, то всё равно может быть определена более полная доказуемость, а Prf есть неполноценная доказуемость Гёделя.

[epros]

Инт писал(а):

epros писал(а):

Есть арифметическое выражение $G$, которое недоказуемо в теории $S$, но истинно, потому что доказано метатеорией $T$.

Формальный вывод, который Вы приводите вообще не влечёт содержательные утверждения, сделанные Гёделем и его последователями, "школой",

Я уже неоднократно спрашивал, что это за "содержательные утверждения, сделанные Гёделем и его последователями"?

Инт писал(а):

т.е. эти рассуждения влекут только то, что в рамках некой весьма существенно ограниченной доказуемости недоказуема некоторая формула Ф.

1. Разумеется "область доказуемости" любой формальной теории ограничена! Например, добавив новые аксиомы, всегда можно её расширить.
2. Вывод заключается не "только" в этом. Помимо существования недоказуемой формулы ещё утверждается и то, что эта формула истинна. Причём истинность доказана без привлечения каких бы то ни было новых аксиом.

Инт писал(а):

Логическая ограниченность теории Гёделя выражена в том, что либо отрицается существование в теории S, которой приписывается тождество с "эффективной арифметикой", очевидная логическая аксиома, т.е. отрицается, что "из доказуемости вытекает истинность",

1. Теория $S$ не "тождественна" арифметике, а содержит её. А что такое в Ваших понятиях "эффективная" арифметика я не знаю.
2. "Очевидной логической аксиомы", о которой Вы говорите, в непротивореччивой теории, содержащей арифметику, быть не может. Об этом говорит вторая теорема Гёделя о неполноте: что непротиворечивая теория, содержащая арифметику, не может доказать собственную непротиворечивость.
Т.е. утверждение о непротиворечивости теории $S$:
$(\forall \Phi \in S)((S \vdash \Phi) \to \Phi)$
не может быть теоремой (или аксиомой) теории $S$.

Естественно, речь идёт об арифметизированном утверждении т.е. вместо $S \vdash \Phi$ нужно подставить $Prf(k)$, где $k$ - Гёделевский номер формулы $\Phi$.

Инт писал(а):

либо теории S не передаются очевидные эффективные математические процедуры.

А какие математические процедуры являются "эффективными"? Вы забываете о том, что теорема Гёделя говорит о любой теории, содержащей арифметику. Т.е. какие бы математические процедуры Вы к ней ни добавили, всё равно в ней найдётся такое арифметическое выражение $G$...

Кстати, к самой метатеории $T$ это тоже относится: Для неё тоже найдётся такое арифметическое выражение $G_T$, которое недоказуемо в метатеории $T$, но может быть доказано мета-метатеорией $M$.

Инт писал(а):

Это последнее, означает, что формула Ф тривиально доказуема не только в метатеории, но и в некоторой теории Е, которую так же можно назвать "эффективной арифметикой".

Доказуема во многих теориях, ну и что?
Вопрос про "эффективную арифметику", естественно, остаётся.

Инт писал(а):

Таким образом, "доказуемость" Гёделя ограничена или логически или математически, является специфичной, примитивной, расчитанной на заведомо ограниченный круг эффективных процедур.

Не понимаю. См. выше.

Инт писал(а):

Если же Вы попытаетесь наполнить теорию Гёделя указанными естественными аксиомами, то придёте к противоречию. Оно не означает, что нельзя определить непротиворечивые теории с такими аксиомами. Пример я приводил для маткиба.

Насколько я знаю, если дополнить теорию $S$ схемой аксиом:
$Prf(k) \to \Phi_k$
то получится омега-противоречивая теория $S'$. Хотя это не очевидно, поскольку $Prf(k)$ является предикатом доказуемости формулы теории $S$ с Гёделевским номером $k$, а не формулы теории $S'$.