Круговая цепочка

[Ignatovich]

sergey zhukov в сообщении #1532649 писал(а):

Очень похоже, что замкнутый контур цепи, составленный из отрезков прямых и касательных к ним сегментов окружностей, может при произвольной скорости бега иметь стационарную форму.

Именно так (для любой гибкой нити). Раскрутите нить, например, на круглом диске до любой скорости, разместите раскрученную нить на гладком горизонтальном столе и тогда вы сможете медленно деформировать эту нить в контур произвольной формы. При этом скорость каждого фрагмента нити останется неизменной. Останутся неизменными кинетическая энергия нити, импульс и момент импульса. Поэтому деформацию нити можно провести бесконечно малыми силами.

[sergey zhukov]

Ignatovich
Что-то тут не то. Возьмем контур, скажем, в виде двух полуколец, соединенных прямыми отрезками (как гусеницы трактора). Похоже, что если скорость бега цепи вдоль этого контура не совпадает с $\sqrt{\frac{T}{\rho}}$, то фигура контура будет, например, вращаться. Для кругового контура это вращение неотличимо от бега цепи, но для некругового контура это не одно и то же.

Т.е. не должно быть так, что контур произвольной формы из цепи произвольной плотности может бежать с произвольной скоростью, и при этом фигура контура будет неподвижной (это может быть только круг). В случае $u\ne \sqrt{\frac{T}{\rho}}$ по замкнутому контуру относительно наблюдателя с ненулевой скоростью бегают волны точно так же, как и по незамкнутой цепи. Это выражается, например, в том, что фигура контура вращается (если по нему бежит волна только в одну сторону).

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1532684 писал(а):

Похоже, что если скорость бега цепи вдоль этого контура не совпадает с $\sqrt{\frac{T}{\rho}}$, то фигура контура будет, например, вращаться.

Но таки сохранять форму "гусениц"? Или что?

sergey zhukov в сообщении #1532684 писал(а):

Что-то тут не то.

Да, "не то" тут то, что нет ответа на вопрос что будет с формой контура цепи после того, как мы уберём направляющие трубки, если тангенциальная скорость цепи больше/меньше "равновесной".
Второй вопрос -- а чем определяется натяжение. Ну тут вроде бы из соображений здравого смысла понятно (?), что оно определяется точкой, где кривизна контура максимальна.

Ещё раз призываю посмотреть на ролик первого поста темы, и поразмыслить почему цепь довольно долго провисает несмотря на уже большую скорость. И посмотреть на ролик из экспериментариума, про "танцующая цепь".

[Ignatovich]

sergey zhukov в сообщении #1532684 писал(а):

Т.е. не должно быть так, что контур произвольной формы из цепи произвольной плотности может бежать с произвольной скоростью, и при этом фигура контура будет неподвижной (это может быть только круг).

При контурном движении на гладкой горизонтальной поверхности (в отсутствие внешних сил) замкнутая цепочка натянута вследствие своего движения. Сила натяжения равна произведению линейной плотности и квадрата скорости. Эта формула легко выводится (см. демонстрацию МИФИ). Существенно, что сила натяжения не зависит от радиуса кривизны, который сократился при выводе. Следовательно при любой форме контура уравнения динамики будут выполнены: тангенциальное ускорение равно нулю, нормальное ускорение $\omega^2 r$. В отсутствие внешних сил никакие направляющие для стационарного контурного движения гибкой нити с любой скоростью не нужны.
Несколько сложнее, когда цепочка движется в вертикальной плоскости. Тогда стационарное контурное движение цепочки возможно лишь в тех случаях, когда ее форма совпадает с формой, которую принимает цепочка в статике, то есть в отсутствие контурного движения.

[sergey zhukov]

По моему, понял.
Вопрос первый: может ли массивная замкнутая свободная цепь "течь" по замкнутой траектории произвольной формы, причем с любой скоростью? Ответ - да, может. При этом натяжение цепи по всей длине и во времени постоянно, скорость всех звеньев цепи во всех точках траектории и во времени постоянна, траектория "течения" цепи стационарная. Это может быть при любой скорости цепи и любой ее плотности (т.к. натяжение замкнутой цепи и скорость ее течения связаны так, что всегда выполняется $u=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$). Это красивый частный случай течения цепи, который нужно специально создавать.

Вопрос второй: верно ли, что любое движение замкнутой цепи происходит вдоль стационарного контура? Ответ - нет. В общем случае движение замкнутой цепи происходит так, что траектория течения - нестационарная, скорости звеньев переменные по длине и во времени, натяжение цепи переменное по длине и во времени. Это общий случай течения цепи, который получается легко сам собой. Здесь траектория течения будет колебаться.

Т.е. нет какой-то особой скорости, при которой цепь перестает давить на стенки удерживающего ее канала. Это произойдет при любой ее скорости. Видимо, amon выше не совсем верно сказал.

Ignatovich
А почему вы считаете, что момент импульса цепочки не зависит от формы контура? Например, если круговой контур сплющить практически в две параллельные линии, то момент импульса (при неизменной скорости цепи) явно упадет от максимума для этого контура до нуля.

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1532809 писал(а):

Т.е. нет какой-то особой скорости, при которой цепь перестает давить на стенки удерживающего ее канала. Это произойдет при любой ее скорости. Видимо, amon выше не совсем верно сказал.

