Почему коэффициенты комплексные

[lel0lel]

Выберем гамильтониан таким, что его матрица эрмитова, при этом на главной диагонали нули, а другие недиагональные элементы либо нули, либо чисто мнимые. Подойдёт например $\sigma_y$. Тогда в эволюционном уравнении мнимая единица сокращается и решением будет матричная экспонента с вещественнозначной матрицей. Кстати, такой гамильтониан вполне физичен, это взаимодействие спина с магнитным полем.

[Red_Herring]

lel0lel в сообщении #1534763 писал(а):

Выберем гамильтониан таким, что его матрица эрмитова,

Вообще-то это не УШ (в узком смысле). Да и с матрицами можно вместо комплексного все вещественным сделать. Но вот пример скалярный:

$$i\psi_t = -\psi_{xx} +(x^2-1)\psi$$

имеет решение $\psi= \exp (-x^2/2)$
(основан на том что у вещественного оператора можно выбрать вещественные собственные функции)

[Osmiy]

Red_Herring в сообщении #1534766 писал(а):

lel0lel в сообщении #1534763 писал(а):

Выберем гамильтониан таким, что его матрица эрмитова,

Вообще-то это не УШ (в узком смысле). Да и с матрицами можно вместо комплексного все вещественным сделать. Но вот пример скалярный:

$$i\psi_t = -\psi_{xx} +(x^2-1)\psi$$

имеет решение $\psi= \exp (-x^2/2)$
(основан на том что у вещественного оператора можно выбрать вещественные собственные функции)

Так в решении отсутствует временная зависимость. Это лишено физ. смысла.

lel0lel в сообщении #1534763 писал(а):

Выберем гамильтониан таким, что его матрица эрмитова, при этом на главной диагонали нули, а другие недиагональные элементы либо нули, либо чисто мнимые. Подойдёт например $\sigma_y$. Тогда в эволюционном уравнении мнимая единица сокращается и решением будет матричная экспонента с вещественнозначной матрицей. Кстати, такой гамильтониан вполне физичен, это взаимодействие спина с магнитным полем.

А чем поведение решения в виде матричной функции отличается от комплексной функции, если было показано выше, что это может быть одно и тоже?

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1534767 писал(а):

Так в решении отсутствует временная зависимость. Это лишено физ. смысла.

А почему (по щучьему велению, по моему хотению решения, не зависящие от времени физического смысла не имеют!!)

[lel0lel]

Osmiy в сообщении #1534767 писал(а):

А чем поведение решения в виде матричной функции отличается от комплексной функции, если было показано выше, что это может быть одно и тоже?

Тем, что мы не прибегали к этому приёму -- замены комплексных чисел на матрицы. И решение получается в виде вектора-столбца. Вычисляете матричную экспоненту, умножаете на начальный вектор и вуаля.

Osmiy в сообщении #1534755 писал(а):

Решениями УШ, имеющие смысл

Кстати, а что вы понимаете под "имеющими смысл"?

[Osmiy]

Red_Herring
Т.е. в уравнении потенциал откалиброван так, что энергия состояния равна нулю, и комплексная экспонента превращается в вещественную константу (единицу). Умно.

-- 13.10.2021, 02:07 --

lel0lel в сообщении #1534770 писал(а):

Кстати, а что вы понимаете под "имеющими смысл"?

Уже не важно. Просто имел ввиду физ. смысл.

[Red_Herring]

lel0lel в сообщении #1534770 писал(а):

Тем, что мы не прибегали к этому приёму -- замены комплексных чисел на матрицы

Но использовали то, что квадрат некоторой вещественной матрицы $-1$, т.е. что матрица "функционально" $i$. Один мой знакомый был очень горд своим изобретением "ах, матрицы они знают, так и будем интерпретировать $i$ как такую матрицу" в курсе ТФКП.

Цитата:

Все мозги разбил на части,
Все извилины заплёл —
И канатчиковы власти.
Колют нам второй укол.

[manul91]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1534730 писал(а):

Так вот, теория групп учит, что у группы поворотов вокруг одной и той же оси существуют одномерные неприводимые представления. Эти страшные слова означают в нашем примере просто-напросто, что должны найтись такие интересные состояния $|\psi\rangle,$ которые под действием поворота не превращаются в новую суперпозицию двух состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (хотя, конечно, они, как и до поворота, могут быть разложены в виде суперпозиции), а превращаются "сами в себя", умножаясь при этом на некоторый числовой множитель $\lambda,$ (зависящий от угла поворота). Математически это означает, что:

$$\hat{R}\,|\psi\rangle=\lambda\, |\psi\rangle.$$

Такие $|\psi\rangle$ (разумеется, не равные нулю!) называются собственными векторами оператора $\hat{R},$ а соответствующие числа $\lambda$ называются собственными значениями этого оператора.

