2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 17:42 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
Как известно, ряд Тейлора описывает корректно поведение функции вблизи определенной точки, если сама функция и все ее производные в этой точке определены и конечны. В случае, если это условие не выполняется, то для описания функции вблизи такой точки используется асимптотическое разложение. Как я понимаю, искусство отыскания асимптотического ряда гораздо более изощренное нежели взятие производных и интегралов и требует использования специальных методов. Конкретно, хотелось бы рассмотреть следующий пример: построить асимптотическое разложение арксинуса вблизи $x=1$. Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает: $$\arcsin(x)\approx \pi/2-\sqrt{2x}-\frac{\sqrt{2}}{12}x^{3/2}$$..... и как же получить сию "крастоту" ручками???

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
4019
МФТИ ФУПМ
Замену $t=\sqrt{x}$ сделайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:30 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
После данной замены (извините, туплю) первая производная от арксинуса имеет вид: $\frac{2t}{\sqrt{1-t^4}}$. Она также расходится при $t\to 1$...

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1522
Москва
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:39 


18/09/21
1024
$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:40 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
alisa-lebovski в сообщении #1535146 писал(а):
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

Да, верно

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1522
Москва
Замену надо $x=1-t^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:57 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
Спасибо всем! Разобрался. .....так это все же асимптотическое разложение или "модификация Тейлора"? Как "обозвать" такой прием?

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:01 


18/09/21
1024
асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:07 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
zykov в сообщении #1535156 писал(а):
асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

То есть это один из методов получения асимптотики, в случае, когда ряд Тейлора расходится? И в каком классическом пособии этот метод описан (я не находил...наверное, плохо искал)) )

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:17 


18/09/21
1024
Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:20 
Аватара пользователя


08/10/09
584
Херсон
zykov в сообщении #1535159 писал(а):
Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:24 


18/09/21
1024
В общем случае не обязательно ряд Тэйлора будет.
Например в плюс нуле такое: $1+\sqrt x + x + x^e + \ln^{-1} x$

-- 16.10.2021, 20:14 --

zykov в сообщении #1535148 писал(а):
$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$
Кстати, вместо замены переменной в ряд Тэйлора можно раскладывать $\frac{\arcsin(1-x)-\pi/2}{\sqrt x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение17.10.2021, 18:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4262
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
и как же получить сию "крастоту" ручками???

$\arcsin x=\frac \pi2-\int_{x}^1\frac {dt}{\sqrt{1-t^2}}$
Далее раскладываем $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ в ряд по степеням $1-t$ и почленно интегрируем.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение17.10.2021, 20:36 


20/04/10
1599
Русь
На случай если захочется приключений: записываем $x=\sin y$ и выписываем ряд Тэйлора в точке $y=\pi/2$. Затем, решая алгебраическое уравнение, выражаем $y$ через $x$ с желаемой точностью. Если всё же хочется получить ряд, то действовать можно похожим образом, а именно, решать уравнения и при этом удерживать слагаемые нужных порядков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group