Кострикин. Курс алгебры, задачник

[lel0lel]

В общем случае к диагональному, если на диагонали не появятся нули. А если появятся, то заработаем нулевую строку. Вот получили треугольную матрицу, остаётся прогнать метод Гаусса снизу вверх.

-- Вс авг 22, 2021 22:49:03 --

Вот пример с системой двух уравнений:
$\Big(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\Big|\,\,\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\Big)\sim\Big(\begin{matrix}1&2\\0&-3\end{matrix}\Big|\,\,\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\Big)\sim\Big(\begin{matrix}1&0\\0&-3\end{matrix}\Big|\,\,\begin{matrix}-1/3\\-5\end{matrix}\Big)$
Решение: $\{-1/3,5/3\}$. Матрица системы получилась диагональной.

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1529314 писал(а):

Есть прямой и обратный проход Гаусса. Они приводят матрицу к диагональному виду. Прямой к треугольному, а обратный к диагональному.

В качестве упражнения сделал следующую выкладку: $\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ -5 & 1 & 3 & -4\\ 2 & 0 & 1 & -1\\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ -5+\dfrac{5}{3}\cdot3 & 1+\dfrac{5}{3}\cdot1 & 3+\dfrac{5}{3}\cdot(-1) & -4+\dfrac{5}{3}\cdot2\\ 2-\dfrac{2}{3}\cdot3 & 0-\dfrac{2}{3}\cdot1 & 1-\dfrac{2}{3}\cdot(-1) & -1-\dfrac{2}{3}\cdot2\\ 1-\dfrac{1}{3}\cdot3 & -5-\dfrac{1}{3}\cdot1 & 3-\dfrac{1}{3}\cdot(-1) & -3-\dfrac{1}{3}\cdot2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ 0 & \dfrac{8}{3} & \dfrac{4}{3} & -\dfrac{2}{3}\\ 0 & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{5}{3} & -\dfrac{7}{3}\\ 0 & -\dfrac{16}{3} & \dfrac{10}{3} & -\dfrac{11}{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ 0 & \dfrac{8}{3} & \dfrac{4}{3} & -\dfrac{2}{3}\\ 0 & -\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{3} & \dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{3} & -\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\ 0 & -\dfrac{16}{3}+2\cdot\dfrac{8}{3} & \dfrac{10}{3}+2\cdot\dfrac{4}{3} & -\dfrac{11}{3}+2\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ 0 & \dfrac{8}{3} & \dfrac{4}{3} & -\dfrac{2}{3}\\ 0 & 0 & 2 & -\dfrac{15}{6}\\ 0 & 0 & 6 & -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ 0 & \dfrac{8}{3} & \dfrac{4}{3} & -\dfrac{2}{3}\\ 0 & 0 & 2 & -\dfrac{15}{6}\\ 0 & 0 & 6-3\cdot2 & -5-3\cdot\left(-\dfrac{15}{6}\right) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\ 0 & \dfrac{8}{3} & \dfrac{4}{3} & -\dfrac{2}{3}\\ 0 & 0 & 2 & -\dfrac{13}{6}\\ 0 & 0 & 0 & 2.5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{8}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2.5 \end{vmatrix}$. Вы же имели ввиду приведение к такой форме, при которой в данной строке или данном столбце только 1 элемент - на главной диагонали - кратен простому числу $p$?

[lel0lel]

Да. Если определитель делится на $p$, то делится и один из диагональных элементов получившейся матрицы, тогда имеем нулевую по модулю $p$ линейную комбинацию строк.

[Sinoid]

Вчера, сегодня, одним глазом продумал над задачей 7. 4:
Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя
и задач, следующих за этой и имеющих общее с данной в том, что указания к тем задачам по духу очень напоминают указание к этой. В указании сказано:
Система строк произведения матриц линейно выражается через систему строк второй матрицы.
ОК. С доказательством этого вообще никаких проблем не возникает. А на что давить дальше? Что-то вообще идей никаких. Там, конечно, есть это утверждение в качестве теоремы, но ведь эта задача здесь явно дана не для тупого списывания доказательства оттуда. Полистал книгу. По смыслу подходит опереться только на лемму со стр. 74:
Если матрица $A^{\prime}$ получена из матрицы $A$ путём применения конечного числа элементарных преобразований...
но... заключением той леммы является совпадение рангов. Мне же нужно доказать, что 1 ранг не превосходит другой. С другой стороны, в голову приходит следствие из теоремы (основной), выведенное в курсе алгебры Куроша на стр. 70 о том, что, если даны 2 системы $n$-мерных векторов, даже необязательно линейно независимых, то, если первая система линейно выражается через вторую, то ранг первой не больше ранга второй. Не больше... вот, где мог бы быть мостик к решению этой задачи. А, полистав Кострикина, я не увидел задачу с подобным утверждением у Кострикина ни в учебнике, ни в задачнике. Так что, так вот взять, ну, не тащить же построения Куроша в задачник Кострикина, повторяя при этом доказательство ещё нескольких теорем...

