Закон Бернулли - не понимаю

[sergey zhukov]

zykov
Я бы не сказал, что эта модель не имеет прямо таки никакого отношения к реальному самолету. В вашем представлении поток безвозвратно и полностью уносит энергию с крыла, а по вихревой теории мы можем говорить о том, что энергия потока полностью "рекуперируется", т.е. возвращается из пространства за крылом в пространство перед ним. Ясно, что ни то, ни другое в точности не выполняется: какая-то часть уносится, какая-то - крутится вокруг крыла. Настоящее крыло летает по какому-то среднему принципу. Интересно знать, что дает больший вклад.

[chislo_avogadro]

VASILISK11 в сообщении #1538296 писал(а):

https://scask.ru/d_book_gam.php?id=45

Этот пыльный том должно быть давно уже никто в руки не берёт, но параграф "Теория крыла" (§17, Гл.3, с. 282) может быть интересен для возникшего в теме обсуждения. Я приведу пару отрывков из хода рассуждений в этом параграфе (подчёркивания мои).

Стр. 287

Цитата:

Быстро движущееся крыло, встречая на своем пути $s$ все новые и но-
вые массы воздуха, в течение очень короткого времени давит после-
довательно на каждую из этих масс. Вместо этого можно представить
себе, что крыло давит мгновенно на массу воздуха на протяжении $s$
всего своего пути подобно доске, имеющей размах $l$ и ширину $s$ и полу-
чающей резкое ускорение вниз. При таком мгновенном давлении воз-
никает плоское потенциальное течение ... Картина такого течения изображена на рис. 169.

(рис. 169)

Далее он приходит к теореме Жуковского и затем, делая замечание (стр. 289)

Цитата:

Скорость $w_1$, с которой поверхность раздела опускается вниз после уда-
ра, примем для простоты постоянной,

(здесь у него "поверхность раздела" - это поверхность, разделяющая потоки, сходящиеся за крылом), к следующему виду подъёмной силы -

$$A = \rho F_1vw_1 \qquad \qquad (97)$$

$v$ - скорость крыла (горизонтальная),
$F_1$ - "есть некоторая площадь" (из последующего ясно, что это "площадь, над которой пролетело крыло" в единицу времени).

И далее вычисляется работа подьёмной силы крыла(!) в духе

Цитата:

Работа индуктивного сопротивления в единицу времени
равна $W_i v$, а работа, совершаемая в эту же единицу времени подъемной си-
лой для перемещения поверхности раздела, равна $Aw = Aw_1/2$. Приравнивая
обе эти работы и подставляя для скорости $w_1$ ее значение, определяемое из
соотношения (97), ...

И, наконец, самое интересное (стр. 290) -

Цитата:

Для лучшего уяснения формул (97) и (98) выведем их еще раз упрощен-
ным способом. Примем, что масса воздуха с поперечным сечением $F_1$, над
которой пролетело крыло, движется с постоянной скоростью $w_1$ в направле-
нии действовавшей на нее силы, остальная же масса воздуха остается в покое.
В каждую секунду крыло приводит в двжение массу, равную

$$M = \rho F_1v.$$

Следовательно, изменение количества движения в направлении $w_1$, эквива-
лентное действию подъемной силы $A$ в течение одной секунды, равно

$$Mw_1 = \rho F_1vw_1$$

...

Да и саму теорему Жуковского он получает рассуждениями типа (стр. 289)

Цитата:

Ударная сила на участке поверхности раздела длиной $\lambda$ или, другими слова-
ми, количество движения на отрезке пути длиной $\lambda$...

Прандтль - автор теории "реактивного" крыла?

[sergey zhukov]

chislo_avogadro
Ну почему же. Книга хорошая. Я вот ее читаю (правда, начал ее смотреть после упоминания amon)

Теорему Жуковского для бесконечного крыла Прандтль доказывает на стр.120, и там все получается именно так, как в двумерном идеальном случае: подьемная сила перпендикулярна направлению потока на бесконечности, силы сопротивления и затрат энергии на полет нет. Он там, кстати, говорит то, что amon уже приводил в качестве цитаты:

Цитата:

При движении самолета движущиеся вниз массы воздуха создаются вихревой системой, оставляемой позади себя крылом. Однако теперь, в отличии от случая геликоптерного винта, разностью давлений в нисходящем потоке воздуха пренебрегать нельзя, и поэтому получаются более сложные соотношения. Следовательно, реакция воздуха на крыло, т.е. подьемная сила крыла, будет определяться не только изменением количества движения отбрасываемой массы воздуха, но также разностью давлений в струе, и поэтому от формы контрольной поверхности будет зависеть, какая доля подьемной силы будет возникать за счет изменения количества движения и какая доля - за счет давления.

