Почему коэффициенты комплексные

[alexey007]

Привет, всем!

Я никак не могу понять почему коэффициенты разложения волновой функции, которая описывает чистое состояние кубита, имеют комплексные значения
$|\psi> = c_0|0>+c_1|1>,$
$ c_0,c_1\in C$

Я никак не пойму, откуда появляется комплесность. Зачем она нужна, почему нельзя разложить состояние на действительные числа?

Ссылка на на статью в Википедии на сферу Блоха

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 1%85%D0%B0

[lel0lel]

Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.

[alexey007]

lel0lel в сообщении #1534675 писал(а):

Потому что речь идёт о произвольном базисе (представлении). Если вы запишите некоторый вещественнозначный вектор, то в общем случае можно выбрать унитарное преобразование, такое что в новом представлении его компоненты будут комплексными.

Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю... может быть есть где-то объяснение прям для совсем чайников. Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации. А тут вроде тоже, расклдываем вектор по двум векторам и коэфициенты получаются комплексные. Может где то есть курс комлексной линейной алгебры, где объясняется на пальцацах откуда беруться комплексные разложения?

[lel0lel]

Выберите вещественнозначный вектор и разложите его по базису векторов с комплексными компонентами. В общем случае возникнут комплексные коэффициенты. Если вам кажется, что базис не бывает из векторов с комплексными компонентами, то это не так. У эрмитовых операторов вещественные собственные значения, а вот собственные векторы могут быть комплекснозначными. Например, рассмотрите оператор импульса или три проекции оператора спина.

[Mikhail_K]

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

Правда, я ничего не понял. Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты. Зачем тут нужны комплекные числа, я правда не догоняю...

Коротко: потому что так устроена квантовая механика. Пространство векторов состояния в ней комплексное. То есть для любого базиса существуют не только вещественные, но и комплексные линейные комбинации векторов этого базиса, и они могут описывать реальные состояния квантовых систем. Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает. Так природа устроена.

[lel0lel]

Mikhail_K в сообщении #1534682 писал(а):

Почему это пространство комплексное, а не вещественное - никто не знает.

Ну почему же никто не знает. Примерно ведь понятно. Например тот же спин: из экспериментов следует, что компоненты спина должны удовлетворять определённым коммутационным соотношениям, тогда можно найти подходящий вид операторов и найти их собственные векторы. Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

[Mikhail_K]

lel0lel в сообщении #1534683 писал(а):

Ответ "так природа устроена" слишком общий и подходит вообще ко всему.

(Оффтоп)

Мне показалось, что ТС нужен именно такой ответ. Из вот этой цитаты

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

Ведь у нас есть два состояния, два базисных вектора $|0>$ и $|1>$ с помощью их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты

кажется, что у него есть некое интуитивное представление о квантовой механике, что там "для любых двух состояний есть промежуточные". Понятное дело, интуиция говорит, что эти "промежуточные состояния" - это вещественные линейные комбинации, а комплексные тогда - это вообще чо. ИМХО, тут стоит прежде всего сказать, что интуиция в квантовой механике просто не работает, и линейные комбинации бывают в том числе комплексные. Конечно, это подтверждается экспериментами, но сам по себе это фундамент квантовой механики и он не вытекает из какого-то более глубокого известного объяснения.

[Alex-Yu]

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.

Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

их линейной комбинации с действительными числами мы можем выразить любые промежуточные варианты.

Не любые. А лишь некоторые. Например, состояние $|0\rangle + i | 1 \rangle$ физически отличается от состояния $|0\rangle + | 1 \rangle$. В частности, в первом случае среднее значение физической величины, описываемой $x$-матрицей Паули, -- ноль, а во втором состоянии -- не ноль.

[alexey007]

Alex-Yu в сообщении #1534693 писал(а):

alexey007 в сообщении #1534677 писал(а):

Просто у меня был курс линейной алгебры и мы там раскладывали любой вектор в линейную комбинацию из басзисных векторов и коэфициенты были действительные в этой линейной комбинации.

Цитата:

Такое бывает. В некоторых пространствах. Но не во всех. Бывают пространства такие, где коэффициенты комплексные. Вы на линейной алгебре, видимо, рассматривали лишь очень частный случай. В более полной линейной алгебре комплексные пространства рассматриваются тоже. Но у вас, судя по всему, был очень урезанный курс.

-- Вт окт 12, 2021 16:11:55 --

Оооо, прикольно. Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают? А то я используя поиск ничего не могу найти. Кстати, если есть и учебник по аналитической геометрия, где все рассматривается в комплексном пространстве тоже классно было бы, там же совсем все интереснее будет

[Alex-Yu]

alexey007 в сообщении #1534707 писал(а):

Можете подсказать учебник по линейной алгебре, где это рассматривают?

Да практически любой ВУЗовский учебник. Мальцева, Ильина и Позняка, Смирнова и т.д. Только чтобы издан был не позднее 1990 года. А лучше 1980-го. Тут надо понимать, что последние десятилетия наука довольно резво деградирует (во всем мире, а в России и совсем). И современные учебники в массе своей --- полнейшая дрянь (исключения бывают, но именно исключения).

Мне очень нравится учебник Мальцева. Хотя там у него несколько непривычный подход: за основу берется вектор-строка, а не вектор-столбец, как обычно. В результате умножение на матрицы слева заменяется на умножение справа и т.п. По существу все равно, но не привычно.

