2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1892
Санкт-Петербург
zykov в сообщении #1537410 писал(а):
... значит для всех дробей это $q$ будет ограничено снизу.
То есть Вы говорите о чем-то вроде соотношения цена/качество, которое есть свойство непрерывных дробей, как метода, но не числа $\pi.$ А флюктуаций вроде $4$-й дроби найдется и среди алгебраических чисел, нужно только чтобы большой знак оказался в начале.
$x^7-69x^4-283x^2-1007=0,\ x=4,2,2,2,284,...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5037
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1537346 писал(а):
Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?
Так, вроде, здесь есть развернутый ответ на Ваш вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 20:13 


18/09/21
1699
amon
Спасибо, интересно.
К сожалению там нет ответа на этот вопрос. Там описано получение приближений через цепные дроби. Здесь мы это тоже описали.
Но вопрос в другом, почему для этой дроби качество аномально высокое, чем можно было бы ожидать просто от приближения через цепную дробь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5037
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1537463 писал(а):
Но вопрос в другом, почему для этой дроби качество аномально высокое
По пункту 6. Его доказательство есть где-то в следующих номерах, мне лень искать было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 20:43 


18/09/21
1699
Про пункт 6 (что цепная дробь даёт оптимальные значения) я в курсе.
Например для $\pi$ все цепные дроби оптимальны в своём роде (как и цепные дроби для других чисел).
Но дробь $\frac{355}{113}$ гораздо лучше, чем можно было бы ожидать - 0.0034 против обычных 0.1-0.5 для других цепных дробей.

Да, я не упомянул ранее, что дробь $\frac{22}{7}$ тоже весьма неплоха. Её качество 0.062, что лучше чем 0.1, но всё же хуже чем 0.0034.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 06:48 


21/05/16
4292
Аделаида
Сравните $\sin 1$, $\dfrac{69}{82}$ и $\dfrac{2158055}{2564622}$.

-- 03 ноя 2021, 13:39 --

В общем:
Постоянная Хинчина
Khinchin's constant
Выглядит так, будто те числа, у которых среднее геометрическое членов цепных дробей сходится к этой постоянной, имеют довольно много больших пиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 07:35 


18/09/21
1699
kotenok gav в сообщении #1537502 писал(а):
Сравните $\sin 1$, $\dfrac{69}{82}$ и $\dfrac{2158055}{2564622}$.
Первая дробь имеет качество -0.051, что выше типичного, но не сильно.
Вторая дробь имеет качество 0.0073, что уже гораздо ближе к 0.0034.
Кстати, вполне возможно, что разложение для $\sin 1$ связано с разложение для $\pi$, т.к. $(\cos 1 + i \sin 1)^{\pi} = -1$.
А значит $(\cos 1 + i \sin 1)^{355} = -(\cos 1 + i \sin 1)^{\varepsilon}$, где $\varepsilon \approx 3.014\cdot 10^{-5}$.
$(\cos 1 + i \sin 1)^{\varepsilon} \approx 1-4.54\cdot 10^{-10}+i 3.014 \cdot 10^{-5}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6846
Древним китайцам ещё в пятом веке было известно обсуждаемое приближение числа пи. А как они к нему пришли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 14:49 
Заслуженный участник


20/08/14
11336
Россия, Москва
мат-ламер в сообщении #1537564 писал(а):
А как они к нему пришли?
Ответ даже в вики есть:
вики писал(а):
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм[en] для вычисления $\pi$ с любой степенью точности.
...
В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что $\pi \approx 355/113$, и показал, что $3.1415926 < \pi  < 3.1415927$, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6846
Dmitriy40 в сообщении #1537565 писал(а):
простой и точный итеративный алгоритм

Не совсем понятно это словосочетание. Знали люди в ту пору десятичную арифметику или работали исключительно с обыкновенными дробями? В этом алгоритме идёт многократное извлечение квадратного корня. Что непросто как для обыкновенных дробей, так и для десятичных. Потом, получив нужную дробь, надо ещё получить из неё цепную дробь и дробь подходящую. Наверное китайская математика опережала в ту пору европейскую и византийскую, которая пошла на спад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 16:01 


18/09/21
1699
мат-ламер в сообщении #1537568 писал(а):
В этом алгоритме идёт многократное извлечение квадратного корня
Newton's method - Square root aka Babylonian method of finding square roots
$$x_{n+1}=\frac12 \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6846
zykov
Спасибо, я в курсе. Просто я подумал, что реализовать этот алгоритм в натуральных дробях в применении к 12288-угольнику не так уж и просто. Хотя может считали в десятичных дробях. Википедия пишет, что арабские цифры и десятичная система возникла в Индии не позднее 5-го века. Может она как раз тогда проникла и в Китай.

У меня на компе есть две книги, посвящённые числу пи. Это не вы ли их написали?

-- Ср ноя 03, 2021 17:36:32 --

мат-ламер в сообщении #1537583 писал(а):
Википедия пишет, что арабские цифры и десятичная система возникла в Индии не позднее 5-го века.

Это я смотрел вот эту статью . Как оказалось, не совсем так. Вот тут и тут пишут, что десятичная система возникла в Китае в третьем веке. Удивился такой фразе:
Цитата:
Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Эта тема затрагивается в том числе в увлекательном видео - https://youtu.be/DxntHp7-wbg

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 16:59 


18/09/21
1699
Метод Ньютона сходится очень быстро. Если текущая ошибка уже мала, то каждая итерация удваивает количество значящих цифр.
Т.е. при хорошем начальном приближении может хватить 3-4 итераций.
Вот для примера найдём приближение $\sqrt 7$ в дробях. Для начального приближения возьмём $3$ (т.к. $3^2=9$ близко к $7$).
$x_0=3$, $err \approx 0.35$
$x_1=\frac83$, $err \approx 0.021$
$x_2=\frac{127}{48}$, $err \approx 8.2 \cdot 10^{-5}$
$x_3=\frac{32257}{12192}$, $err \approx 1.3 \cdot 10^{-9}$
$x_4=\frac{2081028097}{786554688}$, $err \approx 3.1 \cdot 10^{-19}$
На бумажке это посчитать - проще некуда.
Следующая итерация дала бы ошибку $10^{-38}$, а ещё одна дала бы $10^{-76}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение03.11.2021, 17:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alisa-lebovski в сообщении #1537586 писал(а):
в увлекательном видео - https://youtu.be/DxntHp7-wbg
Неплохая озвучка, за исключением режущего слух "класс вычета" (вместо правильного "класс вычетов").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group