2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Два маятника
Сообщение27.09.2021, 18:23 
Аватара пользователя


12/02/20
282
В продолжении топика про адиабатическое изменение длины маятника, предлагается к рассмотрению следующая ситуация.

Пусть нить перекинута через два гладких гвоздя малого диаметра, на концах нити закреплены грузы массами $m_1$ и $m_2$ соответственно. При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали. Нить достаточно длинна, чтобы в процессе движения левый груз не достиг гвоздя. Начальная длина правого участка нити равна $l$.
Пусть $m_1 = m + \delta m$, $m_2 = m$, $\delta m \ll m$. Начальная скорость груза $m_1$ равна нулю, начальная амплитуда колебаний второго груза равна $\alpha_0$, длина правого участка нити $l_0$.

Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени. Усреднение производится по периоду колебаний правого груза. Считайте что $a > 0$ если ускорение направлено вверх.


Как мы уже выяснили ранее, среднее натяжение нити за счет колебаний правого груза будет $T = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4})$

Второй закон Ньютона для левого груза будет $m_1 a_0 = m_2 g (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - m_1 g$ или же $a_0 = g (\frac{m}{m + \delta m} (1 + \frac{\alpha_0^2}{4}) - 1)$

Дальше, после всяких приближений, никак не могу получить правильный ответ $a_0 = - \frac{\delta m}{2 m} g + g \frac{\alpha_0^2}{8}$

Хочу понять где ошибка и что я упускаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 21:58 


18/09/21
1676
А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532942 писал(а):
При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha$ от вертикали.
Что-то с этой задачей, IMHO, не то. Если оба груза неподвижны, то все это сооружение рухнет вниз за время
$$t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$ что сравнимо с периодом колебаний, и все усреднения идут коту под хвост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:27 


18/09/21
1676
Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532974 писал(а):
Если $m_1$ и $m_2$ близки, то долго будет падать, много колебаний маятника получится.
Ровно столько же. Ускорение свободного падения не зависим от массы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение27.09.2021, 22:31 


18/09/21
1676
Хм, сила тяжести тянет в разные стороны. Т.е. вычитается одна из другой. Инерция - просто сумма масс.
Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532977 писал(а):
Т.е. инерция может быть большой, а сила маленькой.
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\
T&=m_1g-m_1 a\\
a_1&=-a_2\\
a_2&=g
\end{align}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:29 


30/01/18
577
amon в сообщении #1532989 писал(а):
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T \Rightarrow\\
T&=m_1g-m_1 a\\
a_1&=-a_2\\
a_2&=g
\end{align}$$
Не верно решена система уравнений

Правильно так:
$a_2=g\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:31 


18/09/21
1676
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T\\
a_1&=-a_2
\end{align}$$
отсюда
$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\
T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2}
\end{align}$$
значит
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532991 писал(а):
значит
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$
Да, это у меня чего-то взглюкнуло. Снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 18:42 
Аватара пользователя


12/02/20
282
И этот ответ совпадает с первым членом правильного ответа, учитывая что $m_1 - m_2 = \delta m$ а $m_1 + m_2 \approx 2m$. А как быть с членом отвечающий за колебания?

zykov в сообщении #1532991 писал(а):
$$a_1=g-\frac{T}{m_1}=g-g \frac{2 m_2}{m_1+m_2}=g \frac{m_1- m_2}{m_1+m_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 20:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
zykov в сообщении #1532970 писал(а):
А если $\alpha_0=0$, оба груза движутся только вертикально, то какое натяжение нити?

Действительно, чтобы получить правильное значение силы натяжения при $\alpha _0=0$, мы должны взять силу натяжения в виде: $$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$.Тогда ускорение равно:$$a_0= g\left (-\dfrac {\delta m}{2m}+\dfrac {\alpha _0^2}4\right ).$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:00 
Аватара пользователя


12/02/20
282
mihiv
в ответе слагаемое отвечающее за колебания в два раза меньше, при этом не ясно почему мы должны взять натяжение именно таким.

возможно я сейчас просто не понимаю как вы пришли к такому результату для силы натяжения нити, для меня это сейчас выглядит как подгон под предельное условие $\alpha_0 = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:40 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Сила натяжения в системе без колебаний получена здесь:
zykov в сообщении #1532991 писал(а):
$$\begin{align}m_1a_1&=m_1 g-T\\
m_2 a_2&=m_2 g-T\\
a_1&=-a_2
\end{align}$$
отсюда
$$\begin{align}0&=2 m_1 m_2 g-(m_1+m_2)T \\
T &= g \frac{2m_1 m_2}{m_1+m_2}
\end{align}$$

Естественно считать, что в предельном случае $\alpha _0=0$ мы должны получить это значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два маятника
Сообщение28.09.2021, 21:54 


18/09/21
1676
mihiv в сообщении #1533084 писал(а):
мы должны взять силу натяжения в виде: $$T=\dfrac {2m_1m_2}{m_1+m_2}g\left (1+\dfrac {\alpha _0^2}4\right )$$

Это не верно.
Нужно в системе уравнений заменить
$$m_2 a_2=m_2 g-T$$
на
$$m_2 a_2=m_2 g(1+\frac{{\alpha_0}^2}{4})-T$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DimaM


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group