Верхнетреугольные матрицы

[lel0lel]

Нет, написано верно, ведь должно быть $A^{2021}=A$

[zykov]

Понятно, нужен многочлен $x^{2021}-x=x(x^{2020}-1)$.
Если его заменить на $x^{2020}-1$, то теряется один корень $x=0$.

[lel0lel]

Да, правильно будет рассмотреть полином $x^{2021}-x$. Если же матрица обратима, то есть на диагонали нет нулей, то можно рассматривать $x^{2020}-1$.

-- Вс ноя 07, 2021 22:14:33 --

В общем характеристический полином может иметь следующий вид:

$$\{x^5-2 x^4+2 x^3-2 x^2+2 x-1,x^5-x^4+x^3-x^2+x,x^5\pm1,x^5+x^4+x^3+x^2+x, x^5+2x^4+2 x^3+2x^2+2x+1,x^5-x\}$$

Стало быть на диагонали могут быть корни любого из этих полиномов. Ну а если не требовать вещественности коэффициентов характеристического полинома, то на диагонали могут стоять любые пять корней уравнения $x^{2021}-x=0$ без повторения, так как кратных корней у него нет.

[svv]

artempalkin в сообщении #1538154 писал(а):

Любой набор корней подойдет, главное, чтобы были различны.

А вот если все диагональные элементы взять $1$, такая матрица будет недиагонализируемой (если только не равна $E$).

[artempalkin]

svv в сообщении #1538171 писал(а):

А вот если все диагональные элементы взять $1$, такая матрица будет недиагонализируемой (если только не равна $E$).

Да, в таком случае заведомо нет. Также не подойдет случай, когда все диагональные элементы одинаковы (не обязательно 1).
Вопрос, конечно, когда неединичных жордановых клеток не будет... Когда все диагональные эл-ты различны, но, возможно, и в случае, когда некоторые из них совпадают. Думаю, что нет, но строго доказать вряд ли возможно.

[svv]

artempalkin

Я рассуждал так. Пусть $m_i$ и $g_i$ — соответственно алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения $\lambda_i$ матрицы $A$. Матрица недиагонализируема, если хотя бы для одного собственного значения $g_i<m_i$. Используем формулу $g_i=n-\operatorname{rank}(A-\lambda_i E)$.

В верхнетреугольной матрице $A-\lambda_i E$ на диагонали стоят $n-m_i$ ненулевых элементов и $m_i$ нулевых, так что заведомо
$\operatorname{rank}(A-\lambda_i E)\geqslant n-m_i$
Но если неравенство строгое:
$\operatorname{rank}(A-\lambda_i E)>n-m_i,$
то $g_i<m_i$ и $A$ недиагонализируема.

Во многих случаях это можно определить «на глазок», исходя только из того, какие элементы нулевые (всё на наш выбор, конечно), а какие нет. На картинке показана матрица $A-\lambda_i E$ размера $5\times 5$ для случая $m_i=2$. Синими кружками изображены ненулевые элементы, белыми нулевые.

Вот таким вычёркиванием получается ненулевой минор $4$ порядка, поэтому $g_i=1<m_i=2$.

[artempalkin]

svv
Ага, интересно. Ну да, в случае с верхнетреугольными матрицами можно делать некоторые выводы о геометрической кратности тех или иных собственных значений, а значит и о диагонализируемости матрицы.

Только я не совсем понял

svv в сообщении #1538222 писал(а):

Я рассуждал так.

Вы так рассуждали, чтобы прийти к выводу, что все единицы на диагонали не подойдут? :) Так мне кажется, это очевидно: чтобы быть диагонализируемой такая матрица должна быть единичной, потому что единичной матрице подобна только единичная :)

[Евгений Машеров]

Собственные значения степеней матрицы равны степеням собственных значений исходной матрицы. Собственные значения треугольной матрицы равны диагональным элементам. То есть на диагонали может быть -1, 0 или 1. И только.

[zykov]

Евгений Машеров в сообщении #1538264 писал(а):

То есть на диагонали может быть -1, 0 или 1. И только.

Если действительные, то да. Из трёх величин $0, \pm1$ не составить 5 разных. Но если взять 5 разных комплексных корней, то всё хорошо работает.

[svv]

artempalkin в сообщении #1538248 писал(а):

Вы так рассуждали, чтобы прийти к выводу, что все единицы на диагонали не подойдут? :)

Нет-нет, рассуждал «вообще». Конечно, хотелось максимальной общности. А со всеми единицами — это был просто конкретный пример.

[Евгений Машеров]

У действительнозначной треугольной матрицы собственные значения действительны.

[zykov]

Так в задаче нужно самому расставить значения на диагональ. И требования о действительности этих значений нет (если бы было, то расставить невозможно).

[Евгений Машеров]

Ну как невозможно? Диагональная матрица - частный случай верхнетреугольной. И любая диагональная матрица с числами 1, 0 и -1 на диагонали (в любом порядке) условию удовлетворяет.

[svv]

Евгений Машеров, но элементы над диагональю заданы, мы не вправе их менять. А потому и не можем брать диагональные матрицы. Мы распоряжаемся только диагональными элементами $a_{ii},\; i=1...5$.

[zykov]

Chandrasekhar в сообщении #1538138 писал(а):

$$\begin{pmatrix} a_{11} & e^{\sqrt{\pi}} & 2^{e} & \pi^{\sqrt{3}} & (2020)! \\ 0 & a_{22} & \varphi & G & \Gamma(1/2)\\ 0 & 0 & a_{33} & \pi^{e} & \sqrt{(2021)!}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & \sin(2)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} \end{pmatrix}$$

$\varphi$ - золотое сечение, G - постоянная Каталана

У ТС матрица такая. Мы можем задать только 5 значений на диагонал.
Ответ такой, что можно задать 5 любых различный корней многочлена $x^{2021}-x$, это 0 и 2020 корней из 1 (действительные $\pm1$, остальные 2018 комплексные).