Я это замечание плохо понимал, и поэтому (когда рисовал картинку обтекания вращающегося цилиндра) говорил только о том, какой поток импульса втекает в контрольную поверхность с потоком справа и вытекает слева. На самом же деле это только часть подьемной силы. Вторая часть возникает от разного давления по поверхности контрольного цилиндра (из-за разной скорости пересекающих ее потоков в разных местах). Вот их сумма не зависит от формы контрольной поверхности. В частности, если контрольную поверхность провести прямо по поверхности цилиндра, то подьемная сила обеспечивается только разностью давлений по контрольной поверхности. А если эта поверхность бесконечно велика - то только потоком импульса , втекающим и вытекающим с потоком среды. Т.е. есть возможность выбором контрольной поверхности свести подьемную силу либо к чистому потоку импульса, который переносится потоком через поверхность, либо к чистой разности давлений по разным участкам этой поверхности, либо к их комбинации.

Начиная с 282 стр. Прандтль рассматривает крыло конечного размаха, и здесь действительно все выглядит так, как будто крыло - реактивный двигатель. Во первых, Прандтль получает формулу для минимально возможной силы индуктивного сопротивления. Если крыло размаха $b$ в потоке с динамическим давлением $\frac{\rho u^2}{2}=P_d$ имеет подьемную силу $A$, то сила сопротивления $F$ даже в идеальной жидкости не может быть меньше, чем:

$$F=\frac{A^2}{\pi P_db^2}$$

Очевидно, что сверху сила сопротивления при заданной подьемной силе не ограничена (всегда можно возбудить в потоке сколько угодно бесполезных вихрей). Но снизу она ограничена, причем минимальна она тогда, когда поток сходит с одной и той же вертикальной скоростью по всей длине крыла. Это совпадает с условием "максимальный импульс при минимальной энергии", о чем zykov выше говорил.

Здесь уже прямо рассматривается ситуация, когда на крыло набегает именно горизонтальный поток среды, который отклоняется на крыле на угол $\varphi$. Тогда, очевидно, такой поток не несет с собой вертикального импульса, и весь уносимый импульс заключается в вертикальном импульсе потока, сходящего с крыла.

Дальше Прандтль говорит, что подьемная сила может быть вычислена здесь из простого предположения о том, что крыло сообщает неподвижному воздуху в трубе диаметром с размах крыла вертикальный импульс, направленный вниз, т.е. работает так, как это и предполагает большинство людей.

Из этого можно сделать такой вывод:

1. Объяснение работы крыла и в двумерном, и в трехмерном случаях зависит от формы контрольной поверхности. В зависимости от способа ее выбора можно получить, что одно и то же крыло либо поддерживается разностью давлений, либо разностью импульса потоков втекающей и вытекающей среды, либо и тем и другим;

2. В плоском случае сопротивления действительно нет и двигатель крылу не нужен (если рассматривать уже движущееся крыло в стационарном потоке);

3. В трехмерном случае энергия крыла действительно отдается в поток, чтобы создавать подьемную силу. При этом ее можно уменьшить, увеличивая размах крыла (максимальный импульс при минимальной энергии). При заданном размахе крыла, весе самолета и скорости полета сила сопротивления не может быть меньше некоторого минимума, т.к. этот минимум и является причиной подьемной силы. При этом опять же возможно по разному проводить контрольные поверхности вокруг крыла и получать обьяснение подьемной силы либо как результат разности давления, либо как результат переноса импульса потоком через поверхность.

[VASILISK11]

sergey zhukov в сообщении #1538654 писал(а):

При этом опять же возможно по разному проводить контрольные поверхности вокруг крыла и получать обьяснение подьемной силы либо как результат разности давления, либо как результат переноса импульса потоком через поверхность.

На крыло действует разность давления воздуха сверху и снизу. Это и есть подъёмная сила. На землю или воду внизу действует противоположная сила потока воздуха вниз, в следствие движение этого крыла. Подъемную силу можно посчитать этими двумя способами, как Прандтль, и результаты совпадут.

[sergey zhukov]

Я еще думаю, что вместо вопроса "как создается подьемная сила крыла" полезнее рассмотреть вопрос "нужен ли реальному конечному самолету двигатель, чтобы лететь на постоянной высоте в потоке идеальной жидкости"?

