2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:23 


29/12/09
309
Привет, всем!

Я никак не могу понять почему коэффициенты разложения волновой функции, которая описывает чистое состояние кубита, имеют комплексные значения
$|\psi> = c_0|0>+c_1|1>,$
$ c_0,c_1\in C$

Я никак не пойму, откуда появляется комплесность. Зачем она нужна, почему нельзя разложить состояние на действительные числа?

Ссылка на на статью в Википедии на сферу Блоха

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 1%85%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:35 


20/04/10
1382
Русь
Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 10:52 


29/12/09
309
lel0lel в сообщении #1534675 писал(а):
Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.


Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю... может быть есть где-то объяснение прям для совсем чайников. Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации. А тут вроде тоже, расклдываем вектор по двум векторам и коэфициенты получаются комплексные. Может где то есть курс комлексной линейной алгебры, где объясняется на пальцацах откуда беруться комплексные разложения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:03 


20/04/10
1382
Русь
Выберите вещественнозначный вектор и разложите его по базису векторов с комплексными компонентами. В общем случае возникнут комплексные коэффициенты. Если вам кажется, что базис не бывает из векторов с комплексными компонентами, то это не так. У эрмитовых операторов вещественные собственные значения, а вот собственные векторы могут быть комплекснозначными. Например, рассмотрите оператор импульса или три проекции оператора спина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3955
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю...
Коротко: потому что так устроена квантовая механика. Пространство векторов состояния в ней комплексное. То есть для любого базиса существуют не только вещественные, но и комплексные линейные комбинации векторов этого базиса, и они могут описывать реальные состояния квантовых систем. Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает. Так природа устроена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:20 


20/04/10
1382
Русь
Mikhail_K в сообщении #1534682 писал(а):
Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает.

Ну почему же никто не знает. Примерно ведь понятно. Например тот же спин: из экспериментов следует, что компоненты спина должны удовлетворять определённым коммутационным соотношениям, тогда можно найти подходящий вид операторов и найти их собственные векторы. Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3955
lel0lel в сообщении #1534683 писал(а):
Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

(Оффтоп)

Мне показалось, что ТС нужен именно такой ответ. Из вот этой цитаты
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты
кажется, что у него есть некое интуитивное представление о квантовой механике, что там "для любых двух состояний есть промежуточные". Понятное дело, интуиция говорит, что эти "промежуточные состояния" - это вещественные линейные комбинации, а комплексные тогда - это вообще чо. ИМХО, тут стоит прежде всего сказать, что интуиция в квантовой механике просто не работает, и линейные комбинации бывают в том числе комплексные. Конечно, это подтверждается экспериментами, но сам по себе это фундамент квантовой механики и он не вытекает из какого-то более глубокого известного объяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 12:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2239
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.


Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты.


Не любые. А лишь некоторые. Например, состояние $|0\rangle + i | 1 \rangle$ физически отличается от состояния $|0\rangle + | 1 \rangle$. В частности, в первом случае среднее значение физической величины, описываемой $x$-матрицей Паули, -- ноль, а во втором состоянии -- не ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 14:09 


29/12/09
309
Alex-Yu в сообщении #1534693 писал(а):
alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):
Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.
Цитата:

Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --


Оооо, прикольно. Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают? А то я используя поиск ничего не могу найти. Кстати, если есть и учебник по аналитической геометрия, где все рассматривается в комплексном пространстве тоже классно было бы, там же совсем все интереснее будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 17:07 
Заслуженный участник


21/08/10
2239
alexey007 в сообщении #1534707 писал(а):
Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают?


Да практически любой ВУЗовский учебник. Мальцева, Ильина и Позняка, Смирнова и т.д. Только чтобы издан был не позднее 1990 года. А лучше 1980-го. Тут надо понимать, что последние десятилетия наука довольно резво деградирует (во всем мире, а в России и совсем). И современные учебники в массе своей --- полнейшая дрянь (исключения бывают, но именно исключения).

Мне очень нравится учебник Мальцева. Хотя там у него несколько непривычный подход: за основу берется вектор-строка, а не вектор-столбец, как обычно. В результате умножение на матрицы слева заменяется на умножение справа и т.п. По существу все равно, но не привычно.

Аналитическая геометрия --- совсем другая история, там комплексных коэффициентов не бывает. Во всяком случае обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 18:02 
Заслуженный участник


29/09/14
948
alexey007

Попробую тоже ответить на интересный вопрос типа "отчего в квантовой механике возникают комплексные коэффициенты в разложении векторов состояний". Отвечать можно с разных точек зрения, и вот один из, на мой взгляд, наиболее прямых ответов: оттого, что математический язык квантовой механики во многом основан на разделе алгебры под названием "Теория групп", а там комплексность появляется естественным образом.