-- 25.08.2021, 21:52 --

lel0lel в сообщении #1529651 писал(а):

Да. Если определитель делится на $p$, то делится и один из диагональных элементов получившейся матрицы, тогда имеем нулевую по модулю $p$ линейную комбинацию строк.

Это все понятно. А нельзя ли получить более интересно - чтоб все или почти все элементы некоторой строки матрицы (или столбца) были бы ненулевыми и при этом делились на некоторое простое число $p$?

-- 25.08.2021, 21:57 --

Вообще, какое-то странное заключение у леммы: у Куроша заключение, чего скрывать, такой же леммы, другое...

[kmpl]

Пусть $AB = C$. Тогда любую строку матрицы $C$ можно линейно выразить через систему строк матрицы $B$, $\Rightarrow$ лин. оболочка системы строк матрицы $C$ $\subset$ лин. оболочки сист. строк матрицы $B$ $\Rightarrow$ $\operatorname{rank C} \leqslant \operatorname{rank B}$. С матрицей $A$ все то же самое, только надо рассматривать уже столбцы.

[Sinoid]

kmpl в сообщении #1529656 писал(а):

Тогда любую строку матрицы $C$ можно линейно выразить через систему строк матрицы $B$, $\Rightarrow$ лин. оболочка системы строк матрицы $C$ $\subset$ лин. оболочки сист. строк матрицы $B$ $\Rightarrow$ $\operatorname{rank C} \leqslant \operatorname{rank B}$.

Ну, это, по сути, и есть рассуждение из учебника. Ладно, спасибки за ответ. Буду думать дальше.

[Sinoid]

Продолжаю решать. С задачей 7.9 чувствовалось, что могу решить (и решил ее). А пока хочу спросить про 1 момент. В указании к задаче 7.7:
Доказать, что всякую матрицу ранга $r$ можно представить в виде суммы $r$ матриц ранга 1, но нельзя представить в виде меньшего числа таких матриц.
Сказано следующее:

Скажите, пожалуйста, там же во втором слагаемом, на которые нужно разбить матрицу $A$, опечатка: после второго $b$ стоит ненужный 0? Нужно же $(0,\, b,\,\beta b,\,\delta b)$? А то так-то получилось, но вот это указание...

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1537830 писал(а):

после второго $b$ стоит ненужный 0?

Да, это опечатка.

[Sinoid]

Спасибо большое.

[Sinoid]

Решаю задачу 7.13:
Пусть $A_{1},\, A_{2},\ldots A_{k}-$ матрицы с одинаковым числом строк $C=(c_{ij})-$ невырожденная матрица порядка $k$. Доказать, что ранг матрицы

$$ \begin{pmatrix}c_{11}A_{1} & c_{12}A_{2} & \ldots & c_{1k}A_{k}\\ \hdotsfor{4}\\ c_{k1}A_{1} & c_{k2}A_{2} & \ldots & c_{kk}A_{k} \end{pmatrix} $$

