Верхнетреугольные матрицы

[Chandrasekhar]

$$\begin{pmatrix} a_{11} & e^{\sqrt{\pi}} & 2^{e} & \pi^{\sqrt{3}} & (2020)! \\ 0 & a_{22} & \varphi & G & \Gamma(1/2)\\ 0 & 0 & a_{33} & \pi^{e} & \sqrt{(2021)!}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & \sin(2)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} \end{pmatrix}$$

$\varphi$ - золотое сечение, G - постоянная Каталана. Вряд ли станет проще...

[artempalkin]

zykov в сообщении #1538134 писал(а):

Если матрицы подобны, то их собственные значения равны. Но все еще не понятно, как равенство собственных значений связано с равенством матриц.

Как вы хитро мысль формулируете.
Если матрицы равны, их собственные значения (как и все остальное) совпадают.
Если собственные значения двух матриц равны, тогда они в общем случае даже не подобны, а уж тем более далеко не факт, что равны.

[Chandrasekhar]

artempalkin в сообщении #1538140 писал(а):

zykov в сообщении #1538134 писал(а):

Если матрицы подобны, то их собственные значения равны. Но все еще не понятно, как равенство собственных значений связано с равенством матриц.

Как вы хитро мысль формулируете.
Если матрицы равны, их собственные значения (как и все остальное) совпадают.
Если собственные значения двух матриц равны, тогда они в общем случае даже не подобны, а уж тем более далеко не факт, что равны.

Ошибку своего утверждения я уже понял.

[Евгений Машеров]

Я о том, что на диагонали могут быть три и только три числа. Два Вы указали.

[artempalkin]

Ну это...
Возьмем на диагонали пять разных корней 2021 степени из $1$. Тогда матрица будет подобна диагональной с той же самой диагональю. Возведем ее в 2021 степень, получим ту же матрицу

*поправка, корней 2020 степени, конечно

[Chandrasekhar]

Евгений Машеров в сообщении #1538143 писал(а):

Я о том, что на диагонали могут быть три и только три числа. Два Вы указали.

Вроде бы я записал 2 условия, а не 2 решения. Условие $a^{2020}=1$ дает нам 2020 решений на комплексной области. Если говорить про вещественные числа, то решением будет плюс и минус 1, которые в комбинации с 0 дают те самые 3 числа. Но в постановке задачи не сказано, что числа в матрице вещественные.

[zykov]

Chandrasekhar в сообщении #1538138 писал(а):

$$\begin{pmatrix} a_{11} & e^{\sqrt{\pi}} & 2^{e} & \pi^{\sqrt{3}} & (2020)! \\ 0 & a_{22} & \varphi & G & \Gamma(1/2)\\ 0 & 0 & a_{33} & \pi^{e} & \sqrt{(2021)!}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & \sin(2)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} \end{pmatrix}$$

Видимо надо доказать, что ни при какой диагонали такого равенства не будет.
На диагонали могут быть только $0, \pm1$. Ну ещё, если разрешены комплексные, то могут быть другие корни степени 2020 из 1.
А значения в треуголнике будут расти наверно.

[artempalkin]

artempalkin в сообщении #1538144 писал(а):

Возьмем на диагонали пять разных корней 2021 степени из $1$. Тогда матрица будет подобна диагональной с той же самой диагональю. Возведем ее в 2021 степень, получим ту же матрицу

*поправка, корней 2020 степени, конечно

Chandrasekhar
Такое решение вам понятно?

[Chandrasekhar]

zykov в сообщении #1538146 писал(а):

Chandrasekhar в сообщении #1538138 писал(а):

$$\begin{pmatrix} a_{11} & e^{\sqrt{\pi}} & 2^{e} & \pi^{\sqrt{3}} & (2020)! \\ 0 & a_{22} & \varphi & G & \Gamma(1/2)\\ 0 & 0 & a_{33} & \pi^{e} & \sqrt{(2021)!}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & \sin(2)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} \end{pmatrix}$$

Видимо надо доказать, что ни при какой диагонали такого равенства не будет.
На диагонали могут быть только $0, \pm1$. Ну ещё, если разрешены комплексные, то могут быть другие корни степени 2020 из 1.
А значения в треуголнике будут расти наверно.

