Первое начало термодинамики

[KregSeptim]

Всем привет
Первое начало термодинамики в математических терминах формулируется как утверждение о явном виде вариации функционала теплоты. Давайте рассмотрим частный случай, когда состояние системы определяется только давлением и температурой. Фиксируем пару каких-то состояний и будем рассматривать пути от первого ко второму.
В таком случае у нас есть функциональное пространство $C^{1}[T_{1}, T_{2}]$, которое содержит в себе всевозможные процессы $P(T)$, удовлетворяющие нашим граничным условиям. На этом пространстве действует функционал $Q: C^{1}[T_{1}, T_{2}]\rightarrow \mathbb{R}$, который по процессу считает теплоту, которую к нему подвели. Автоматически считаем, что он дифференцируем по Фреше (чтобы существовала вариация и чтобы мы могли мыслить её как малое приращение теплоты при варьировании процесса).
Если у нас был какой-то процесс $P(T)$ из данного пространства и мы его проварьировали, то первое начало термодинамики говорит
$Q[P(T), \delta P] = dU + \delta A$

Но что такое $dU$ здесь (в каждой точке на исходном и проварьированном процессах у нас разные $U$, а потому, видимо, это нельзя мыслить как приращение внутренней энергии во всех точка)? И верно ли, что $\delta A$ это работа на вариации?

P.S. Существуют ли изложения вариационного формализма в термодинамике на математическом уровне строгости?

[DimaM]

KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):

Но что такое $dU$ здесь (в каждой точке на исходном и проварьированном процессах у нас разные $U$, а потому, видимо, это нельзя мыслить как приращение внутренней энергии во всех точка)?

Внутренняя энергия - это ж функция состояния (для равновесных состояний, в коих можно определить давление и температуру), поэтому изменение не зависит от процесса - вариация равна нулю.

-- 20.10.2021, 14:59 --

KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):

Если у нас был какой-то процесс $P(T)$ из данного пространства и мы его проварьировали, то второе начало термодинамики говорит
$Q[P(T), \delta P] = dU + \delta A$

Вы, видимо, тут про первое начало термодинамики пишете, а не про второе?

[KregSeptim]

DimaM

DimaM в сообщении #1535554 писал(а):

вариация равна нулю

Что такое вариация внутренней энергии, если
а) Это не элемент нашего функционального пространства
б) Я варьировал давление
в) Это не функционал на нашем пространстве
?
Ну и вопрос всё равно остаётся: если первое начало термодинамики про вариацию функционала теплоты, то что там за математический объект со значком $dU$?

Кажется, я сеттинг неверный обустроил. Очень хотелось бы математики сюда, желательно ссылкой на умную книжку.

-- 20.10.2021, 11:02 --

DimaM в сообщении #1535554 писал(а):

Вы, видимо, тут про первое начало термодинамики пишете, а не про второе?

А, ой, да, ошибся.

[lel0lel]

Согласно первому началу теплота, переданная (полученная) в процессе, это сумма изменения внутренней энергии -- функции, которая зависит только от начальных и конечных параметров процесса, и работы, совершенной системой в процессе, которая является функционалом, представленным в виде интеграла.

Если очень хочется, то и изменение внутренней энергии можно представить в виде функционала с дельта-функциями. Но так никто не делает.

[KregSeptim]

lel0lel
То есть это определение значения функционала, а не его вариации? Тогда почему везде пишут $\delta Q$, а не $Q$ в первом начале?

[lel0lel]

Нет, я сформулировал начало для конечных приращений. Вы же привели дифференциальную формулировку первого начала, но только в ней никаких вариаций не подразумевается. Символ $\delta Q$ означает бесконечно маленькое приращение теплоты, которое при этом не есть полный дифференциал.

[KregSeptim]

lel0lel
Что такое "Бесконечно малое приращение теплоты, которое при этом не полный дифференциал" математически?

[sergey zhukov]

KregSeptim
А чем отличается выражение для полного дифференциала, например, функции двух переменных, от произвольного выражения типа $\partial W=A(x,y)\partial x+B(x,y)\partial y$?

[KregSeptim]

sergey zhukov
Дифференциал функции это 1-форма, а у вас (видимо) написано векторное поле, т.е. это тензоры разных валентностей. Либо у вас просто какая-то формальная сумма написана. В общем, поясните ваш вопрос получше.

[amon]

KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):

Первое начало термодинамики в математических терминах формулируется как утверждение о явном виде вариации функционала теплоты.

На Вашем птичьем языке первое начало - это дифференциальная 1-форма (Пфаффова форма). Эта форма не является точной, а температура - интегрирующий делитель соответствующей формы

$$dS=\frac{1}{T}dQ$$

Где $dS$ - точная форма.

[KregSeptim]

amon в сообщении #1535601 писал(а):

это дифференциальная 1-форма (Пфаффова форма)

Спасибо!!!

Не подскажете, где про такое изложение можно почитать?

[amon]

KregSeptim в сообщении #1535606 писал(а):

Не подскажете, где про такое изложение можно почитать?

Исходно это написано где-то у Макса Борна. Он пользовался аппаратом Пфаффовых уравнений. В современном изложении на языке дифференциальных форм я, честно говоря, не помню соответствующей книжки. Дело в том, что аппарат диф. форм не слишком помогает при вычислении чего-то применимого в народном хозяйстве, и все пользуются старыми наработками 19-20-го века.

[lel0lel]

KregSeptim в сообщении #1535579 писал(а):

Что такое "Бесконечно малое приращение теплоты, которое при этом не полный дифференциал" математически?

По-моему, тут всё очевидно: для идеального газа $\delta Q=d U(p,V)+pdV$. Правая часть не является полным дифференциалом некоторой функции $f(p,V)$. А вот если добавить ещё $Vdp$, тогда будет являться. Ну и как указано выше, можно подобрать интегрирующий множитель (обратная температура), тогда мы придём к понятию энтропии.

[amon]

lel0lel в сообщении #1535614 писал(а):

По-моему, тут всё очевидно

По-моему, не очень. Если первое начало написать как

$$dU= dQ-PdV,$$

то слева будет стоять полный дифференциал, а справа - какая-то фигня.

[lel0lel]

amon в сообщении #1535617 писал(а):

Если первое начало написать как

$$dU= dQ-PdV,$$

Вот именно, поэтому так его и не пишут. Пишут так: $dU= \delta Q-PdV$, тогда справа фигня минус фигня, которая есть полный дифференциал.