Пи как 355/113

[Andrey A]

zykov в сообщении #1537410 писал(а):

... значит для всех дробей это $q$ будет ограничено снизу.

То есть Вы говорите о чем-то вроде соотношения цена/качество, которое есть свойство непрерывных дробей, как метода, но не числа $\pi.$ А флюктуаций вроде $4$-й дроби найдется и среди алгебраических чисел, нужно только чтобы большой знак оказался в начале.
$x^7-69x^4-283x^2-1007=0,\ x=4,2,2,2,284,...$

[amon]

zykov в сообщении #1537346 писал(а):

Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?

Так, вроде, здесь есть развернутый ответ на Ваш вопрос.

[zykov]

amon
Спасибо, интересно.
К сожалению там нет ответа на этот вопрос. Там описано получение приближений через цепные дроби. Здесь мы это тоже описали.
Но вопрос в другом, почему для этой дроби качество аномально высокое, чем можно было бы ожидать просто от приближения через цепную дробь.

[amon]

zykov в сообщении #1537463 писал(а):

Но вопрос в другом, почему для этой дроби качество аномально высокое

По пункту 6. Его доказательство есть где-то в следующих номерах, мне лень искать было.

[zykov]

Про пункт 6 (что цепная дробь даёт оптимальные значения) я в курсе.
Например для $\pi$ все цепные дроби оптимальны в своём роде (как и цепные дроби для других чисел).
Но дробь $\frac{355}{113}$ гораздо лучше, чем можно было бы ожидать - 0.0034 против обычных 0.1-0.5 для других цепных дробей.

Да, я не упомянул ранее, что дробь $\frac{22}{7}$ тоже весьма неплоха. Её качество 0.062, что лучше чем 0.1, но всё же хуже чем 0.0034.

[kotenok gav]

Сравните $\sin 1$, $\dfrac{69}{82}$ и $\dfrac{2158055}{2564622}$.

-- 03 ноя 2021, 13:39 --

В общем:
Постоянная Хинчина
Khinchin's constant
Выглядит так, будто те числа, у которых среднее геометрическое членов цепных дробей сходится к этой постоянной, имеют довольно много больших пиков.

[zykov]

kotenok gav в сообщении #1537502 писал(а):

Сравните $\sin 1$, $\dfrac{69}{82}$ и $\dfrac{2158055}{2564622}$.

Первая дробь имеет качество -0.051, что выше типичного, но не сильно.
Вторая дробь имеет качество 0.0073, что уже гораздо ближе к 0.0034.
Кстати, вполне возможно, что разложение для $\sin 1$ связано с разложение для $\pi$, т.к. $(\cos 1 + i \sin 1)^{\pi} = -1$.
А значит $(\cos 1 + i \sin 1)^{355} = -(\cos 1 + i \sin 1)^{\varepsilon}$, где $\varepsilon \approx 3.014\cdot 10^{-5}$.
$(\cos 1 + i \sin 1)^{\varepsilon} \approx 1-4.54\cdot 10^{-10}+i 3.014 \cdot 10^{-5}$

[мат-ламер]

Древним китайцам ещё в пятом веке было известно обсуждаемое приближение числа пи. А как они к нему пришли?

[Dmitriy40]

мат-ламер в сообщении #1537564 писал(а):

А как они к нему пришли?

Ответ даже в вики есть:

вики писал(а):

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм[en] для вычисления $\pi$ с любой степенью точности.
...
В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что $\pi \approx 355/113$, и показал, что $3.1415926 < \pi < 3.1415927$, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику.

[мат-ламер]

Dmitriy40 в сообщении #1537565 писал(а):

простой и точный итеративный алгоритм

Не совсем понятно это словосочетание. Знали люди в ту пору десятичную арифметику или работали исключительно с обыкновенными дробями? В этом алгоритме идёт многократное извлечение квадратного корня. Что непросто как для обыкновенных дробей, так и для десятичных. Потом, получив нужную дробь, надо ещё получить из неё цепную дробь и дробь подходящую. Наверное китайская математика опережала в ту пору европейскую и византийскую, которая пошла на спад.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1537568 писал(а):

В этом алгоритме идёт многократное извлечение квадратного корня

Newton's method - Square root aka Babylonian method of finding square roots

$$x_{n+1}=\frac12 \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$$

[мат-ламер]

zykov
Спасибо, я в курсе. Просто я подумал, что реализовать этот алгоритм в натуральных дробях в применении к 12288-угольнику не так уж и просто. Хотя может считали в десятичных дробях. Википедия пишет, что арабские цифры и десятичная система возникла в Индии не позднее 5-го века. Может она как раз тогда проникла и в Китай.

У меня на компе есть две книги, посвящённые числу пи. Это не вы ли их написали?

-- Ср ноя 03, 2021 17:36:32 --

мат-ламер в сообщении #1537583 писал(а):

Википедия пишет, что арабские цифры и десятичная система возникла в Индии не позднее 5-го века.

Это я смотрел вот эту статью . Как оказалось, не совсем так. Вот тут и тут пишут, что десятичная система возникла в Китае в третьем веке. Удивился такой фразе:

Цитата:

Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

[alisa-lebovski]

Эта тема затрагивается в том числе в увлекательном видео - https://youtu.be/DxntHp7-wbg

[zykov]

Метод Ньютона сходится очень быстро. Если текущая ошибка уже мала, то каждая итерация удваивает количество значящих цифр.
Т.е. при хорошем начальном приближении может хватить 3-4 итераций.
Вот для примера найдём приближение $\sqrt 7$ в дробях. Для начального приближения возьмём $3$ (т.к. $3^2=9$ близко к $7$).
$x_0=3$, $err \approx 0.35$
$x_1=\frac83$, $err \approx 0.021$
$x_2=\frac{127}{48}$, $err \approx 8.2 \cdot 10^{-5}$
$x_3=\frac{32257}{12192}$, $err \approx 1.3 \cdot 10^{-9}$
$x_4=\frac{2081028097}{786554688}$, $err \approx 3.1 \cdot 10^{-19}$
На бумажке это посчитать - проще некуда.
Следующая итерация дала бы ошибку $10^{-38}$, а ещё одна дала бы $10^{-76}$.

[nnosipov]

alisa-lebovski в сообщении #1537586 писал(а):

в увлекательном видео - https://youtu.be/DxntHp7-wbg

Неплохая озвучка, за исключением режущего слух "класс вычета" (вместо правильного "класс вычетов").