Прямая — замкнутое подмножество в

.
Следующий вопрос, который надо продумать: может ли прямая в

содержать какое-нибудь непустое открытое подмножество пространства

?
Не может. Возьмем точку

этого открытого мн-ва, она лежит на прямой. Возьмем ее любую

-окрестность. Все точки прямой можно представить в виде

, где

какая-то другая точка прямой. Возьмем

так, что

была на расстоянии

от

. Очевидно, у нас есть лишь две точки на прямой, находящиеся на расстоянии

от

, и это точки, получающиеся из

и соответствующие

и

. Но мы можем выбрать точку

, полученную заменой первых двух координат

в

, что

лежит в

-окрестности, но, очевидно не на прямой. Т.е. в каждой окрестности точки открытого множества, лежащего на прямой, найдется точка не лежащая на прямой.
-- 20.10.2021, 22:23 --SomeoneЗамкнутость прямой все еще не понял, как доказать...
-- 20.10.2021, 22:54 --SomeoneА, кажется, вот как доказывается замкнутость прямой. Берем любую предельную точку

прямой. Тогда она в каждой своей

-окрестности имеет отличную от себя точку прямой. Получаем соответствующую последовательность точек на прямой

, что

, т.е.

, но т.к.

полно, то

фундаментальна. Расписываем фундаментальность по определению и получаем, что

, т.е.