Аналитическая геометрия --- совсем другая история, там комплексных коэффициентов не бывает. Во всяком случае обычно.

[Cos(x-pi/2)]

alexey007

Попробую тоже ответить на интересный вопрос типа "отчего в квантовой механике возникают комплексные коэффициенты в разложении векторов состояний". Отвечать можно с разных точек зрения, и вот один из, на мой взгляд, наиболее прямых ответов: оттого, что математический язык квантовой механики во многом основан на разделе алгебры под названием "Теория групп", а там комплексность появляется естественным образом.

Вот учебный пример (он, конечно, не отменяет советы читать учебник; думаю, он может только повысить интерес к чтению серьёзных книг). Попробуйте самостоятельно решить вот такую простую наглядную задачку:

Пусть $|0\rangle$ это вектор линейной поляризации электромагнитной волны вдоль оси $x,$ т.е. для наглядности Вы можете на рисунке изобразить его себе как единичный орт $\mathbf{e}_x$ вдоль горизонтальной оси $x.$ Пусть $|1\rangle$ это, аналогично предыдущему, вектор линейной поляризации вдоль оси $y,$ т.е. на рисунке это будет единичный орт $\mathbf{e}_y$ вдоль вертикальной оси $y.$

Пусть $\hat{R}$ означает поворот на угол $\alpha$ (против часовой стрелки при $\alpha >0)$ вокруг оси $z,$ действующий на векторы. Т.е., например, под действием такого поворота вектор $\mathbf{e}_x$ превращается в вектор

$$\hat{R}\mathbf{e}_x =\cos\alpha\, \mathbf{e}_x+\sin\alpha\,\mathbf{e}_y.$$

Это понятно прямо из рисунка, и также на рисунке легко увидеть, что

$$\hat{R}\mathbf{e}_y =-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x+\cos\alpha \,\mathbf{e}_y.$$

И, значит, любой вектор в плоскости $x,y,$ т.е. $c_x\,\mathbf{e}_x+c_y\,\mathbf{e}_y$ под действием $\hat{R}$ превращается в вектор $c'_x\,\mathbf{e}_x+c'_y\,\mathbf{e}_y$ с коэффициентами:

$$c'_x=\cos\alpha \,c_x-\sin\alpha\, c_y,$$

$$c'_y=\sin\alpha \,c_x+\cos\alpha \, c_y.$$

В квантово-механических обозначениях это означает просто, что состояние

$$|\psi\rangle = c_0\,|0\rangle + c_1\,|1\rangle$$

под действием оператора $\hat{R}$ превращается в

$$\hat{R}\,|\psi\rangle = c'_0\,|0\rangle + c'_1\,|1\rangle,$$

где

$$c'_0=\cos\alpha \, c_0-\sin\alpha\, c_1,$$

$$c'_1=\sin\alpha\, c_0+\cos\alpha \,c_1.$$

Так вот, теория групп учит, что у группы поворотов вокруг одной и той же оси существуют одномерные неприводимые представления. Эти страшные слова означают в нашем примере просто-напросто, что должны найтись такие интересные состояния $|\psi\rangle,$ которые под действием поворота не превращаются в новую суперпозицию двух состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (хотя, конечно, они, как и до поворота, могут быть разложены в виде суперпозиции), а превращаются "сами в себя", умножаясь при этом на некоторый числовой множитель $\lambda,$ (зависящий от угла поворота). Математически это означает, что:

$$\hat{R}\,|\psi\rangle=\lambda\, |\psi\rangle.$$

Такие $|\psi\rangle$ (разумеется, не равные нулю!) называются собственными векторами оператора $\hat{R},$ а соответствующие числа $\lambda$ называются собственными значениями этого оператора.

Таким образом, вот какая задачка получилась: найти решения $c_0,c_1$ и значения параметра $\lambda$ (при которых $c_0,c_1$ не равны нулю одновременно, с поиска таких $\lambda$ и надо начать) для системы двух линейных алгебраических уравнений:

$$\cos\alpha\, c_0-\sin\alpha\, c_1 =\lambda \,c_0,$$

$$\sin\alpha \, c_0+\cos\alpha \, c_1 = \lambda \,c_1.$$

Попробуйте её самостоятельно решить. И подумайте, чем физически такие состояния поляризации отличаются от состояний линейной поляризации, т.е. от состояний $c_0|0\rangle + c_1|1\rangle$ с чисто действительными коэффициентами?

[zykov]

Да, можно по разному взгялнуть.
Запись через комплексные числа - это один математический подход. Вполне можно эквивалентно записать и без них.
Вот например сами комплексные числа эквиваленты матрицам 2x2 особого вида: Matrix representation of complex numbers
Т.е. число $a+ib$ можно представить как действительную матрицу

$$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$

Тогде сложение и умножение комплексных числе превратится в обычное сложение и умножение таких матриц.

[Osmiy]

Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции. Соответственно вектор состояния будет состоять из комплексных чисел.

[lel0lel]

Osmiy в сообщении #1534755 писал(а):

Решениями УШ, имеющие смысл, могут быть только комплексные функции.

Это неверно. Причём даже не важно про какое уравнение речь, про стационарное или, что вероятнее, про нестационарное.

[Osmiy]

lel0lel
Приведите пример действительного решения УШ.