равен сумме рангов матриц $A_{1},\, A_{2},\ldots A_{k}$.
Пытался нащупать решение в частном случае:
$k=3$, $C=\left( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{matrix}\right)$, $A_1=\left(\begin{matrix} a^{(1)}_{11} & a^{(1)}_{12} \\ a^{(1)}_{21} & a^{(1)}_{22} \end{matrix}\right)$, $A_2=\left(\begin{matrix} a^{(2)}_{11} & a^{(2)}_{12} & a^{(2)}_{13} \\ a^{(2)}_{21} & a^{(2)}_{22} & a^{(2)}_{23} \end{matrix}\right)$, $A_3=\left(\begin{matrix} a^{(3)}_{11} & a^{(3)}_{12} & a^{(3)}_{13} & a^{(3)}_{14} \\ a^{(3)}_{21} & a^{(3)}_{22} & a^{(3)}_{23} & a^{(3)}_{24} \end{matrix}\right)$, тогда $ \begin{pmatrix}c_{11}A_{1} & c_{12}A_{2} & c_{13}A_{3}\\ c_{21}A_{1} & c_{22}A_{2} & c_{23}A_{3}\\ c_{31}A_{1} & c_{32}A_{2} & c_{33}A_{3} \end{pmatrix}= $
$\left( \begin{array}{cc|ccc|cccc} c_{11}a^{(1)}_{11} & c_{11}a^{(1)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{11} & c_{12}a^{(2)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{11} & c_{13}a^{(3)}_{12} & c_{13}a^{(3)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{14} \\ c_{11}a^{(1)}_{21} & c_{11}a^{(1)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{21} & c_{12}a^{(2)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{21} & c_{13}a^{(3)}_{22} & c_{13}a^{(3)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} c_{21}a^{(1)}_{11} & c_{21}a^{(1)}_{12} & c_{22}a^{(2)}_{11} & c_{22}a^{(2)}_{12} & c_{22}a^{(2)}_{13} & c_{23}a^{(3)}_{11} & c_{23}a^{(3)}_{12} & c_{23}a^{(3)}_{13} & c_{23}a^{(3)}_{14} \\ c_{21}a^{(1)}_{21} & c_{21}a^{(1)}_{22} & c_{22}a^{(2)}_{21} & c_{22}a^{(2)}_{22} & c_{22}a^{(2)}_{23} & c_{23}a^{(3)}_{21} & c_{23}a^{(3)}_{22} & c_{23}a^{(3)}_{23} & c_{23}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} c_{31}a^{(1)}_{11} & c_{31}a^{(1)}_{12} & c_{32}a^{(2)}_{11} & c_{32}a^{(2)}_{12} & c_{32}a^{(2)}_{13} & c_{33}a^{(3)}_{11} & c_{33}a^{(3)}_{12} & c_{33}a^{(3)}_{13} & c_{33}a^{(3)}_{14} \\ c_{31}a^{(1)}_{31} & c_{21}a^{(1)}_{32} & c_{32}a^{(2)}_{21} & c_{32}a^{(2)}_{22} & c_{32}a^{(2)}_{23} & c_{33}a^{(3)}_{21} & c_{33}a^{(3)}_{22} & c_{33}a^{(3)}_{23} & c_{33}a^{(3)}_{24} \end{array} \right)= $ $\left( \begin{array}{cc|ccc|cccc} c_{11}a^{(1)}_{11} & c_{11}a^{(1)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{11} & c_{12}a^{(2)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{11} & c_{13}a^{(3)}_{12} & c_{13}a^{(3)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{14} \\ c_{11}a^{(1)}_{21} & c_{11}a^{(1)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{21} & c_{12}a^{(2)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{21} & c_{13}a^{(3)}_{22} & c_{13}a^{(3)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{11} & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{12} & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{13} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{11} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{12} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{13} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{21} & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{22} & \left( c_{22}-c_{12}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{23} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{21} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{23} & \left( c_{23}-c_{13}\dfrac{c_{21} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{11} & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(2)}_{12} & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31}} {c_{11} } \right)a^{(2)}_{13} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{11} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{13} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right) a^{(2)}_{21} & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(2)}_{22} & \left( c_{32}-c_{12}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(2)}_{23} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{21} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{23} & \left( c_{33}-c_{13}\dfrac{c_{31} }{c_{11} } \right)a^{(3)}_{24} \end{array} \right)= $, =$\dfrac{1}{c_{11}^4} \left( \begin{array}{cc|ccc|cccc} c_{11}a^{(1)}_{11} & c_{11}a^{(1)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{11} & c_{12}a^{(2)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{11} & c_{13}a^{(3)}_{12} & c_{13}a^{(3)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{14} \\ c_{11}a^{(1)}_{21} & c_{11}a^{(1)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{21} & c_{12}a^{(2)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{21} & c_{13}a^{(3)}_{22} & c_{13}a^{(3)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) a^{(2)}_{11} & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) a^{(2)}_{12} & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) a^{(2)}_{13} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{11} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{12} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{13} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) a^{(2)}_{21} & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) a^{(2)}_{22} & \left( c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21} \right) } \right) a^{(2)}_{23} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{21} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{23} & \left( c_{11} c_{23}-c_{13}c_{21} \right)a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right) a^{(2)}_{11} & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right)a^{(2)}_{12} & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right)a^{(2)}_{13} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{11} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{13} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right) a^{(2)}_{21} & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right)a^{(2)}_{22} & \left( c_{11} c_{32}-c_{12}c_{31} \right)a^{(2)}_{23} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{21} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{22} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{23} & \left( c_{11} c_{33}-c_{13}c_{31} \right)a^{(3)}_{24} \end{array} \right)= $


