2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Два маятника
Сообщение27.09.2021, 18:23 
Аватара пользователя


12/02/20
260
В продолжении топика про адиабатическое изменение длины маятника, предлагается к рассмотрению следующая ситуация.

Пусть нить перекинута через два гладких гвоздя малого диаметра, на концах нити закреплены грузы массами $m_1$ и $m_2$ соответственно. При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали. Нить достаточно длинна, чтобы в процессе движения левый груз не достиг гвоздя. Начальная длина правого участка нити равна $l$.
Пусть $m_1 = m + \delta m$, $m_2 = m$, $\delta m \ll m$. Начальная скорость груза $m_1$ равна нулю, начальная амплитуда колебаний второго груза равна $\alpha_0$, длина правого участка нити $l_0$.

Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени. Усреднение производится по периоду колебаний правого груза. Считайте что $a > 0$ если ускорение направлено вверх.


Как мы уже выяснили ранее, среднее натяжение нити за счет колебаний правого груза будет $T = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4})$

Второй закон Ньютона для левого груза будет $m_1 a_0 = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - m_1 g$ или же $a_0 = g (\frac{m}{m + \delta m} (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - 1)$

Дальше, после всяких приближений, никак не могу получить правильный ответ $a_0 = - \frac{\delta m}{2 m} g + g \frac{\alpha_0^2}{8}$

Хочу понять где ошибка и что я упускаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 21:58 


18/09/21
628
А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532942 писал(а):
При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали.
Что-то с этой задачей, IMHO, не то. Если оба груза неподвижны, то все это сооружение рухнет вниз за время
$$t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$ что сравнимо с периодом колебаний, и все усреднения идут коту под хвост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:27 


18/09/21
628
Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532974 писал(а):
Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.
Ровно столько же. Ускорение свободного падения не зависим от массы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:31 


18/09/21
628
Хм, сила тяжести тянет в разные стороны. Т.е. вычитается одна из другой. Инерция - просто сумма масс.
Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532977 писал(а):
Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\
T&=m_1g-m_1 a\\
a_1&=-a_2\\
a_2&=g
\end{align}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:29 


30/01/18
399
amon в сообщении #1532989 писал(а):
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\
T&=m_1g-m_1 a\\
a_1&=-a_2\\
a_2&=g
\end{align}$$
Не верно решена система уравнений

Правильно так:
$a_2=g\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:31 


18/09/21
628
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T\\
a_1&=-a_2
\end{align}$$
отсюда
$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\
T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2}
\end{align}$$
значит
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532991 писал(а):
значит
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$
Да, это у меня чего-то взглюкнуло. Снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 18:42 
Аватара пользователя


12/02/20
260
И этот ответ совпадает с первым членом правильного ответа, учитывая что $m_1 - m_2 = \delta m$ а $m_1 + m_2 \approx 2m$. А как быть с членом отвечающий за колебания?

zykov в сообщении #1532991 писал(а):
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 20:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1504
москва
zykov в сообщении #1532970 писал(а):
А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

Действительно, чтобы получить правильное значение силы натяжения при $\alpha _0=0$, мы должны взять силу натяжения в виде: $$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$.Тогда ускорение равно:$$a_0= g\left (-\dfrac {\delta m}{2m}+\dfrac {\alpha _0^2}4\right ).$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:00 
Аватара пользователя


12/02/20
260
mihiv
в ответе слагаемое отвечающее за колебания в два раза меньше, при этом не ясно почему мы должны взять натяжение именно таким.

возможно я сейчас просто не понимаю как вы пришли к такому результату для силы натяжения нити, для меня это сейчас выглядит как подгон под предельное условие $\alpha_0 = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:40 
Заслуженный участник


03/01/09
1504
москва
Сила натяжения в системе без колебаний получена здесь:
zykov в сообщении #1532991 писал(а):
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T\\
a_1&=-a_2
\end{align}$$
отсюда
$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\
T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2}
\end{align}$$

Естественно считать, что в предельном случае $\alpha _0=0$ мы должны получить это значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:54 


18/09/21
628
mihiv в сообщении #1533084 писал(а):
мы должны взять силу натяжения в виде: $$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$

Это не верно.
Нужно в системе уравнений заменить
$$m_2 a_2=m_2 g-T$$
на
$$m_2 a_2=m_2 g(1+\frac{{\alpha_0}^2}{4})-T$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group