Уравнение динамики электронагревателя

[timuritxs]

Здравствуйте. Я пытаюсь составить матмодель процесса нагревания в установке, содержащей электронагреватель известной мощности, управляемый с помощью ШИМ, нагревательную камеру, внутри которой находится нагреватель, и которая отдает тепло в окружающую среду. Постоянная времени довольно большая по сравнению с периодом ШИМ, так что импульсностью можно пренебречь. Хочу построить адаптивную систему автоматического регулирования температуры, по мере работы уточняющую характеристики системы. Алгоритм оценивания будет основан на базе фильтра Калмана, пока что я хочу понять как найти передаточную функцию.

Вопрос 1: Как из закона сохранения тепловой энергии сделать диффур по которому тело будет нагреваться?
Вопрос 2: В случае, если в преобразовании лапласа полученного диффура будет невозможно разделить мощность управления (нагреватель) и температуру, как выразить передаточную функцию?
Вопрос 3: Как построить по полученной ПФ систему уравнений пространства состояний?

Вот что я начал:
$E_{heating} = E_{stored} + E_{dissipation}$
Нагрев делается электронагревателем, стало быть, $E_{heating} = UIt$
Энергия нагреваемого тела $E_{stored} = cm(T-T_{0})$, наверное, можно считать $T_0 = 0$.
Энергия рассеяния (обдув+излучение) $E_{dissipation}=\lambda SdT$, S - площадь поверхности, $\lambda$- коэффициент теплоотдачи с этой поверхности.

$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$
Применяем преобр-е лапласа, получаем: (хочу построить САУ)
$sT(s) = \frac{UI(s)}{cms} - \frac{\lambda ST(s)}{cm}$

Выражаем $T(s)/I(s)$, получаем передаточную ф-ю
$\frac{T(s)}{I(s)} = \frac{U}{s(cms + \lambda S)}$

Почему получается процесс второго порядка, если нагрев твердого тела это процесс первого порядка плюс задержка? Помогите пожалуйста. Задержку добавлю потом.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- сформулируйте задачу более внятно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Механика и Техника»

[GraNiNi]

timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):

$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$

Поясните, как получили (откуда T)?

[Emergency]

А вы про регуляторы уже что-то читали? Знаете, что они бывают пропорциональными, дифференциальными, интегральными и смешанными вплоть до пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД), каждый со своими преимуществами, и что регуляторы обрабатывают сигнал ошибки, а не рассчитывают тепловые потоки в равновесии.
Лучший термостат, который я видел, имел точность 0,1 градуса и семислойное остекление передней дверки.

[timuritxs]

GraNiNi в сообщении #1534143 писал(а):

timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):

$UIdt = cmdT + \lambda SdT$, так?

Потом выражаем отсюда $dT/dt$ и получаем
$dT/dt = \frac{UI(t)- \lambda ST}{cm}$

Поясните, как получили (откуда T)?

Сначала делим все на $dt$, потом в правой части выносим за скобки $dT/dt$, и затем делим все на $cm +\lambda S $... Ой, я, выходит ошибся.
Тогда получается $dT/dt = \frac{UI}{cm+\lambda S}$.
После чего делаем преобразование Лапласа, получаем
$T(s)/I(s) = \frac{U}{s(cm+\lambda S)}$
Получаем идеальный интегратор, но тут все равно что-то не так, $\lambda S$ не должно умножаться на $s$, ведь это уход энергии в окр среду.

[amon]

timuritxs в сообщении #1534050 писал(а):

Энергия рассеяния (обдув+излучение) $E_{dissipation}=\lambda SdT$

Все-таки, видимо, $E_{dissipation}=\lambda Sdt,$ иначе совсем ерунда получается. А уравнение прекрасно решается без всякого Лапласа и ответ гораздо более понятный.

-- 07.10.2021, 20:05 --

К стати, как учат нас Стефан с Больцманом, потери на излучение пропорциональны $T^4,$ другие люди учат что конвективный перенос пропорционален $(T-T_0),$ где $T_0$ - температура окружающей среды. Это сильно меняет Вашу картину мира.

[Theoristos]

Идеализированное уравнение там простое.
$dT(t)/dt = c_1 P(t) - c_2 (T(t)-T_0(t))$,
где $P(t)$ - мощность, а $T_0(t)$ - температура окр. среды.

Исключая, конечно, клинически-специфические случаи типа сферического спутника в вакууме.

Но в смысле управления есть пара тонкостей, например для устойчивости ПИД существенное значение имеет запаздывание показаний снимаемых с датчика.

[Emergency]

Theoristos в сообщении #1534548 писал(а):

для устойчивости ПИД существенное значение имеет запаздывание показаний снимаемых с датчика.

Для устойчивости надо знать не только температуру датчика в камере/на объекте, но и температуру нагревателя. А лучше еще и снаружи.

[Alex Krylov]

Пусть $T_r$ - требуемая температура нагрева, тогда $\varepsilon(t)=T(t)-T_r$ - рассогласование. Напишем дифференциальное уравнение для $\varepsilon(t)$:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= \frac{T(t)}{dt}= c_1 P(t) - c_2 (T(t)-T_0) = c_1 P(t) - c_2 (\varepsilon(t) + T_r - T_0) = -c_2 \varepsilon(t) + c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$

Итого имеем:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$.

Рабочей точкой для нас является $\varepsilon(t)=0$, для этой рабочей точки имеем:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$
Условие стационарного режима для последнего ДУ:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= 0 = c_1 P(t) + c_2 (T_0-T_r)$
Т.е. для обеспечение данной стационарной точки необходимо следующее постоянное управляющее воздействие $ P_r = \frac{c_2}{c_1} (T_r-T_0)$

Сделаем замену $u(t) = P(t) - P_r$ и подставим в ДУ, получим:
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 u(t) + w(t)$
где $w(t)$ - дестабилизирующий член (неидеальное знание рабочей точки за счет параметрической неопределенности, шумы и прочие неидеальности).

Можно рассмотреть случай "linear state-feedback control":
$\frac{d\varepsilon(t)}{dt}= -c_2 \varepsilon(t) + c_1 K \varepsilon(t) + w(t) = (c_1 K - c_2) \varepsilon(t) + w(t)$
где управление имеет вид $u(t) = K \varepsilon(t)$

Теперь задача состоит в выборе оптимального значения $K$, чтобы одновременно обеспечивалась стабильность контроллера и необходимое качество управления во всем диапазоне изменения/неопределенности параметров $c_1$, $c_2$.

Для стабильности единственный корень характеристического уравнения должен быть отрицательным, т.е. должно выполняться:
$c_1 K - c_2 <0$.