Еще раз перепроверил. В постановке задачи сказано, что можно на диагонали расставить числа так, чтобы равенство матрицы с ее 2021 степенью выполнялось. Да и был приведен пример для матриц (к примеру проектор). Видимо такое возможно сделать почти всегда.

-- 07.11.2021, 21:27 --

artempalkin в сообщении #1538148 писал(а):

artempalkin в сообщении #1538144 писал(а):

Возьмем на диагонали пять разных корней 2021 степени из $1$. Тогда матрица будет подобна диагональной с той же самой диагональю. Возведем ее в 2021 степень, получим ту же матрицу

*поправка, корней 2020 степени, конечно

Chandrasekhar
Такое решение вам понятно?

Пока что не понятно почему при возведении такой матрицы в 2021 степень получится такая же матрица. Т. е. у нас есть 2 подобные матрицы, а значит имеем равенство $A=P^{-1}BP$. Возводя обе части равенства в 2021 степень я приду к виду $A^{2021}=P^{-1}BP$?

[artempalkin]

$A=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}P$, при этом $x_i^{2021}=x_i$ (корни 2020 степени из 1).

Тогда

$A^{2021}=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}^{2021}P=\\=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}P=A$

[Chandrasekhar]

artempalkin в сообщении #1538151 писал(а):

$A=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}P$, при этом $x_i^{2021}=x_i$ (корни 2020 степени из 1).

Тогда

$A^{2021}=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}^{2021}P=P^{-1}\operatorname{diag}\{x_1;x_2;x_3;x_4;x_5\}P=A$

Спасибо. Как раз об этом и писал выше.

[zykov]

zykov в сообщении #1538146 писал(а):

Видимо надо доказать, что ни при какой диагонали такого равенства не будет.

Вроде получается, если на диагонали взять комплексные корни 5ой (т.к. 2020 делится на 5) степени из 1: $e^{\frac{2\pi i}{5}}$, $e^{\frac{4\pi i}{5}}$, $e^{\frac{6\pi i}{5}}$, $e^{\frac{8\pi i}{5}}$, 1.
Там оно не зависит от значений в треугольнике и все степени $5n+1$ совпадут.

[artempalkin]

zykov в сообщении #1538153 писал(а):

Вроде получается, если на диагонали взять комплексные корни 5ой (т.к. 2020 делится на 5) степени из 1: $e^{\frac{2\pi i}{5}}$, $e^{\frac{4\pi i}{5}}$, $e^{\frac{6\pi i}{5}}$, $e^{\frac{8\pi i}{5}}$, 1.

Любой набор корней подойдет, главное, чтобы были различны. Можно также 4 корня и $0$.

-- 07.11.2021, 21:43 --

(Оффтоп)

У меня эта задача несколько перевернула взгляд на все это дело, я был уверен, что таких чисел нельзя подобрать

[lel0lel]

zykov в сообщении #1538153 писал(а):

Вроде получается, если на диагонали взять комплексные корни 5ой (т.к. 2020 делится на 5) степени из 1: $e^{\frac{2\pi i}{5}}$, $e^{\frac{4\pi i}{5}}$, $e^{\frac{6\pi i}{5}}$, $e^{\frac{8\pi i}{5}}$, 1.
Там оно не зависит от значений в треугольнике и все степени $5n+1$ совпадут

Это следует из теоремы Гамильтона-Кэли. Вообще я бы с неё и начал. Надо факторизовать полином $x^{2020}-1$ и посмотреть при каких диагональных элементах $A$ он кратен характеристическому полиному матрицы.

[zykov]

lel0lel в сообщении #1538157 писал(а):

Надо факторизовать полином $x^{2020}-1$ и

Наверно $x^{2021}-1$?