Я раньше думал, что нужен, но только потому, что мы имеем тут малополезную, но неустранимую генерацию вихрей. Этот эффект и сам создает некоторую подьемную силу, но в основном она возникает по другому принципу (без сопутствующей силы сопротивления).

Однако теперь я думаю почти наоборот. Двигатель нужен, но по другой причине. У реального самолета подьемная сила возникает исключительно благодаря индуктивному сопротивлению. Для заданного крыла, скорости и веса самолета, а так же плотности воздуха есть минимально необходимая сила сопротивления, без которой полет на постоянной высоте невозможен. Причем опять же у реального самолета сила сопротивления вовсе не минимально возможная. Она больше, т.е. происходит кроме того еще и бесполезное рассеивание энергии в среде, не создающее подьемной силы. Т.е. вся подьемная сила возникает благодаря силе сопротивления, и кроме того часть силы сопротивления вообще не создает подьемной силы.

[amon]

VASILISK11 в сообщении #1538670 писал(а):

На крыло действует разность давления воздуха сверху и снизу. Это и есть подъёмная сила. На землю или воду внизу действует противоположная сила потока воздуха вниз

Первое правильно, второе - нет. На землю действует давление, которое чуть выше нормального. Давление точно также переносит импульс, как и гидродинамическая скорость. Наивная картинка такая. Молекулы стучат по обшивке крыла. Сила с которой они стучат пропорциональна корню из среднего от квадрата их скорости. Значит скорость молекул под крылом больше равновесной. молекулы оттуда разлетаются со скоростью звука вниз (вверх их крыло не пускает, они от него отражаются, создают подъемную силу и летят вниз). Потеряв часть скорости и частично рассеявшись, молекулы долетают до земли и отскакивают от нее, создавая дополнительное к атмосферному давление. Важно понимать, что это - хаотическое движение, к гидродинамической скорости отношения почти не имеющее и никакого потока воздуха вниз для создания подъемной силы не нужно.

Касательно Прандтля. Он построил теорию винта, где с успехом применил "реактивную" идею, поле чего стал проповедовать подобный подход в теории крыла. При этом его реальные достижения в этой области ("крыло Прандтля"), если разобраться, перпендикулярны этому подходу. Он аппроксимирует крыло системой вихрей, и получает вполне приличные оценки для подъемной силы и индуктивного сопротивления. "Реактивная тяга" в прандтлевской теории крыла отсутствует напрочь, но ее он пытается притянуть за уши в полупопулярных книжках.

Про идеальную жидкость. Там нужен шаманский бубен что бы создать систему вихрей, которая будет держать крыло в воздухе. После того, как крыло полетело, в бесконечной среде никакого двигателя не надо. Это верно что для конечного, что для бесконечного крыла.

В реальности что бы "разогнать" систему вихрей без бубна нужна вязкость. Она приводит к неустойчивости относительно образования вихрей. Это явление каждый может пронаблюдать в ванне открыв пробку. Через некоторое время вокруг сливного отверстия образуется вихревая воронка, которая не может образоваться в идеальной жидкости по теореме Кельвина.

sergey zhukov в сообщении #1538679 писал(а):

Т.е. вся подьемная сила возникает благодаря силе сопротивления, и кроме того часть силы сопротивления вообще не создает подьемной силы.

Тут можно решить такую задачку. Взлетная скорость всуе поминаемого самолета Cessna 100 км/ч (на самом деле 110, но для оценок это не важно), максимальная - 300 км/ч. Сопротивление, что активное, что индуктивное, пропорционально квадрату скорости. Какую часть полной мощности двигателя Cessna тратит на поддержание себя в воздухе в горизонтальном полете с постоянной скоростью?

[zykov]

amon в сообщении #1538718 писал(а):

Какую часть полной мощности двигателя Cessna тратит на поддержание себя в воздухе в горизонтальном полете с постоянной скоростью?

А к чему такой вопрос?
Понятно, ответить сложно. Даже на компьютере, насколько знаю, такие вещи очень сложно моделировать (может сейчас конечно и делают, в 90-ые было проблематично).

Чем больше скорость, тем больше подъемная сила (т.к. больше воздуха заметает в секунду). На взлётной полосе при малой скорости - это буквально на пределе, еле хватает вес компенсировать. При 300 подъемная сила могла бы быть большой. Какая именно - зависит от положения рулевых механизмов.