$\dfrac{1}{c_{11}^4} \left( \begin{array}{cc|ccc|cccc} c_{11}a^{(1)}_{11} & c_{11}a^{(1)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{11} & c_{12}a^{(2)}_{12} & c_{12}a^{(2)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{11} & c_{13}a^{(3)}_{12} & c_{13}a^{(3)}_{13} & c_{13}a^{(3)}_{14} \\ c_{11}a^{(1)}_{21} & c_{11}a^{(1)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{21} & c_{12}a^{(2)}_{22} & c_{12}a^{(2)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{21} & c_{13}a^{(3)}_{22} & c_{13}a^{(3)}_{23} & c_{13}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & M_{33} a^{(2)}_{11} & M_{33} a^{(2)}_{12} & M_{33} a^{(2)}_{13} & M_{32} a^{(3)}_{11} & M_{32}a^{(3)}_{12} & M_{32}a^{(3)}_{13} & M_{32}a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & M_{33} a^{(2)}_{21} & M_{33} a^{(2)}_{22} & M_{33} a^{(2)}_{23} & M_{32}a^{(3)}_{21} & M_{32}a^{(3)}_{22} & M_{32}a^{(3)}_{23} & M_{32}a^{(3)}_{24} \\ \cline{1-9} 0 & 0 & M_{23} a^{(2)}_{11} & M_{23}a^{(2)}_{12} & M_{23}a^{(2)}_{13} & M_{22}a^{(3)}_{11} & M_{22}a^{(3)}_{22} & M_{22}a^{(3)}_{13} & M_{22}a^{(3)}_{14} \\ 0 & 0 & M_{23} a^{(2)}_{21} & M_{23}a^{(2)}_{22} & M_{23}a^{(2)}_{23} & M_{22}a^{(3)}_{21} & M_{22}a^{(3)}_{22} & M_{22}a^{(3)}_{23} & M_{22}a^{(3)}_{24} \end{array} \right) $
я, конечно, извиняюсь, что вышло за рамки экрана, но, то, что вышло, легко восстанавливается в воображении: преобразования-то я совершал только над строками. Здесь $M_{ij}$ - это минор элемента $a_{ij}$. Хотелось бы узнать, на правильном ли я пути? Хотя другого пути у меня, ИМХО, и нет. Только как сюда прикрутить невырожденность матрицы $C$ хоть убей пока не пойму.

[lel0lel]

Вы часто стараетесь проводить доказательства в явном виде, не страшась громоздких выкладок. В принципе это неплохо, но иногда полезно подумать над доказательством, в котором есть только идея, которая даёт требуемый результат. В этой задаче можно работать с блочной матрицей и привести её к диагональному виду с помощью тождественных преобразований, причём на диагонали будут стоять $\tilde{c}_iA_i$, где $\tilde{c}_i\ne 0$ в силу невырожденности $C$.

[zykov]

lel0lel в сообщении #1538731 писал(а):

и привести её к диагональному виду

А если там клетки Жордана будут?

[lel0lel]

zykov
Неправильно выразился речь идёт об элементарных преобразованиях как в методе Гаусса, ранг при этом не меняется и всегда можно прийти к ступенчатому виду. А если матрица невырожденная, то и к диагональному. В общем, это не о той диагонализации.

[zykov]

Т.е. надо к треугольному (блочно), а не диагональному виду.

[lel0lel]

Чтобы не повторяться посмотрите это http://dxdy.ru/post1529648.html#p1529648