Доказать, что борелевская сигма алгебра не порождается

[vladislav_543]

Доказать, что борелевская сигма-алгебра ${l}^{2}$ не порождается прямыми. (Преподаватель определил прямую, как одномерное аффинное подпространство. Определение $l^{2}$ https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%B5%D0%B9)

Есть идея найти какую-нибудь сигма-алгебру, в которой лежат все такие прямые, и доказать, что она не является борелевской. Прямая задается множеством точек вида ${x + \alpha y}$, где ${x, y \in l^2}$, а ${\alpha\in\mathbb{R}}$. Была еще идея взять какое-нибудь открытое множество в ${l}^{2}$ (например, единичный шар в 0) и доказать, что оно не порождается прямыми. Также не очень понятно, как выглядят открытые множества ${l}^{2}$ (кроме шаров в 0). Буду рад другим идеям или оценкам моих идей.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Попробуйте для начала рассмотреть не $l^2$ а обычную плоскость $\mathbb R^2$. Из чего состоит сигма-алгебра, порожденная прямыми? (посмотрите, какой вид имеет пересечение двух прямых)

[Padawan]

Семейство всех множеств вида $P$ или $X\setminus P$, где $P$ -- множества первой категории, является сигма алгеброй.

[vladislav_543]

Padawan
Не очень понятно, что с этим делать. Вы хотите сказать, что приняв за множества $\mathrm{P}$ прямые, можно построить неборелевскую сигма-алгебру? Вроде бы прямые не являются множествами первой категории (т.к. можно взять прямую $\mathbb{R}$ $\times$ $\mathrm{0}$ $\times$ $\mathrm{0}$... и в открытом множестве [0,1] $\times$ $\mathrm{0}$ $\times$ $\mathrm{0}$..., очевидно, нет какого-нибудь шара, свободного от точек этой прямой).

[g______d]

Я бы зафиксировал какую-нибудь прямую и посмотрел на пересечения элементов рассматриваемой сигма-алгебры с этой прямой. Получится какая-то сигма-алгебра на прямой. Как она устроена? Как бы она была устроена, если бы рассматриваемая сигма-алгебра была борелевской?

[Padawan]

vladislav_543
Отсюда следует, что любое множество Вашей сигма алгебры либо само есть множество первой категории, либо его дополнение есть множество первой категории в $l^2$. Так как $l^2$ полно, то по теореме Бэра, например, открытый шар в Вашу сигма алгебру не входит.

Прямые, конечно, являются множествами первой категории. Они даже нигде не плотные.

[vladislav_543]

Padawan
Что-то я никак не могу доказать, что прямая нигде не плотна.

[Someone]

vladislav_543, а что конкретно надо проверить, чтобы убедиться, что прямая на плоскости (или где она там у Вас находится) является нигде не плотным множеством? Определение нигде не плотного множества можете сформулировать?

[vladislav_543]

Someone
Могу. Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой. А вот как находить не знаю. Есть идея взять окрестность какой-нибудь точки нашего открытого множества в качестве такого шара. Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве. Тут уже тупик у меня...
Наверное можно доказать, что прямая замкнутое множество, значит все свои предельные содержит, следовательно, достаточно взять любую точку не из пересечения. А как доказать, что прямая в $\mathrm{l^2}$ замкнута?

[Someone]

vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):

Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве.

Зачем?

Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.

vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):

Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой.

Это что такое? Я спрашивал определение нигде не плотного множества.

[vladislav_543]

Someone в сообщении #1535632 писал(а):

vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):

Соответственно, точка не должна быть предельной для прямой, т.е. надо доказать, что существует непредельная для прямой точка в нашем открытом множестве.

Зачем?

Если мы найдем непредельную к прямой точку в открытом множестве, то сможем найти у нее окрестность, не имеющую общих точек с прямой и лежащую в нашем открытом множестве.

Someone в сообщении #1535632 писал(а):

vladislav_543 в сообщении #1535630 писал(а):

Берем любое открытое множество, пересекающееся с прямой, и находим в нем шар, не пересекающийся с прямой.

Это что такое? Я спрашивал определение нигде не плотного множества.

