2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Два маятника
Сообщение30.09.2021, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532942 писал(а):
Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени.
Все равно я не понимаю условия задачи. Точное значение ускорения в начальный момент времени находится без всякого усреднения из уравнений движения и начальных условий. Видимо, автор(ы) задачи имели в виду, что требуется найти зависимость ускорения левого груза от времени при условии
$$\left|\frac{\Delta L}{L_0}\right|\ll 1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение30.09.2021, 00:40 


18/09/21
628
amon в сообщении #1533246 писал(а):
Точное значение ускорения в начальный момент времени находится без всякого усреднения

Да оно находится в любой момент времени. Просто оно будет зависит от фазы колебаний.
Можно задачу и точно решить. Составить Лагранжиан для двух степеней свободы ($l$ и $\alpha$) и стандартно решить.
Тут же упрощённая задача - найти усреднённое движение на временах много больше периода колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение30.09.2021, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1533247 писал(а):
Тут же упрощённая задача - найти усреднённое движение на временах много больше периода колебаний.
Постановка задачи плохая. Слова "в начальный момент" надо заменить на что-то другое, иначе задача тривиальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение30.09.2021, 01:38 


18/09/21
628
А, Вы про это:
profilescit в сообщении #1532942 писал(а):
Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени

Ну да, как-то странно "найдите среднее в момент времени".
Видимо имеется ввиду "найти среднее ускорение в начале процесса, пока $l$ сильно не изменилась".
Это ускорение получается как функция от $l$, при том что $a_1=-\ddot l$. Можно решить дифур и получить ускорение в любой момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение30.09.2021, 04:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Бессонница, однако. Истребим из уравнений силу натяжения (она только под ногами путается). Сделать это можно двумя способами: длинным - написать честные три уравнения или коротким - написать функцию Лагранжа. Получим систему ($l$ -длина правой нити, длина левой $L-l,\,L$ - полная длина нити, которая никуда не входит).

\begin{align}
&\frac{d}{dt}(m_1l^2\dot\alpha)+m_1g\sin\alpha=0\\
&(m_1+m_2)\ddot l-m_1 g l\dot{\alpha}^2-m_1 g \cos\alpha+m_2 g=0
\end{align}

Получилась типичная задача на быстрые-медленные переменные ($\alpha$ - быстрая, $l$ - медленная). В первом уравнении разложим синус, посчитаем в первом приближении $\dot l=0$ и получим $\alpha=\alpha_0\cos\omega t,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.$ Подставляем во второе, раскладываем синусы-косинусы и усредняем по периоду. Получаем
$$(m_1+m_2)\ddot l=(m_1-m_2)g+\frac{m_1g\alpha_0^2}{4}$$ что совпадает с ответом ($l$ растет вниз).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group