2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 10:41 
Аватара пользователя


26/07/20
33
Всем привет
Первое начало термодинамики в математических терминах формулируется как утверждение о явном виде вариации функционала теплоты. Давайте рассмотрим частный случай, когда состояние системы определяется только давлением и температурой. Фиксируем пару каких-то состояний и будем рассматривать пути от первого ко второму.
В таком случае у нас есть функциональное пространство $C^{1}[T_{1}, T_{2}]$, которое содержит в себе всевозможные процессы $P(T)$, удовлетворяющие нашим граничным условиям. На этом пространстве действует функционал $Q: C^{1}[T_{1}, T_{2}]\rightarrow \mathbb{R}$, который по процессу считает теплоту, которую к нему подвели. Автоматически считаем, что он дифференцируем по Фреше (чтобы существовала вариация и чтобы мы могли мыслить её как малое приращение теплоты при варьировании процесса).
Если у нас был какой-то процесс $P(T)$ из данного пространства и мы его проварьировали, то первое начало термодинамики говорит
$Q[P(T), \delta P] = dU + \delta A$

Но что такое $dU$ здесь (в каждой точке на исходном и проварьированном процессах у нас разные $U$, а потому, видимо, это нельзя мыслить как приращение внутренней энергии во всех точка)? И верно ли, что $\delta A$ это работа на вариации?

P.S. Существуют ли изложения вариационного формализма в термодинамике на математическом уровне строгости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Второе начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 10:57 
Заслуженный участник


28/12/12
6978
KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):
Но что такое $dU$ здесь (в каждой точке на исходном и проварьированном процессах у нас разные $U$, а потому, видимо, это нельзя мыслить как приращение внутренней энергии во всех точка)?

Внутренняя энергия - это ж функция состояния (для равновесных состояний, в коих можно определить давление и температуру), поэтому изменение не зависит от процесса - вариация равна нулю.

-- 20.10.2021, 14:59 --

KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):
Если у нас был какой-то процесс $P(T)$ из данного пространства и мы его проварьировали, то второе начало термодинамики говорит
$Q[P(T), \delta P] = dU + \delta A$

Вы, видимо, тут про первое начало термодинамики пишете, а не про второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Второе начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 11:01 
Аватара пользователя


26/07/20
33
DimaM
DimaM в сообщении #1535554 писал(а):
вариация равна нулю

Что такое вариация внутренней энергии, если
а) Это не элемент нашего функционального пространства
б) Я варьировал давление
в) Это не функционал на нашем пространстве
?
Ну и вопрос всё равно остаётся: если первое начало термодинамики про вариацию функционала теплоты, то что там за математический объект со значком $dU$?

Кажется, я сеттинг неверный обустроил. Очень хотелось бы математики сюда, желательно ссылкой на умную книжку.

-- 20.10.2021, 11:02 --

DimaM в сообщении #1535554 писал(а):
Вы, видимо, тут про первое начало термодинамики пишете, а не про второе?

А, ой, да, ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 12:17 


20/04/10
1230
Русь
Согласно первому началу теплота, переданная (полученная) в процессе, это сумма изменения внутренней энергии -- функции, которая зависит только от начальных и конечных параметров процесса, и работы, совершенной системой в процессе, которая является функционалом, представленным в виде интеграла.

Если очень хочется, то и изменение внутренней энергии можно представить в виде функционала с дельта-функциями. Но так никто не делает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 12:30 
Аватара пользователя


26/07/20
33
lel0lel
То есть это определение значения функционала, а не его вариации? Тогда почему везде пишут $\delta Q$, а не $Q$ в первом начале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 12:36 


20/04/10
1230
Русь
Нет, я сформулировал начало для конечных приращений. Вы же привели дифференциальную формулировку первого начала, но только в ней никаких вариаций не подразумевается. Символ $\delta Q$ означает бесконечно маленькое приращение теплоты, которое при этом не есть полный дифференциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 12:56 
Аватара пользователя


26/07/20
33
lel0lel
Что такое "Бесконечно малое приращение теплоты, которое при этом не полный дифференциал" математически? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 13:04 


17/10/16
1297
KregSeptim
А чем отличается выражение для полного дифференциала, например, функции двух переменных, от произвольного выражения типа $\partial W=A(x,y)\partial x+B(x,y)\partial y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 13:27 
Аватара пользователя


26/07/20
33
sergey zhukov
Дифференциал функции это 1-форма, а у вас (видимо) написано векторное поле, т.е. это тензоры разных валентностей. Либо у вас просто какая-то формальная сумма написана. В общем, поясните ваш вопрос получше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
KregSeptim в сообщении #1535552 писал(а):
Первое начало термодинамики в математических терминах формулируется как утверждение о явном виде вариации функционала теплоты.
На Вашем птичьем языке первое начало - это дифференциальная 1-форма (Пфаффова форма). Эта форма не является точной, а температура - интегрирующий делитель соответствующей формы
$$dS=\frac{1}{T}dQ$$Где $dS$ - точная форма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 14:53 
Аватара пользователя


26/07/20
33
amon в сообщении #1535601 писал(а):
это дифференциальная 1-форма (Пфаффова форма)

Спасибо!!!

Не подскажете, где про такое изложение можно почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
KregSeptim в сообщении #1535606 писал(а):
Не подскажете, где про такое изложение можно почитать?
Исходно это написано где-то у Макса Борна. Он пользовался аппаратом Пфаффовых уравнений. В современном изложении на языке дифференциальных форм я, честно говоря, не помню соответствующей книжки. Дело в том, что аппарат диф. форм не слишком помогает при вычислении чего-то применимого в народном хозяйстве, и все пользуются старыми наработками 19-20-го века.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 15:20 


20/04/10
1230
Русь
KregSeptim в сообщении #1535579 писал(а):
Что такое "Бесконечно малое приращение теплоты, которое при этом не полный дифференциал" математически? :-)

По-моему, тут всё очевидно: для идеального газа $\delta Q=d U(p,V)+pdV$. Правая часть не является полным дифференциалом некоторой функции $f(p,V)$. А вот если добавить ещё $Vdp$, тогда будет являться. Ну и как указано выше, можно подобрать интегрирующий множитель (обратная температура), тогда мы придём к понятию энтропии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
lel0lel в сообщении #1535614 писал(а):
По-моему, тут всё очевидно
По-моему, не очень. Если первое начало написать как
$$dU= dQ-PdV,$$то слева будет стоять полный дифференциал, а справа - какая-то фигня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первое начало термодинамики
Сообщение20.10.2021, 15:33 


20/04/10
1230
Русь
amon в сообщении #1535617 писал(а):
Если первое начало написать как
$$dU= dQ-PdV,$$

Вот именно, поэтому так его и не пишут. Пишут так: $dU= \delta Q-PdV$, тогда справа фигня минус фигня, которая есть полный дифференциал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group