Таким образом, вот какая задачка получилась: найти решения $c_0,c_1$ и значения параметра $\lambda$ (при которых $c_0,c_1$ не равны нулю одновременно, с поиска таких $\lambda$ и надо начать) для системы двух линейных алгебраических уравнений:

$$\cos\alpha\, c_0-\sin\alpha\, c_1 =\lambda \,c_0,$$

$$\sin\alpha \, c_0+\cos\alpha \, c_1 = \lambda \,c_1.$$

Попробуйте её самостоятельно решить.

С интересом почитал но это мало что "объясняет"; вывести что-то насчет физического мира "из ничего", ожидаемо не получилось.
Разумеется, если потребовать чтобы для оператора двухмерной ротации существовал ненулевой вектор $|\psi\rangle,$ который под воздействием поворота остается коллинеарным себе - то в вещественных $\lambda$ таких не существует. И если очень настаивать на существования таких решений (собственных чисел и векторов в двухмерном случае вращений), придется выйти в области комплексных чисел.
Но для групповости двухмерных вращений в вещественной плоскости такое требование отнюдь не обязательно - они и так образуют группу SO(2), безо всяких собственных векторов.
Так что с какой стати "должны найтись" (т.е. с какой стати "двухмерных вращений" должно брать в пространстве, в котором представление группы приводимо), все-таки непонятно.
Кроме если не аппелировать к результатам физических измерений в нашем же мире.... к которым в конечном счете все и сводится, как-никак теория должна быть построена так чтобы им же и соответствовать.

[Alex-Yu]

Просто кошмар, во что эта ветка выродилась. Оно, быть может, и занятно (хотя и тривиально), но уж точно не то, о чем ТС спрашивал. И для ТС все это просто вредно.

[alexey007]

Alex-Yu в сообщении #1534786 писал(а):

Просто кошмар, во что эта ветка выродилась. Оно, быть может, и занятно (хотя и тривиально), но уж точно не то, о чем ТС спрашивал. И для ТС все это просто вредно.

Мне все очень нравится, мне нужно сейчас въехать в тему квантов. С комлексным пространством более менее понятно, нужно поделать практические упражнения. Есть ли хороший задачник с решениями по квантовой механике, чтобы много было примеров разобрано, чтобы самостоятельно можно было квантовую механику изучать.

[Alex-Yu]

alexey007 в сообщении #1534832 писал(а):

мне нужно сейчас въехать в тему квантов

К квантам бОльшая часть этих разговоров не имеет никакого отношения.

[Cos(x-pi/2)]

manul91, выводить что-то из ничего я не собирался. ТС задал вопрос:

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю... может быть есть где-то объяснение прям для совсем чайников.

В качестве ответа я привёл элементарный пример, по которому даже "совсем чайники" легко могут проследить, как появляется мнимая единица в коэффициенте в поляризационном кубите $c_0|0\rangle + c_1|1\rangle.$

Физическая картина в этом примере очень наглядная: у состояния (наглядно: у волны электрического поля) с линейной поляризацией под действием поворота $\hat{R}$ (вокруг направления движения волны, в примере это ось $z)$ направление поляризации изменяется, а у состояния с круговой поляризацией поляризация не меняется.

Повернём состояние с левой круговой поляризацией - оно так и останется левополяризованным, только фаза набежит. Аналогично и правополяризованное состояние остаётся после поворота неизменным с точностью до фазы. Такое свойство состояний с круговой поляризацией как раз и описывается уравнением $\hat{R}\,|\psi\rangle = \lambda \,|\psi\rangle$ с фазовым множителем $\lambda = e^{-i\alpha}$ или $\lambda = e^{i\alpha}.$

Этот пример - частный случай того, что в квантовой механике в общем случае называется "состоянием с определённым моментом импульса" $|l,m\rangle,$ где $l$ - величина момента, $m$ - проекция момента на ось $z$ в единицах $\hbar.$ Такие состояния обладают свойством:

$$\hat{R}\,|l,m\rangle=e^{-im\alpha}\,|l,m\rangle.$$

Аналогично определяются и "состояния с определённым импульсом" $|\mathbf{p}\rangle,$ но только по отношению к параллельным переносам $\hat{T}_{\mathbf{a}}$ на любой вектор $\mathbf{a},$ а не к поворотам вокруг оси $z:$

$$\hat T_{\mathbf{a}}\,|\mathbf{p}\rangle=e^{-i\mathbf{pa}/\hbar}\,|\mathbf{p}\rangle.$$

В координатном представлении воздействие оператора $\hat T_{\mathbf{a}}$ на волновую функцию частицы $\psi(\mathbf{r})$ сводится к замене $\mathbf{r}$ на $\mathbf{r}-\mathbf{a}.$ Решением функционального уравнения $\psi(\mathbf{r}-\mathbf{a})=e^{-i\mathbf{pa}/\hbar}\,\psi(\mathbf{r})}$ является плоская волна $\psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=Ce^{i\mathbf{pr}/\hbar}$ (где $C$ - нормировочная постоянная).

