2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:23 


29/12/09
301
Привет, всем!

Я никак не могу понять почему коэффициенты разложения волновой функции, которая описывает чистое состояние кубита, имеют комплексные значения
$|\psi> = c_0|0>+c_1|1>,$
$ c_0,c_1\in C$

Я никак не пойму, откуда появляется комплесность. Зачем она нужна, почему нельзя разложить состояние на действительные числа?

Ссылка на на статью в Википедии на сферу Блоха

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 1%85%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:35 


20/04/10
1230
Русь
Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:52 


29/12/09
301
lel0lel в сообщении #1534675 писал(а):
Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.


Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю... может быть есть где-то объяснение прям для совсем чайников. Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации. А тут вроде тоже, расклдываем вектор по двум векторам и коэфициенты получаются комплексные. Может где то есть курс комлексной линейной алгебры, где объясняется на пальцацах откуда беруться комплексные разложения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:03 


20/04/10
1230
Русь
Выберите вещественнозначный вектор и разложите его по базису векторов с комплексными компонентами. В общем случае возникнут комплексные коэффициенты. Если вам кажется, что базис не бывает из векторов с комплексными компонентами, то это не так. У эрмитовых операторов вещественные собственные значения, а вот собственные векторы могут быть комплекснозначными. Например, рассмотрите оператор импульса или три проекции оператора спина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3918
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю...
Коротко: потому что так устроена квантовая механика. Пространство векторов состояния в ней комплексное. То есть для любого базиса существуют не только вещественные, но и комплексные линейные комбинации векторов этого базиса, и они могут описывать реальные состояния квантовых систем. Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает. Так природа устроена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:20 


20/04/10
1230
Русь
Mikhail_K в сообщении #1534682 писал(а):
Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает.

Ну почему же никто не знает. Примерно ведь понятно. Например тот же спин: из экспериментов следует, что компоненты спина должны удовлетворять определённым коммутационным соотношениям, тогда можно найти подходящий вид операторов и найти их собственные векторы. Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3918
lel0lel в сообщении #1534683 писал(а):
Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

(Оффтоп)

Мне показалось, что ТС нужен именно такой ответ. Из вот этой цитаты
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты
кажется, что у него есть некое интуитивное представление о квантовой механике, что там "для любых двух состояний есть промежуточные". Понятное дело, интуиция говорит, что эти "промежуточные состояния" - это вещественные линейные комбинации, а комплексные тогда - это вообще чо. ИМХО, тут стоит прежде всего сказать, что интуиция в квантовой механике просто не работает, и линейные комбинации бывают в том числе комплексные. Конечно, это подтверждается экспериментами, но сам по себе это фундамент квантовой механики и он не вытекает из какого-то более глубокого известного объяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 12:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2235
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.


Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты.


Не любые. А лишь некоторые. Например, состояние $|0\rangle + i | 1 \rangle$ физически отличается от состояния $|0\rangle + | 1 \rangle$. В частности, в первом случае среднее значение физической величины, описываемой $x$-матрицей Паули, -- ноль, а во втором состоянии -- не ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 14:09 


29/12/09
301
Alex-Yu в сообщении #1534693 писал(а):
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.
Цитата:

Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --


Оооо, прикольно. Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают? А то я используя поиск ничего не могу найти. Кстати, если есть и учебник по аналитической геометрия, где все рассматривается в комплексном пространстве тоже классно было бы, там же совсем все интереснее будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 17:07 
Заслуженный участник


21/08/10
2235
alexey007 в сообщении #1534707 писал(а):
Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают?


Да практически любой ВУЗовский учебник. Мальцева, Ильина и Позняка, Смирнова и т.д. Только чтобы издан был не позднее 1990 года. А лучше 1980-го. Тут надо понимать, что последние десятилетия наука довольно резво деградирует (во всем мире, а в России и совсем). И современные учебники в массе своей --- полнейшая дрянь (исключения бывают, но именно исключения).

Мне очень нравится учебник Мальцева. Хотя там у него несколько непривычный подход: за основу берется вектор-строка, а не вектор-столбец, как обычно. В результате умножение на матрицы слева заменяется на умножение справа и т.п. По существу все равно, но не привычно.

Аналитическая геометрия --- совсем другая история, там комплексных коэффициентов не бывает. Во всяком случае обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 18:02 
Заслуженный участник


29/09/14
947
alexey007

Попробую тоже ответить на интересный вопрос типа "отчего в квантовой механике возникают комплексные коэффициенты в разложении векторов состояний". Отвечать можно с разных точек зрения, и вот один из, на мой взгляд, наиболее прямых ответов: оттого, что математический язык квантовой механики во многом основан на разделе алгебры под названием "Теория групп", а там комплексность появляется естественным образом.

