2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 17:42 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
Как известно, ряд Тейлора описывает корректно поведение функции вблизи определенной точки, если сама функция и все ее производные в этой точке определены и конечны. В случае, если это условие не выполняется, то для описания функции вблизи такой точки используется асимптотическое разложение. Как я понимаю, искусство отыскания асимптотического ряда гораздо более изощренное нежели взятие производных и интегралов и требует использования специальных методов. Конкретно, хотелось бы рассмотреть следующий пример: построить асимптотическое разложение арксинуса вблизи $x=1$. Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает: $$\arcsin(x)\approx \pi/2-\sqrt{2x}-\frac{\sqrt{2}}{12}x^{3/2}$$..... и как же получить сию "крастоту" ручками???

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3979
МФТИ ФУПМ
Замену $t=\sqrt{x}$ сделайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:30 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
После данной замены (извините, туплю) первая производная от арксинуса имеет вид: $\frac{2t}{\sqrt{1-t^4}}$. Она также расходится при $t\to 1$...

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:39 


18/09/21
658
$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:40 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
alisa-lebovski в сообщении #1535146 писал(а):
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
Ряд Тейлора для этой точки отпадает, поскольку первая производная обращается в бесконечность. Однако, Maple выдает:

Ряд в точке $x=1$ должен быть относительно $1-x$, а не $x$. Что-то Вы путаете.

Да, верно

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
Замену надо $x=1-t^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 18:57 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
Спасибо всем! Разобрался. .....так это все же асимптотическое разложение или "модификация Тейлора"? Как "обозвать" такой прием?

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:01 


18/09/21
658
асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:07 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
zykov в сообщении #1535156 писал(а):
асимптотическое разложение от $x$
от $t$ будет ряд Тэйлора

То есть это один из методов получения асимптотики, в случае, когда ряд Тейлора расходится? И в каком классическом пособии этот метод описан (я не находил...наверное, плохо искал)) )

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:17 


18/09/21
658
Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:20 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
zykov в сообщении #1535159 писал(а):
Про пособия не знаю, а вообще асимптотика через пределы ищется - если получится конечный передел отношения данной функции и какой-то другой функции (степенной, экспоненциальной, логарифмической и т.д.).
Тут например $\lim_{x\to +0}\frac{\arcsin(1-x) - \pi/2}{\sqrt x}$.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение16.10.2021, 19:24 


18/09/21
658
В общем случае не обязательно ряд Тэйлора будет.
Например в плюс нуле такое: $1+\sqrt x + x + x^e + \ln^{-1} x$

-- 16.10.2021, 20:14 --

zykov в сообщении #1535148 писал(а):
$t=\sqrt x$ надо заменять в $\arcsin(1-x)$, а не в $\arcsin(x)$
Кстати, вместо замены переменной в ряд Тэйлора можно раскладывать $\frac{\arcsin(1-x)-\pi/2}{\sqrt x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение17.10.2021, 18:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4204
reterty в сообщении #1535137 писал(а):
и как же получить сию "крастоту" ручками???

$\arcsin x=\frac \pi2-\int_{x}^1\frac {dt}{\sqrt{1-t^2}}$
Далее раскладываем $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ в ряд по степеням $1-t$ и почленно интегрируем.

 Профиль  
                  
 
 Re: асимптотическое разложение арксинуса вблизи единицы
Сообщение17.10.2021, 20:36 


20/04/10
1231
Русь
На случай если захочется приключений: записываем $x=\sin y$ и выписываем ряд Тэйлора в точке $y=\pi/2$. Затем, решая алгебраическое уравнение, выражаем $y$ через $x$ с желаемой точностью. Если всё же хочется получить ряд, то действовать можно похожим образом, а именно, решать уравнения и при этом удерживать слагаемые нужных порядков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group