Два маятника

[amon]

profilescit в сообщении #1532942 писал(а):

Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени.

Все равно я не понимаю условия задачи. Точное значение ускорения в начальный момент времени находится без всякого усреднения из уравнений движения и начальных условий. Видимо, автор(ы) задачи имели в виду, что требуется найти зависимость ускорения левого груза от времени при условии

$$\left|\frac{\Delta L}{L_0}\right|\ll 1$$

[zykov]

amon в сообщении #1533246 писал(а):

Точное значение ускорения в начальный момент времени находится без всякого усреднения

Да оно находится в любой момент времени. Просто оно будет зависит от фазы колебаний.
Можно задачу и точно решить. Составить Лагранжиан для двух степеней свободы ($l$ и $\alpha$) и стандартно решить.
Тут же упрощённая задача - найти усреднённое движение на временах много больше периода колебаний.

[amon]

zykov в сообщении #1533247 писал(а):

Тут же упрощённая задача - найти усреднённое движение на временах много больше периода колебаний.

Постановка задачи плохая. Слова "в начальный момент" надо заменить на что-то другое, иначе задача тривиальная.

[zykov]

А, Вы про это:

profilescit в сообщении #1532942 писал(а):

Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени

Ну да, как-то странно "найдите среднее в момент времени".
Видимо имеется ввиду "найти среднее ускорение в начале процесса, пока $l$ сильно не изменилась".
Это ускорение получается как функция от $l$, при том что $a_1=-\ddot l$. Можно решить дифур и получить ускорение в любой момент.

[amon]

Бессонница, однако. Истребим из уравнений силу натяжения (она только под ногами путается). Сделать это можно двумя способами: длинным - написать честные три уравнения или коротким - написать функцию Лагранжа. Получим систему ($l$ -длина правой нити, длина левой $L-l,\,L$ - полная длина нити, которая никуда не входит).

\begin{align} &\frac{d}{dt}(m_1l^2\dot\alpha)+m_1g\sin\alpha=0\\ &(m_1+m_2)\ddot l-m_1 g l\dot{\alpha}^2-m_1 g \cos\alpha+m_2 g=0 \end{align}

Получилась типичная задача на быстрые-медленные переменные ($\alpha$ - быстрая, $l$ - медленная). В первом уравнении разложим синус, посчитаем в первом приближении $\dot l=0$ и получим $\alpha=\alpha_0\cos\omega t,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.$ Подставляем во второе, раскладываем синусы-косинусы и усредняем по периоду. Получаем

$$(m_1+m_2)\ddot l=(m_1-m_2)g+\frac{m_1g\alpha_0^2}{4}$$

что совпадает с ответом ($l$ растет вниз).