[chislo_avogadro]

sergey zhukov в сообщении #1538654 писал(а):

Теорему Жуковского для бесконечного крыла Прандтль доказывает на стр.120, и там все получается именно так, как в двумерном идеальном случае: подьемная сила перпендикулярна направлению потока на бесконечности, силы сопротивления

Это Вы говорите о §13, е), второй главы. Посмотрел - само выражение для подъёмной силы там мало отличается от того, что дано в параграфе "Теория крыла", который я пунктирно изложил выше.
Приведу это выражение здесь -

$$A = \rho GVl \qquad \qquad (56)$$

Тут я использовал, за неимением лучшего, обозначение $G$ для циркуляции, у него там "Г".

Интересно, чему у него эта циркуляция равна. Напомню -

$$G = a(u_1 - u_2) \qquad \qquad (52)$$

Где $u_1$ и $u_2$ - вертикальные скорости потока по рисунку, и если эту циркуляцию подставить в (56), то становится видно, что (56) описывает изменение количества движения объёма среды, показанного пунктирной линией на рис. 78.
Т.е. у него и здесь дело сводится к "реактивной" силе, создаваемой крылом.

(Рис. 78)

sergey zhukov в сообщении #1538654 писал(а):

затрат энергии на полет нет.

Об энергии впрочем он в этом куске ничего не говорит.

Кстати, тот отрывок, что Вы привели, имеет интересное продолжение -

Цитата:

Нисходящий вниз поток воздуха создает на поверхности земли увеличе-
ние давления и тем самым передает вес самолета на поверхность земли
в виде силы давления.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1538679 писал(а):

Т.е. вся подьемная сила возникает благодаря силе сопротивления, и кроме того часть силы сопротивления вообще не создает подьемной силы.

У реальных самолетов аэродинамическое качество где-то 20. То есть подъемная сила во столько же раз больше силы сопротивления.

[Emergency]

amon в сообщении #1538718 писал(а):

Первое правильно, второе - нет. На землю действует давление, которое чуть выше нормального. Давление точно также переносит импульс, как и гидродинамическая скорость.

Давление не распространяется мгновенно, а разница давлений вызывает потоки вещества. Вы же рассуждаете как будто есть установившееся равновесное состояние с разностью давлений.
Конечно, есть барометрическая формула, но она тут не при чем.

[sergey zhukov]

amon
Что тут можно подсчитать? Положим, что этот самолет весом 1 тонна и размахом крыла 11 м, летит со скоростью 300 км/час на высоте 4000 метров, где плотность воздуха равна 0,8 кг/куб.метр. Подставим все это в формулу Прандтля-Мунка и получим силу индуктивного сопротивления, равную примерно 100 Н, т.е. примерно 10 кгс. Это при скорости 300 км/час дает примерно 7,7 кВт мощности.

Что мы тут получили? 7,7 кВт - это минимально необходимая мощность, которая требуется для такого горизонтального полета. Ее принципиально нельзя уменьшить. Довольно маленькая мощность получается, учитывая, что мощность двигателя этого самолета - 120 кВт. Кстати, эта минимальная мощность пропорциональна не $u^2$, а $\frac{1}{u}$, что прямо следует из формулы. Например, на скорости 100 км/час при прочих равных эта мощность равна 24 кВт, а при скорости 50 км/час - уже почти 50 кВт.

Но к ней ведь еще много чего нужно приплюсовать:
1. Распределение подьемной силы по крылу не эллиптическое, т.е. индуктивное сопротивление будет выше этого минимального;
2. Есть профильное сопротивление;
3. КПД винта, создающего тягу, ниже 1, т.е. часть мощности двигателя опять же растрачивается бесполезно.

Насчет создания подьемной силы я уже более-менее понял, проблем тут вроде нет. Меня теперь больше интересует вопрос о необходимой для полета мощности и ее теоретически минимальной величине.

DimaM
Разумеется, подьемная сила многократно больше силы сопротивления. Это и из формулы Прандля-Мунка прямо видно. Увеличивая длину крыла, плотность среды или скорость полета, можно довести это соотношение до любой величины. Но ни для какого конечного трехмерного самолета даже в самом идеальном случае сила сопротивления не может быть равной нулю.

