Два маятника

[profilescit]

В продолжении топика про адиабатическое изменение длины маятника, предлагается к рассмотрению следующая ситуация.

Пусть нить перекинута через два гладких гвоздя малого диаметра, на концах нити закреплены грузы массами $m_1$ и $m_2$ соответственно. При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали. Нить достаточно длинна, чтобы в процессе движения левый груз не достиг гвоздя. Начальная длина правого участка нити равна $l$.
Пусть $m_1 = m + \delta m$, $m_2 = m$, $\delta m \ll m$. Начальная скорость груза $m_1$ равна нулю, начальная амплитуда колебаний второго груза равна $\alpha_0$, длина правого участка нити $l_0$.

Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени. Усреднение производится по периоду колебаний правого груза. Считайте что $a > 0$ если ускорение направлено вверх.


Как мы уже выяснили ранее, среднее натяжение нити за счет колебаний правого груза будет $T = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4})$

Второй закон Ньютона для левого груза будет $m_1 a_0 = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - m_1 g$ или же $a_0 = g (\frac{m}{m + \delta m} (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - 1)$

Дальше, после всяких приближений, никак не могу получить правильный ответ $a_0 = - \frac{\delta m}{2 m} g + g \frac{\alpha_0^2}{8}$

Хочу понять где ошибка и что я упускаю

[zykov]

А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

[amon]

profilescit в сообщении #1532942 писал(а):

При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали.

Что-то с этой задачей, IMHO, не то. Если оба груза неподвижны, то все это сооружение рухнет вниз за время

$$t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

что сравнимо с периодом колебаний, и все усреднения идут коту под хвост.

[zykov]

Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.

[amon]

zykov в сообщении #1532974 писал(а):

Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.

Ровно столько же. Ускорение свободного падения не зависим от массы.

[zykov]

Хм, сила тяжести тянет в разные стороны. Т.е. вычитается одна из другой. Инерция - просто сумма масс.
Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.

[amon]

zykov в сообщении #1532977 писал(а):

Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.

$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\ m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\ T&=m_1g-m_1 a\\ a_1&=-a_2\\ a_2&=g \end{align}$$

[rascas]

amon в сообщении #1532989 писал(а):

$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\ m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\ T&=m_1g-m_1 a\\ a_1&=-a_2\\ a_2&=g \end{align}$$

Не верно решена система уравнений

Правильно так:
$a_2=g\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$

[zykov]

$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\ m_2 a_2&=m_2 g-T\\ a_1&=-a_2 \end{align}$$

отсюда

$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\ T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2} \end{align}$$

значит

$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

[amon]

zykov в сообщении #1532991 писал(а):

значит

$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

Да, это у меня чего-то взглюкнуло. Снимается.

[profilescit]

И этот ответ совпадает с первым членом правильного ответа, учитывая что $m_1 - m_2 = \delta m$ а $m_1 + m_2 \approx 2m$. А как быть с членом отвечающий за колебания?

zykov в сообщении #1532991 писал(а):

$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

[mihiv]

zykov в сообщении #1532970 писал(а):

А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

Действительно, чтобы получить правильное значение силы натяжения при $\alpha _0=0$, мы должны взять силу натяжения в виде:

$$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$

.Тогда ускорение равно:

$$a_0= g\left (-\dfrac {\delta m}{2m}+\dfrac {\alpha _0^2}4\right ).$$

.

[profilescit]

mihiv
в ответе слагаемое отвечающее за колебания в два раза меньше, при этом не ясно почему мы должны взять натяжение именно таким.

возможно я сейчас просто не понимаю как вы пришли к такому результату для силы натяжения нити, для меня это сейчас выглядит как подгон под предельное условие $\alpha_0 = 0$

[mihiv]

Сила натяжения в системе без колебаний получена здесь:

zykov в сообщении #1532991 писал(а):

$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\ m_2 a_2&=m_2 g-T\\ a_1&=-a_2 \end{align}$$

отсюда

$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\ T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2} \end{align}$$

Естественно считать, что в предельном случае $\alpha _0=0$ мы должны получить это значение.

[zykov]

mihiv в сообщении #1533084 писал(а):

мы должны взять силу натяжения в виде:

$$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$

Это не верно.
Нужно в системе уравнений заменить

$$m_2 a_2=m_2 g-T$$

на

$$m_2 a_2=m_2 g(1+\frac{{\alpha_0}^2}{4})-T$$