manul91, выводить что-то из ничего я не собирался. ТС задал вопрос:
Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора

и

с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю... может быть есть где-то объяснение прям для совсем чайников.
В качестве ответа я привёл элементарный пример, по которому даже "совсем чайники" легко могут проследить, как появляется мнимая единица в коэффициенте в поляризационном кубите
Физическая картина в этом примере очень наглядная: у состояния (наглядно: у волны электрического поля) с линейной поляризацией под действием поворота

(вокруг направления движения волны, в примере это ось

направление поляризации изменяется, а у состояния с
круговой поляризацией поляризация не меняется.
Повернём состояние с левой круговой поляризацией - оно так и останется левополяризованным, только фаза набежит. Аналогично и правополяризованное состояние остаётся после поворота неизменным с точностью до фазы. Такое свойство состояний с круговой поляризацией как раз и описывается уравнением

с фазовым множителем

или

Этот пример - частный случай того, что в квантовой механике в общем случае называется "состоянием с определённым моментом импульса"

где

- величина момента,

- проекция момента на ось

в единицах

Такие состояния обладают свойством:

Аналогично определяются и "состояния с определённым импульсом"

но только по отношению к параллельным переносам

на любой вектор

а не к поворотам вокруг оси

В координатном представлении воздействие оператора

на волновую функцию частицы

сводится к замене

на

Решением функционального уравнения

является плоская волна

(где

- нормировочная постоянная).
Разложение произвольного состояния по состояниям с определённым импульсом,

в координатном представлении есть разложение волновой функции

по плоским волнам

т.е. - преобразование Фурье. Поскольку плоские волны

- комплексные функции, то и коэффициенты разложения

оказываются в общем случае комплексными.
Стоит ещё упомянуть, что состояния с определённой энергией,

обладают аналогичным свойством по отношению к переносам во времени:

Таковы физические причины комплексности пространств состояний в квантовой механике. Симметрии пространства и времени (по отношению к переносам, к поворотам) ведут в физике к законам сохранения энергии, импульса, момента импульса замкнутых систем. В квантовой механике состояния с определёнными значениями этих величин описываются неприводимыми представлениями соответствующих групп преобразований; в таком описании комплексность появляется автоматически. В классической механике объекты - не элементарные, сложные, связь их описания с симметриями пространства и времени оказывается не столь непосредственной (хотя перечисленные законы сохранения для замкнутых систем имеют место) - через инвариантность величины, называемой действием. Классическое описание обходится без "векторов состояний" и комплексных фазовых множителей.