Разложение произвольного состояния по состояниям с определённым импульсом,

$$|\psi\rangle=\sum \limits_{\mathbf{p}}c_{\mathbf{p}}|\mathbf{p}\rangle,$$

в координатном представлении есть разложение волновой функции $\psi(\mathbf{r})$ по плоским волнам $\psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}),$ т.е. - преобразование Фурье. Поскольку плоские волны $e^{i\mathbf{pr}/\hbar}$ - комплексные функции, то и коэффициенты разложения $c_{\mathbf{p}}=\langle \mathbf{p}|\psi\rangle$ оказываются в общем случае комплексными.

Стоит ещё упомянуть, что состояния с определённой энергией, $|\psi_n(t)\rangle,$ обладают аналогичным свойством по отношению к переносам во времени:

$$|\psi_n(t+\tau)\rangle=e^{-iE_n \tau /\hbar} |\psi_n(t)\rangle.$$

Таковы физические причины комплексности пространств состояний в квантовой механике. Симметрии пространства и времени (по отношению к переносам, к поворотам) ведут в физике к законам сохранения энергии, импульса, момента импульса замкнутых систем. В квантовой механике состояния с определёнными значениями этих величин описываются неприводимыми представлениями соответствующих групп преобразований; в таком описании комплексность появляется автоматически. В классической механике объекты - не элементарные, сложные, связь их описания с симметриями пространства и времени оказывается не столь непосредственной (хотя перечисленные законы сохранения для замкнутых систем имеют место) - через инвариантность величины, называемой действием. Классическое описание обходится без "векторов состояний" и комплексных фазовых множителей.

[realeugene]

zykov в сообщении #1534731 писал(а):

Запись через комплексные числа - это один математический подход. Вполне можно эквивалентно записать и без них.

Ох ты ж блин. Не сомневаюсь, что этим замечанием вы окончательно запутали ТС. Можно говорить, что комплексные числа - это просто пары действительных чисел с определёнными на них правилами сложения и умножения, как учил Бек. Можно - что матрицы определённой структуры со стандартными матричными операциями сложения и умножения. А можно - что они класс вычетов полиномов над полем действительных чисел по модулю неприводимого полинома $x^2+1$. Это всё изоморфные, а значит, неразличимые представления одного и того же поля комплексных чисел.

alexey007
комплексные числа - они как действительные числа, только удобнее и богаче. А матрицы можно записывать над любым полем (в математическом смысле полем, и даже над кольцами, с меньшим количеством свойств). Например, в компьютерной технике активно используют вычисления в полях Галуа. Потому что они обладают нужными свойствами, и с ними можно решать системы линейных уравнений (линейных в этом поле Галуа) привычными алгебраическими методами.

В случае суперпозиции состояния кубита, как и в общем случае линейных комбинаций состояний в квантах, важна их относительная фаза. Которая есть у комплексных чисел, но которой нет у действительных. И вообще, даже само определение понятий линейных операций над действительными и комплексными числами разное. В одном случае достаточно уметь выносить за операцию действительную константу, а в другом случае - обязательно произвольную комплексную.

[zykov]

realeugene в сообщении #1534872 писал(а):

Ох ты ж блин. Не сомневаюсь, что этим замечанием вы окончательно запутали ТС.

На самом деле это как раз ответ на вопрос ТС (может не до конца ясный).
Комплексные числа для квантовой теории не столь важны, как важна "алгебра матриц".
Смотри например трёхтомник Кострикина "Введение в алгебру", часть 2, глава 3, параграф 4 "Комплексификация и овеществление"
Т.е. все квантовые выкладки можно записать без комплексных чисел, только через действительные. Будет гораздо менее удобно, но принципиально это возможно.

[realeugene]

zykov в сообщении #1534874 писал(а):

Смотри например трёхтомник Кострикина "Введение в алгебру", часть 2, глава 3, параграф 4 "Комплексификация
и овеществление"

п. 2 из этого параграфа: "мы видим, что далеко не каждый линейный оператор на $U_R$ может рассматриваться как овеществление некоторого линейного оператора на $U$". Как простейший пример, операция взятия действительной части комплексного числа линейна над полем действительных чисел, если число овеществить, и нелинейна над полем комплексных чисел. А линейность в квантах важна, так как всё линейно.