Вот учебный пример (он, конечно, не отменяет советы читать учебник; думаю, он может только повысить интерес к чтению серьёзных книг). Попробуйте самостоятельно решить вот такую простую наглядную задачку:

Пусть $|0\rangle$ это вектор линейной поляризации электромагнитной волны вдоль оси $x,$ т.е. для наглядности Вы можете на рисунке изобразить его себе как единичный орт $\mathbf{e}_x$ вдоль горизонтальной оси $x.$ Пусть $|1\rangle$ это, аналогично предыдущему, вектор линейной поляризации вдоль оси $y,$ т.е. на рисунке это будет единичный орт $\mathbf{e}_y$ вдоль вертикальной оси $y.$

Пусть $\hat{R}$ означает поворот на угол $\alpha$ (против часовой стрелки при $\alpha >0)$ вокруг оси $z,$ действующий на векторы. Т.е., например, под действием такого поворота вектор $\mathbf{e}_x$ превращается в вектор $$\hat{R}\mathbf{e}_x =\cos\alpha\, \mathbf{e}_x+\sin\alpha\,\mathbf{e}_y.$$ Это понятно прямо из рисунка, и также на рисунке легко увидеть, что $$\hat{R}\mathbf{e}_y =-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x+\cos\alpha \,\mathbf{e}_y.$$ И, значит, любой вектор в плоскости $x,y,$ т.е. $c_x\,\mathbf{e}_x+c_y\,\mathbf{e}_y$ под действием $\hat{R}$ превращается в вектор $c'_x\,\mathbf{e}_x+c'_y\,\mathbf{e}_y$ с коэффициентами:
$$c'_x=\cos\alpha \,c_x-\sin\alpha\, c_y,$$ $$c'_y=\sin\alpha \,c_x+\cos\alpha \, c_y.$$ В квантово-механических обозначениях это означает просто, что состояние $$|\psi\rangle = c_0\,|0\rangle + c_1\,|1\rangle$$ под действием оператора $\hat{R}$ превращается в $$\hat{R}\,|\psi\rangle = c'_0\,|0\rangle + c'_1\,|1\rangle,$$ где $$c'_0=\cos\alpha \, c_0-\sin\alpha\, c_1,$$ $$c'_1=\sin\alpha\, c_0+\cos\alpha \,c_1.$$

Так вот, теория групп учит, что у группы поворотов вокруг одной и той же оси существуют одномерные неприводимые представления. Эти страшные слова означают в нашем примере просто-напросто, что должны найтись такие интересные состояния $|\psi\rangle,$ которые под действием поворота не превращаются в новую суперпозицию двух состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (хотя, конечно, они, как и до поворота, могут быть разложены в виде суперпозиции), а превращаются "сами в себя", умножаясь при этом на некоторый числовой множитель $\lambda,$ (зависящий от угла поворота). Математически это означает, что: $$\hat{R}\,|\psi\rangle=\lambda\, |\psi\rangle.$$ Такие $|\psi\rangle$ (разумеется, не равные нулю!) называются собственными векторами оператора $\hat{R},$ а соответствующие числа $\lambda$ называются собственными значениями этого оператора.

Таким образом, вот какая задачка получилась: найти решения $c_0,c_1$ и значения параметра $\lambda$ (при которых $c_0,c_1$ не равны нулю одновременно, с поиска таких $\lambda$ и надо начать) для системы двух линейных алгебраических уравнений: $$\cos\alpha\, c_0-\sin\alpha\, c_1 =\lambda \,c_0,$$ $$\sin\alpha \, c_0+\cos\alpha \, c_1 = \lambda \,c_1.$$ Попробуйте её самостоятельно решить. И подумайте, чем физически такие состояния поляризации отличаются от состояний линейной поляризации, т.е. от состояний $c_0|0\rangle + c_1|1\rangle$ с чисто действительными коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 18:45 


18/09/21
828
Да, можно по разному взгялнуть.
Запись через комплексные числа - это один математический подход. Вполне можно эквивалентно записать и без них.
Вот например сами комплексные числа эквиваленты матрицам 2x2 особого вида: Matrix representation of complex numbers
Т.е. число $a+ib$ можно представить как действительную матрицу $$\begin{pmatrix}
 a & -b \\
 b & a
\end{pmatrix}$$
Тогде сложение и умножение комплексных числе превратится в обычное сложение и умножение таких матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 21:59 


01/03/13
1860
Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции. Соответственно вектор состояния будет состоять из комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 22:41 


20/04/10
1382
Русь
Osmiy в сообщении #1534755 писал(а):
Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции.

Это неверно. Причём даже не важно про какое уравнение речь, про стационарное или, что вероятнее, про нестационарное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему коэффициенты комплексные
Сообщение12.10.2021, 23:13 


01/03/13
1860
lel0lel
Приведите пример действительного решения УШ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lel0lel


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group