Вы же вообще в принципе не против формулы Прандтля-Мунка? Как вы ее понимаете?

chislo_avogadro
Я понял, что циркуляция скорости вокруг крыла всегда дает правильную составляющую силы, действующую поперек потока (потока на бесконечности). И эта циркуляция вообще ничего не говорит о сопутствующей величине продольной составляющей силы (силы сопротивления). При одной и той же циркуляции (и одной и той же подьемной силе) поток может как создавать (трехмерный случай), так и не создавать (двумерный случай) силу сопротивления.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1538766 писал(а):

Разумеется, подьемная сила многократно больше силы сопротивления.

А из предыдущего вашего заявления таки можно сделать обратный вывод. Аккуратнее надо.

[VASILISK11]

amon в сообщении #1538718 писал(а):

Про идеальную жидкость. Там нужен шаманский бубен что бы создать систему вихрей, которая будет держать крыло в воздухе. После того, как крыло полетело, в бесконечной среде никакого двигателя не надо. Это верно что для конечного, что для бесконечного крыла.

Прандтль не согласен:


Прокомментирую эту картинку своими словами, возможно, не правильно. Частицы вихря движутся по кругу, поэтому внутри вихря давление меньше, чем снаружи. Если вихрь не замкнут в "бублик", как кольцо дыма, то внутрь вихря будет засасываться воздух или идеальная жидкость, как в смерче, и вихрь уже не будет устойчивым.
Движение крыла или бревна постоянно удлиняет две стороны "бублика", поэтому, для поддержания присоединенного вихря, приходится постоянно генерировать вихри за крылом и поддерживать замкнутость глобального вихря, частью которого есть присоединенный вихрь. На это тратится энергия, в другом описании это энергия на изменение вертикального импульса набегающего воздуха.

[chislo_avogadro]

amon в сообщении #1538718 писал(а):

Касательно Прандтля. Он построил теорию винта, где с успехом применил "реактивную" идею, поле чего стал проповедовать подобный подход в теории крыла. При этом его реальные достижения в этой области ("крыло Прандтля"), если разобраться, перпендикулярны этому подходу. Он аппроксимирует крыло системой вихрей, и получает вполне приличные оценки для подъемной силы и индуктивного сопротивления. "Реактивная тяга" в прандтлевской теории крыла отсутствует напрочь, но ее он пытается притянуть за уши в полупопулярных книжках.

Посмотрел ЛЛ6, Гидродинамика, 1986, увидел следующее.

Формулу Жуковского они получают в §38, с известным результатом

$$F_y = -\rho U\int\Gamma dz. \qquad \qquad (38,4)$$

Исходят они там из подъёмной силы (21,2)

$$F_y = -\rho U\int v_y dydz, \qquad \qquad (21,2)$$

словами описывая это так (стр. 103):

Цитата:

Полу-
чающийся таким образом поток импульса представляет собой,
очевидно, разность между полным потоком импульса, втекаю-
щим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее се-
чение. Но эта разность является в то же время количеством
импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу,
т. е. силой F, действующей на обтекаемое тело.

В итоге (38,4) является у них формально-математическим следствием (21,2).


То есть попросту ведь

$$F_y = -\rho U\int\Gamma dz = -\rho U\int v_y dydz,$$

верно?

[sergey zhukov]

chislo_avogadro
Все же это вопрос выбора контрольной поверхности. Если ее проводить по периметру крыла - мы говорим о подьемной силе, как вызванной только разностью давлений. Если включить внутрь контрольной поверхности кроме крыла еще и часть потока - мы говорим уже и о разности давлений, и о переносе потоком вертикального импульса (или даже только о последнем). Здесь все правы. Причем в вопросе о том, как работает бесконечное крыло, все вроде бы согласны (нефизичность там заключается в способе, которым вокруг крыла получается поток заданного вида. Если же прямо начинать с момента, когда поток уже существует, то все понятно).

А вот более однозначный вопрос, который на самом деле и нужно решить: нужен ли конечному крылу двигатель для горизонтального полета? Те, кто говорит о реактивной теории крыла, на самом деле утверждают, что такой двигатель принципиально необходим конечному крылу даже в идеальной жидкости. А те, кому больше нравится картинка обтекания цилиндра Магнуса, говорит, что никакого двигателя для полета даже конечному крылу в идеальной жидкости не нужно (он нужен только для разгона). Ответ на этот вопрос на самом деле однозначно определяет, как работает реальное (конечное) крыло.

По моему, формула Прантдля как раз говорит о том, что двигатель необходим. И он нужен не просто для создания бесполезной турбулентности в атмосфере, а именно для подьемной силы.