Вот учебный пример (он, конечно, не отменяет советы читать учебник; думаю, он может только повысить интерес к чтению серьёзных книг). Попробуйте самостоятельно решить вот такую простую наглядную задачку:

Пусть $|0\rangle$ это вектор линейной поляризации электромагнитной волны вдоль оси $x,$ т.е. для наглядности Вы можете на рисунке изобразить его себе как единичный орт $\mathbf{e}_x$ вдоль горизонтальной оси $x.$ Пусть $|1\rangle$ это, аналогично предыдущему, вектор линейной поляризации вдоль оси $y,$ т.е. на рисунке это будет единичный орт $\mathbf{e}_y$ вдоль вертикальной оси $y.$

Пусть $\hat{R}$ означает поворот на угол $\alpha$ (против часовой стрелки при $\alpha >0)$ вокруг оси $z,$ действующий на векторы. Т.е., например, под действием такого поворота вектор $\mathbf{e}_x$ превращается в вектор $$\hat{R}\mathbf{e}_x =\cos\alpha\, \mathbf{e}_x+\sin\alpha\,\mathbf{e}_y.$$ Это понятно прямо из рисунка, и также на рисунке легко увидеть, что $$\hat{R}\mathbf{e}_y =-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x+\cos\alpha \,\mathbf{e}_y.$$ И, значит, любой вектор в плоскости $x,y,$ т.е. $c_x\,\mathbf{e}_x+c_y\,\mathbf{e}_y$ под действием $\hat{R}$ превращается в вектор $c'_x\,\mathbf{e}_x+c'_y\,\mathbf{e}_y$ с коэффициентами:
$$c'_x=\cos\alpha \,c_x-\sin\alpha\, c_y,$$ $$c'_y=\sin\alpha \,c_x+\cos\alpha \, c_y.$$ В квантово-механических обозначениях это означает просто, что состояние $$|\psi\rangle = c_0\,|0\rangle + c_1\,|1\rangle$$ под действием оператора $\hat{R}$ превращается в $$\hat{R}\,|\psi\rangle = c'_0\,|0\rangle + c'_1\,|1\rangle,$$ где $$c'_0=\cos\alpha \, c_0-\sin\alpha\, c_1,$$ $$c'_1=\sin\alpha\, c_0+\cos\alpha \,c_1.$$

Так вот, теория групп учит, что у группы поворотов вокруг одной и той же оси существуют одномерные неприводимые представления. Эти страшные слова означают в нашем примере просто-напросто, что должны найтись такие интересные состояния $|\psi\rangle,$ которые под действием поворота не превращаются в новую суперпозицию двух состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (хотя, конечно, они, как и до поворота, могут быть разложены в виде суперпозиции), а превращаются "сами в себя", умножаясь при этом на некоторый числовой множитель $\lambda,$ (зависящий от угла поворота). Математически это означает, что: $$\hat{R}\,|\psi\rangle=\lambda\, |\psi\rangle.$$ Такие $|\psi\rangle$ (разумеется, не равные нулю!) называются собственными векторами оператора $\hat{R},$ а соответствующие числа $\lambda$ называются собственными значениями этого оператора.

Таким образом, вот какая задачка получилась: найти решения $c_0,c_1$ и значения параметра $\lambda$ (при которых $c_0,c_1$ не равны нулю одновременно, с поиска таких $\lambda$ и надо начать) для системы двух линейных алгебраических уравнений: $$\cos\alpha\, c_0-\sin\alpha\, c_1 =\lambda \,c_0,$$ $$\sin\alpha \, c_0+\cos\alpha \, c_1 = \lambda \,c_1.$$ Попробуйте её самостоятельно решить. И подумайте, чем физически такие состояния поляризации отличаются от состояний линейной поляризации, т.е. от состояний $c_0|0\rangle + c_1|1\rangle$ с чисто действительными коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 18:45 


18/09/21
639
Да, можно по разному взгялнуть.
Запись через комплексные числа - это один математический подход. Вполне можно эквивалентно записать и без них.
Вот например сами комплексные числа эквиваленты матрицам 2x2 особого вида: Matrix representation of complex numbers
Т.е. число $a+ib$ можно представить как действительную матрицу $$\begin{pmatrix}
 a & -b \\
 b & a
\end{pmatrix}$$
Тогде сложение и умножение комплексных числе превратится в обычное сложение и умножение таких матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 21:59 


01/03/13
1842
Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции. Соответственно вектор состояния будет состоять из комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 22:41 


20/04/10
1230
Русь
Osmiy в сообщении #1534755 писал(а):
Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции.

Это неверно. Причём даже не важно про какое уравнение речь, про стационарное или, что вероятнее, про нестационарное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 23:13 


01/03/13
1842
lel0lel
Приведите пример действительного решения УШ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group