2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение16.10.2021, 13:57 


31/05/19
8
Доказать, что борелевская сигма-алгебра ${l}^{2}$ не порождается прямыми. (Преподаватель определил прямую, как одномерное аффинное подпространство. Определение $l^{2}$ https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%B5%D0%B9)

Есть идея найти какую-нибудь сигма-алгебру, в которой лежат все такие прямые, и доказать, что она не является борелевской. Прямая задается множеством точек вида ${x + \alpha y}$, где ${x, y \in l^2}$, а ${\alpha\in\mathbb{R}}$. Была еще идея взять какое-нибудь открытое множество в ${l}^{2}$ (например, единичный шар в 0) и доказать, что оно не порождается прямыми. Также не очень понятно, как выглядят открытые множества ${l}^{2}$ (кроме шаров в 0). Буду рад другим идеям или оценкам моих идей.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.10.2021, 14:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24058
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.10.2021, 16:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24058
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение16.10.2021, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
Попробуйте для начала рассмотреть не $l^2$ а обычную плоскость $\mathbb R^2$. Из чего состоит сигма-алгебра, порожденная прямыми? (посмотрите, какой вид имеет пересечение двух прямых)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение17.10.2021, 15:44 
Заслуженный участник


13/12/05
4205
Семейство всех множеств вида $P$ или $X\setminus P$, где $P$ -- множества первой категории, является сигма алгеброй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение18.10.2021, 01:41 


31/05/19
8
Padawan
Не очень понятно, что с этим делать. Вы хотите сказать, что приняв за множества $\mathrm{P}$ прямые, можно построить неборелевскую сигма-алгебру? Вроде бы прямые не являются множествами первой категории (т.к. можно взять прямую $\mathbb{R}$ $\times$ $\mathrm{0}$ $\times$ $\mathrm{0}$... и в открытом множестве [0,1] $\times$ $\mathrm{0}$ $\times$ $\mathrm{0}$..., очевидно, нет какого-нибудь шара, свободного от точек этой прямой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение18.10.2021, 03:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Я бы зафиксировал какую-нибудь прямую и посмотрел на пересечения элементов рассматриваемой сигма-алгебры с этой прямой. Получится какая-то сигма-алгебра на прямой. Как она устроена? Как бы она была устроена, если бы рассматриваемая сигма-алгебра была борелевской?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение18.10.2021, 06:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4205
vladislav_543
Отсюда следует, что любое множество Вашей сигма алгебры либо само есть множество первой категории, либо его дополнение есть множество первой категории в $l^2$. Так как $l^2$ полно, то по теореме Бэра, например, открытый шар в Вашу сигма алгебру не входит.

Прямые, конечно, являются множествами первой категории. Они даже нигде не плотные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 16:25 


31/05/19
8
Padawan
Что-то я никак не могу доказать, что прямая нигде не плотна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
vladislav_543, а что конкретно надо проверить, чтобы убедиться, что прямая на плоскости (или где она там у Вас находится) является нигде не плотным множеством? Определение нигде не плотного множества можете сформулировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 18:13 


31/05/19
8
Someone
Могу. Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой. А вот как находить не знаю. Есть идея взять окрестность какой-нибудь точки нашего открытого множества в качестве такого шара. Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве. Тут уже тупик у меня...
Наверное можно доказать, что прямая замкнутое множество, значит все свои предельные содержит, следовательно, достаточно взять любую точку не из пересечения. А как доказать, что прямая в $\mathrm{l^2}$ замкнута?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):
Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве.
Зачем?

Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.

vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):
Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой.
Это что такое? Я спрашивал определение нигде не плотного множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 18:42 


31/05/19
8
Someone в сообщении #1535632 писал(а):
vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):
Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве.
Зачем?
Если мы найдем непредельную к прямой точку в открытом множестве, то сможем найти у нее окрестность, не имеющую общих точек с прямой и лежащую в нашем открытом множестве.

