асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы

[reterty]

Как известно, ряд Тейлора описывает корректно поведение функции вблизи определенной точки, если сама функция и все ее производные в этой точке определены и конечны. В случае, если это условие не выполняется, то для описания функции вблизи такой точки используется асимптотическое разложение. Как я понимаю, искусство отыскания асимптотического ряда гораздо более изощренное нежели взятие производных и интегралов и требует использования специальных методов. Конкретно, хотелось бы рассмотреть следующий пример: построить асимптотическое разложение арксинуса вблизи $x=1$. Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

$$\arcsin(x)\approx \pi/2-\sqrt{2x}-\frac{\sqrt{2}}{12}x^{3/2}$$

..... и как же получить сию "крастоту" ручками???

[Nemiroff]

Замену $t=\sqrt{x}$ сделайте.

[reterty]

После данной замены (извините, туплю) первая производная от арксинуса имеет вид: $\frac{2t}{\sqrt{1-t^4}}$. Она также расходится при $t\to 1$...

[alisa-lebovski]

reterty в сообщении #1535137 писал(а):

Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

[zykov]

$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$

[reterty]

alisa-lebovski в сообщении #1535146 писал(а):

reterty в сообщении #1535137 писал(а):

Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

Да, верно

[alisa-lebovski]

Замену надо $x=1-t^2$.

[reterty]

Спасибо всем! Разобрался. .....так это все же асимптотическое разложение или "модификация Тейлора"? Как "обозвать" такой прием?

[zykov]

асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

[reterty]

zykov в сообщении #1535156 писал(а):

асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

То есть это один из методов получения асимптотики, в случае, когда ряд Тейлора расходится? И в каком классическом пособии этот метод описан (я не находил...наверное, плохо искал)) )

[zykov]

Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

[reterty]

zykov в сообщении #1535159 писал(а):

Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

Спасибо!

[zykov]

В общем случае не обязательно ряд Тэйлора будет.
Например в плюс нуле такое: $1+\sqrt x + x + x^e + \ln^{-1} x$

-- 16.10.2021, 20:14 --

zykov в сообщении #1535148 писал(а):

$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$

Кстати, вместо замены переменной в ряд Тэйлора можно раскладывать $\frac{\arcsin(1-x)-\pi/2}{\sqrt x}$.

[Padawan]

reterty в сообщении #1535137 писал(а):

и как же получить сию "крастоту" ручками???

$\arcsin x=\frac \pi2-\int_{x}^1\frac {dt}{\sqrt{1-t^2}}$
Далее раскладываем $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ в ряд по степеням $1-t$ и почленно интегрируем.

[lel0lel]

На случай если захочется приключений: записываем $x=\sin y$ и выписываем ряд Тэйлора в точке $y=\pi/2$. Затем, решая алгебраическое уравнение, выражаем $y$ через $x$ с желаемой точностью. Если всё же хочется получить ряд, то действовать можно похожим образом, а именно, решать уравнения и при этом удерживать слагаемые нужных порядков.