2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение05.10.2021, 17:02 


05/10/21
3
Здравствуйте. Я пытаюсь составить матмодель процесса нагревания в установке, содержащей электронагреватель известной мощности, управляемый с помощью ШИМ, нагревательную камеру, внутри которой находится нагреватель, и которая отдает тепло в окружающую среду. Постоянная времени довольно большая по сравнению с периодом ШИМ, так что импульсностью можно пренебречь. Хочу построить адаптивную систему автоматического регулирования температуры, по мере работы уточняющую характеристики системы. Алгоритм оценивания будет основан на базе фильтра Калмана, пока что я хочу понять как найти передаточную функцию.

Вопрос 1: Как из закона сохранения тепловой энергии сделать диффур по которому тело будет нагреваться?
Вопрос 2: В случае, если в преобразовании лапласа полученного диффура будет невозможно разделить мощность управления (нагреватель) и температуру, как выразить передаточную функцию?
Вопрос 3: Как построить по полученной ПФ систему уравнений пространства состояний?

Вот что я начал:
$E_{heating} = E_{stored} + E_{dissipation}$
Нагрев делается электронагревателем, стало быть, $E_{heating} = UIt$
Энергия нагреваемого тела $E_{stored} = cm(T-T_{0})$, наверное, можно считать $T_0 = 0$.
Энергия рассеяния (обдув+излучение) $E_{dissipation}=\lambda SdT$, S - площадь поверхности, $\lambda$- коэффициент теплоотдачи с этой поверхности.

$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$
Применяем преобр-е лапласа, получаем: (хочу построить САУ)
$sT(s) = \frac{UI(s)}{cms} - \frac{\lambda ST(s)}{cm}$

Выражаем $T(s)/I(s)$, получаем передаточную ф-ю
$\frac{T(s)}{I(s)} = \frac{U}{s(cms + \lambda S)}$

Почему получается процесс второго порядка, если нагрев твердого тела это процесс первого порядка плюс задержка? Помогите пожалуйста. Задержку добавлю потом.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.10.2021, 18:53 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- сформулируйте задачу более внятно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.10.2021, 12:24 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Механика и Техника»

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение06.10.2021, 14:48 


01/04/08
2720
timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):
$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$

Поясните, как получили (откуда T)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение06.10.2021, 17:07 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
А вы про регуляторы уже что-то читали? Знаете, что они бывают пропорциональными, дифференциальными, интегральными и смешанными вплоть до пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД), каждый со своими преимуществами, и что регуляторы обрабатывают сигнал ошибки, а не рассчитывают тепловые потоки в равновесии.
Лучший термостат, который я видел, имел точность 0,1 градуса и семислойное остекление передней дверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение07.10.2021, 17:59 


05/10/21
3
GraNiNi в сообщении #1534143 писал(а):
timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):
$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$

Поясните, как получили (откуда T)?

Сначала делим все на $dt$, потом в правой части выносим за скобки $dT/dt$, и затем делим все на $cm +\lambda S $... Ой, я, выходит ошибся.
Тогда получается $dT/dt = \frac{UI}{cm+\lambda S}$.
После чего делаем преобразование Лапласа, получаем
$T(s)/I(s) = \frac{U}{s(cm+\lambda S)}$
Получаем идеальный интегратор, но тут все равно что-то не так, $\lambda S$ не должно умножаться на $s$, ведь это уход энергии в окр среду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение07.10.2021, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):
Энергия рассеяния (обдув+излучение) $E_{dissipation}=\lambda SdT$
Все-таки, видимо, $E_{dissipation}=\lambda Sdt,$ иначе совсем ерунда получается. А уравнение прекрасно решается без всякого Лапласа и ответ гораздо более понятный.

-- 07.10.2021, 20:05 --

К стати, как учат нас Стефан с Больцманом, потери на излучение пропорциональны $T^4,$ другие люди учат что конвективный перенос пропорционален $(T-T_0),$ где $T_0$ - температура окружающей среды. Это сильно меняет Вашу картину мира.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение11.10.2021, 08:04 


24/01/09
1090
Украина, Днепропетровск
Идеализированное уравнение там простое.
$dT(t)/dt = c_1 P(t) - c_2 (T(t)-T_0(t))$,
где $P(t)$ - мощность, а $T_0(t)$ - температура окр. среды.

Исключая, конечно, клинически-специфические случаи типа сферического спутника в вакууме.

Но в смысле управления есть пара тонкостей, например для устойчивости ПИД существенное значение имеет запаздывание показаний снимаемых с датчика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение11.10.2021, 16:39 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
Theoristos в сообщении #1534548 писал(а):
для устойчивости ПИД существенное значение имеет запаздывание показаний снимаемых с датчика.

Для устойчивости надо знать не только температуру датчика в камере/на объекте, но и температуру нагревателя. А лучше еще и снаружи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение динамики электронагревателя
Сообщение24.11.2021, 01:12 


14/11/21
68
Пусть $T_r$ - требуемая температура нагрева, тогда $\varepsilon(t)=T(t)-T_r$ - рассогласование. Напишем дифференциальное уравнение для $\varepsilon(t)$:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= \frac{T(t)}{dt}= c_1 P(t) - c_2 (T(t)-T_0) = c_1 P(t) - c_2 (\varepsilon(t) + T_r - T_0) = -c_2 \varepsilon(t) + c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$

Итого имеем:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$.

Рабочей точкой для нас является $\varepsilon(t)=0$, для этой рабочей точки имеем:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$
Условие стационарного режима для последнего ДУ:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= 0 = c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$
Т.е. для обеспечение данной стационарной точки необходимо следующее постоянное управляющее воздействие $ P_r = \frac{c_2}{c_1} (T_r-T_0)$

Сделаем замену $u(t) = P(t) - P_r$ и подставим в ДУ, получим:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 u(t) + w(t)$
где $w(t)$ - дестабилизирующий член (неидеальное знание рабочей точки за счет параметрической неопределенности, шумы и прочие неидеальности).

Можно рассмотреть случай "linear state-feedback control":
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 K \varepsilon(t) + w(t) = (c_1 K - c_2) \varepsilon(t) + w(t)$
где управление имеет вид $u(t) = K \varepsilon(t)$

Теперь задача состоит в выборе оптимального значения $K$, чтобы одновременно обеспечивалась стабильность контроллера и необходимое качество управления во всем диапазоне изменения/неопределенности параметров $c_1$, $c_2$.

Для стабильности единственный корень характеристического уравнения должен быть отрицательным, т.е. должно выполняться:
$c_1 K - c_2 <0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group