Someone в сообщении #1535632 писал(а):
vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):
Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой.
Это что такое? Я спрашивал определение нигде не плотного множества.
Я применил определение к данной ситуации. Полное определение: в любом непустом открытом множестве всего пространства можно найти шар, не имеющий общих точек с нашим нигде не плотным множеством. Различий не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):
Различий не вижу.
Определение формулируется так: "Такая-то фигня называется так-то, если выполняется следующее: …". Ну, с точностью до некоторых замен и перестановок слов, не влияющих на смысл. Перечень действий, которые Вы хотите выполнить для проверки определения, сам определением не является.

vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):
Полное определение: в любом непустом открытом множестве всего пространства можно найти шар, не имеющий общих точек с нашим нигде не плотным множеством.
Слова "нигде не плотным" надо выкинуть оттуда, куда Вы их засунули, зато начальная часть определения у Вас начисто отсутствует. Поэтому совершенно непонятно, что Вы определяете. Так что определение вовсе не полное.

Не думайте, что я зря придираюсь. Я подозреваю, что речь идёт о курсе функционального анализа, что предполагает достаточно высокий уровень математики в ВУЗе, а Вы формулируете определения совершенно невнятно. Привыкайте к точным формулировкам, иначе экзаменатор будет сильно недоволен.

vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):
Если мы найдем непредельную к прямой точку в открытом множестве, то сможем найти у нее окрестность, не имеющую общих точек с прямой и лежащую в нашем открытом множестве.
Это понятно. Но я уже намекал:
Someone в сообщении #1535632 писал(а):
Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.
Следующий вопрос, который надо продумать: может ли прямая в $l^2$ содержать какое-нибудь непустое открытое подмножество пространства $l^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается
Сообщение20.10.2021, 21:04 


31/05/19
8
Someone в сообщении #1535632 писал(а):
Someone в сообщении #1535632 писал(а):
Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.
Следующий вопрос, который надо продумать: может ли прямая в $l^2$ содержать какое-нибудь непустое открытое подмножество пространства $l^2$?

Не может. Возьмем точку $\mathsf{x}$ этого открытого мн-ва, она лежит на прямой. Возьмем ее любую $\mathsf{r}$-окрестность. Все точки прямой можно представить в виде $\mathsf{z = x + \alpha y = (x_1 + \alpha y_1, ...)}$, где $\mathsf{y}$ какая-то другая точка прямой. Возьмем $\mathsf{\alpha_0}$ так, что $\mathsf{z_0 = x + \alpha _0y = (x_1 + \alpha _0y_1, ...)}$ была на расстоянии $\mathsf{d(x,z_0) = |\alpha _0|$\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} y_i^{2}} = r/2}$ от $\mathsf{x}$. Очевидно, у нас есть лишь две точки на прямой, находящиеся на расстоянии $\mathsf{r/2}$ от $\mathsf{x}$, и это точки, получающиеся из $\mathsf{z_0}$ и соответствующие ${|\alpha _0|}$ и ${-|\alpha _0|}$. Но мы можем выбрать точку ${z_1}$, полученную заменой первых двух координат ${y}$ в $\mathsf{z_0 = x + \alpha _0y}$, что ${z_1}$ лежит в $\mathsf{r}$-окрестности, но, очевидно не на прямой. Т.е. в каждой окрестности точки открытого множества, лежащего на прямой, найдется точка не лежащая на прямой.

-- 20.10.2021, 22:23 --

Someone
Замкнутость прямой все еще не понял, как доказать...

-- 20.10.2021, 22:54 --

Someone
А, кажется, вот как доказывается замкнутость прямой. Берем любую предельную точку ${z}$ прямой. Тогда она в каждой своей ${\varepsilon}$-окрестности имеет отличную от себя точку прямой. Получаем соответствующую последовательность точек на прямой ${x_n = x + \alpha_n y = (x_1 + \alpha _n y_1, ...)}$, что ${d(z, x_n) \to 0}$, т.е. ${x_n \to z}$, но т.к. ${l^{2}}$ полно, то ${x_n}$ фундаментальна. Расписываем фундаментальность по определению и получаем, что ${\alpha _n \to \alpha}$, т.е. ${z = x + \alpha y}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group