Я применил определение к данной ситуации. Полное определение: в любом непустом открытом множестве всего пространства можно найти шар, не имеющий общих точек с нашим нигде не плотным множеством. Различий не вижу.

[Someone]

vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):

Различий не вижу.

Определение формулируется так: "Такая-то фигня называется так-то, если выполняется следующее: …". Ну, с точностью до некоторых замен и перестановок слов, не влияющих на смысл. Перечень действий, которые Вы хотите выполнить для проверки определения, сам определением не является.

vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):

Полное определение: в любом непустом открытом множестве всего пространства можно найти шар, не имеющий общих точек с нашим нигде не плотным множеством.

Слова "нигде не плотным" надо выкинуть оттуда, куда Вы их засунули, зато начальная часть определения у Вас начисто отсутствует. Поэтому совершенно непонятно, что Вы определяете. Так что определение вовсе не полное.

Не думайте, что я зря придираюсь. Я подозреваю, что речь идёт о курсе функционального анализа, что предполагает достаточно высокий уровень математики в ВУЗе, а Вы формулируете определения совершенно невнятно. Привыкайте к точным формулировкам, иначе экзаменатор будет сильно недоволен.

vladislav_543 в сообщении #1535637 писал(а):

Если мы найдем непредельную к прямой точку в открытом множестве, то сможем найти у нее окрестность, не имеющую общих точек с прямой и лежащую в нашем открытом множестве.

Это понятно. Но я уже намекал:

Someone в сообщении #1535632 писал(а):

Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.

Следующий вопрос, который надо продумать: может ли прямая в $l^2$ содержать какое-нибудь непустое открытое подмножество пространства $l^2$?

[vladislav_543]

Someone в сообщении #1535632 писал(а):

Someone в сообщении #1535632 писал(а):

Прямая — замкнутое подмножество в $l^2$.

Следующий вопрос, который надо продумать: может ли прямая в $l^2$ содержать какое-нибудь непустое открытое подмножество пространства $l^2$?

Не может. Возьмем точку $\mathsf{x}$ этого открытого мн-ва, она лежит на прямой. Возьмем ее любую $\mathsf{r}$-окрестность. Все точки прямой можно представить в виде $\mathsf{z = x + \alpha y = (x_1 + \alpha y_1, ...)}$, где $\mathsf{y}$ какая-то другая точка прямой. Возьмем $\mathsf{\alpha_0}$ так, что $\mathsf{z_0 = x + \alpha _0y = (x_1 + \alpha _0y_1, ...)}$ была на расстоянии $\mathsf{d(x,z_0) = |\alpha _0|$\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} y_i^{2}} = r/2}$ от $\mathsf{x}$. Очевидно, у нас есть лишь две точки на прямой, находящиеся на расстоянии $\mathsf{r/2}$ от $\mathsf{x}$, и это точки, получающиеся из $\mathsf{z_0}$ и соответствующие ${|\alpha _0|}$ и ${-|\alpha _0|}$. Но мы можем выбрать точку ${z_1}$, полученную заменой первых двух координат ${y}$ в $\mathsf{z_0 = x + \alpha _0y}$, что ${z_1}$ лежит в $\mathsf{r}$-окрестности, но, очевидно не на прямой. Т.е. в каждой окрестности точки открытого множества, лежащего на прямой, найдется точка не лежащая на прямой.

-- 20.10.2021, 22:23 --

Someone
Замкнутость прямой все еще не понял, как доказать...

-- 20.10.2021, 22:54 --

Someone
А, кажется, вот как доказывается замкнутость прямой. Берем любую предельную точку ${z}$ прямой. Тогда она в каждой своей ${\varepsilon}$-окрестности имеет отличную от себя точку прямой. Получаем соответствующую последовательность точек на прямой ${x_n = x + \alpha_n y = (x_1 + \alpha _n y_1, ...)}$, что ${d(z, x_n) \to 0}$, т.е. ${x_n \to z}$, но т.к. ${l^{2}}$ полно, то ${x_n}$ фундаментальна. Расписываем фундаментальность по определению и получаем, что ${\alpha _n \to \alpha}$, т.е. ${z = x + \alpha y}$