2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с треугольными числами
Сообщение29.09.2021, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1303
Санкт-Петербург
Треугольное число $t_n$, если кто не в курсе, есть $n$-ая сумма натурального ряда $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$ Вопрос вырос из олимпиадной темы https://dxdy.ru/topic146755.html, которая уперлась в уравнение $t_X^2-t_Y^2=Z^3.$ Задача с историей. "Хорошего" решения тут не найдено, есть перечень примеров, начиная с $t_5^2-t_2^2=6^3.$ Последнее описывает частную сумму последовательных кубов равную целому кубу: $3^3+4^3+5^3=6^3.$ Упомянутое уравнение можно записать еще так: $t_X^2-t_Y^2=t_Z^2-t_{Z-1}^2.$ Дополним его четвертой переменной: $$t_X^2-t_Y^2=t_Z^2-t_S^2. \eqno (1)$$
Равные суммы не равных последовательностей кубов. Тождество $t_{24}^2-t_6^2=t_{32}^2-t_{29}^2,$ для примера, описывает суммы $7^3+8^3+...+24^3=30^3+31^3+32^3.$ В обобщении некоторые вещи видны яснее, но как это решать? Перепишем $(1)$ так: $t_Z^2+t_Y^2-t_X^2=t_S^2$ и разделим почленно на $t_S^2$: $$\left ( \dfrac{t_Z}{t_S} \right )^2+\left ( \dfrac{t_Y}{t_S} \right )^2-\left ( \dfrac{t_X}{t_S} \right )^2=1.$$
Соответствующее уравнение в рациональных числах имеет полное $2$-х параметрическое решение: $ \left ( \dfrac{u^2-v^2+1}{u^2-v^2-1} \right )^2+\left ( \dfrac{2v}{u^2-v^2-1} \right )^2-\left ( \dfrac{2u}{u^2-v^2-1} \right )^2=1.$ Обозначим модули выражений в скобках по порядку $\alpha, \beta, \gamma.$ Задача сводится к системе $\dfrac{t_Z}{t_S}=\alpha, \dfrac{t_Y}{t_S}=\beta, \dfrac{t_X}{t_S}=\gamma.$ Выразить каждую из пропорций отношением треугольных чисел — не проблема (об этом было здесь), но ведь их бесконечная серия, причем не одна. А нужно с общим знаменателем $t_S$. Иногда это удается — для маленьких решений, добытых без того перебором кубов, но и только. Перебирать бесконечные серии, не имея уверенности в существовании решения как такового — удовольствие сомнительное. Домножить всё на "общий треугольный знаменатель" мешает немультипликативность функции $t_n$ )) С другой стороны именно немультипликативность позволяет выразить любую рациональную точку отношением треугольников, с квадратами этот номер не проходит. Проблема требует локализации. Пойдем в обход. Как известно, тройка рациональных чисел выражается четырьмя целыми. Точнее, для заданной тройки $\alpha, \beta, \gamma$ однозначно определены целые положительные $A,B,C,D$, не имеющие общего делителя $>1$ такие, что $\dfrac{C}{D}=\alpha,\dfrac{B}{D}=\beta,\dfrac{A}{D}=\gamma.$ Подставляя сюда треугольники, получаем $\dfrac{C}{D}=\dfrac{t_Z}{t_S},\dfrac{B}{D}=\dfrac{t_Y}{t_S},\dfrac{A}{D}=\dfrac{t_X}{t_S}.$ Это значит, что существует рациональное $k=\dfrac{t_X}{A}=\dfrac{t_Y}{B}=\dfrac{t_Z}{C}=\dfrac{t_S}{D}.$ Вот и причина. Отбросим кубы и связанную с ними задачу, далее всё в целых положительных числах. Вопрос следующий:

Известно, что существует бесконечно много пар треугольных чисел
пропорциональных двум фиксированным точкам числовой оси*.
Верно ли это для трех и более точек, и какие тут могут быть ограничения?


Меня терзают смутные сомнения. Кажется, дело в больших числах. Даже для трех точек** рост треугольников должен быть значительный, а в задаче с кубами их четыре. Видим подножье горы.
В любом случае хороший повод для размышлений.

*Если обе точки не являются целыми квадратами (upd 1.10.2021).
**Что соответствует уравнению $t_X^2-t_Y^2=t_Z^2$ (upd 17.10.2021).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с треугольными числами
Сообщение29.09.2021, 19:14 


16/08/19
69
Правильно ли я понял, что нужно проверить равенство
Andrey A в сообщении #1533168 писал(а):
$$t_{X1}^2-t_{X2}^2=t_{Y1}^2-t_{Y2}^2=t_{Z1}^2-t_{Z2}^2 \eqno (1)$$


Или же вот это
Andrey A в сообщении #1533168 писал(а):
$$t_{X1}^2-t_{X2}^2-t_{X3}^2=t_{Y1}^2-t_{Y2}^2-t_{Y3}^2 \eqno (1)$$


?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с треугольными числами
Сообщение29.09.2021, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1303
Санкт-Петербург
Нет, вот это:
Andrey A в сообщении #1533168 писал(а):
$$t_X^2-t_Y^2=t_Z^2-t_S^2. \eqno (1)$$

И не проверить, а решить уравнение. Для этого достаточно уметь найти все четверки треугольных чисел, пропорциональные заданным $A,B,C,D.$ Или хотя бы одну. Возьмите четверку последовательных простых и попробуйте.

(mathpath)

Вы цитируете мой пост, искажая текст. Зачем?
Upd 30.09. Похоже, это была шутка. Неожиданно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с треугольными числами
Сообщение15.10.2021, 19:25 


16/08/19
69
Немного не в тему
У треугольных чисел можно ввести подкласс т.н. треугольно-простых чисел
Т.е. это числа вида
$$t_{1}=2$$
$$t_{2}=2+3=5$$
$$t_{3}=2+3+5=10$$
$$t_{4}=2+3+5+7=17$$
$$...$$
$$t_{50847503}=24739482092267377$$
Среди первых 50 миллионов (с копейками) треугольно-простых чисел, в свою очередь, насчитывается 1430571 простых числа
Наибольшая дырка между двумя соседними треугольно-простыми числами равна 510,
под дыркой я понимаю разность между их порядковыми индексами в ряду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group