Видимо, опять медленно надо. Заглянем в Меркина. Там написано, что условием неизменности формы при движении нити будет

$$v=\sqrt{\frac{T_0}{\mu}}.$$

Из этого сразу следует, что если нить изначально не натянута ($T_0=0$), то скорость, при которой она сохраняет форму, нулевая. То есть, на стол нить можно бросить не натянутую цепь любым клубком, но если мы попробуем не натянутую цепь разогнать вдоль самой себя, то ее начнет колбасить не по детски. Что бы заставить цепь двигаться не меняя формы, ее надо сначала натянуть. Для этого цепь надо с усилием впихнуть в трубку, создав начальное натяжение $T_0.$ Это натяжение можно сделать каким угодно с точностью до прочности цепи и трубки. После этого можно разгонять цепь. При вышеприведенной скорости, разной для разных натяжений, но всегда единственной для заданного натяжения, цепь перестанет давить на трубку, и трубку можно убирать. Если убрать трубку при другой скорости, и радиусы кривизны цепи в разных точках разные, то цепь начнет колбасить. Для круглой цепи годится любая скорость.

[Ignatovich]

amon в сообщении #1532834 писал(а):

Из этого сразу следует, что если нить изначально не натянута ($T_0=0$), то скорость, при которой она сохраняет форму, нулевая. То есть, на стол нить можно бросить не натянутую цепь любым клубком, но если мы попробуем не натянутую цепь разогнать вдоль самой себя, то ее начнет колбасить не по детски. Что бы заставить цепь двигаться не меняя формы, ее надо сначала натянуть. Для этого цепь надо с усилием впихнуть в трубку, создав начальное натяжение $T_0.$ Это натяжение можно сделать каким угодно с точностью до прочности цепи и трубки. После этого можно разгонять цепь. При вышеприведенной скорости, разной для разных натяжений, но всегда единственной для заданного натяжения, цепь перестанет давить на трубку, и трубку можно убирать. Если убрать трубку при другой скорости, и радиусы кривизны цепи в разных точках разные, то цепь начнет колбасить. Для круглой цепи годится любая скорость.

При всем уважении...но:
1) Мы рассматриваем контурное движение гибкой нити в отсутствие внешних сил. Если впихнуть неподвижную нить в изогнутую трубку и натянуть нить, непременно возникнут внешние силы.
2) Исключением является натянутая нить в прямой трубке. В этом случае сила натяжения может быть любой при движении нити вдоль трубки (и трубка не нужна).
3) Если замкнутая цепочка движется вдоль своего контура (любой формы) в отсутствие внешних сил, то сила натяжения однозначно связана со скоростью контурного движения. Натяжение нити возникает вследствие ее движения. Соответствующая формула элементарно выводится.
4) Написанное в пп.1-3, мне кажется, вполне согласуется с параграфом 9.2 книги Меркина.

-- 26.09.2021, 19:51 --

sergey zhukov в сообщении #1532809 писал(а):

А почему вы считаете, что момент импульса цепочки не зависит от формы контура? Например, если круговой контур сплющить практически в две параллельные линии, то момент импульса (при неизменной скорости цепи) явно упадет от максимума для этого контура до нуля

Поторопился, ошибся.

[amon]

Ignatovich в сообщении #1532855 писал(а):

Натяжение нити возникает вследствие ее движения. Соответствующая формула элементарно выводится.

Не всякое движение нити в отсутствии внешних сил является контурным, что собственно и подтверждает Ваш пункт 1, и надо сильно стараться, что бы сделать его таковым.

[wrest]

Ignatovich в сообщении #1532622 писал(а):

В книге Маркина эта закономерность названа эффектом Эткина-Радингера

Интересно (и пугающе загадочно), что гугление "эффект Эткина-Радингера" не даёт ничего кроме книги Меркина (т.е. все найденные мной упоминания -- цитируют Меркина или отсылают к Меркину). Может Меркин как-то не так спеллинг фамилий сделал или что, но вот хотелось бы еще что-неть найти независимое от книги Меркина, без ссылок на неё. Кто вообще такие эти Эткин и Радингер? И где ещё, кроме книги Меркина, описывается контурное движение массивной нити?

[sergey zhukov]

amon
Понятно. Это больше к вопросу о том, как практически создать движение цепи вдоль себя по стационарному хитрому контуру. "Критическая" скорость тут зависит от величины предварительного натяга цепи. Например, можно натянуть цепь на систему шкивов, натянув ее любой силой $T_0$, и начать раскручивать, а в момент достижения скорости $u=\sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$ убрать шкивы. Тут мы предполагаем, что по мере увеличения скорости цепи сила реакции шкивов падает, а сила натяжения цепи остается постоянной и равной $T_0$ (а не так, что сила реакции шкивов остается постоянной, а сила натяжения цепи растет с увеличением скорости).

wrest
Я тоже что-то ничего не нашел. Вроде бы заметный, зрелищный эффект.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1532896 писал(а):

Я тоже что-то ничего не нашел. Вроде бы заметный, зрелищный эффект.

В поведении цепей есть и другие неинтуитивные моменты. Например, так называемый "chain fountain" по которому на форуме есть минимум одна тема (сам эффект вообще можно сказать новый - похоже что до 2013 о нем не знали). Там загвоздка в том, откуда берутся силы подкидывающие цепь вверх, а форма "фонтана" считается как бы сама собой разумеющейся и чуть ли не цепной линией.
Еще пример -- кладем прямую цепь (чтобы не связываться с кучей, подскоками и самим фактом что цепь состоит из жестких звеньев конечной длины, с ограничением потуглу сгиба, ибо из кучи опять получается фонтан) на скользкий стол. Самый кончик пусть свисает, затем отпускаем. Цепь начнет скользить по столу, и интуитивно кажется, что силы инерции должны в итоге отодвинуть перегиб от края стола. Этот опыт кстати можно провести и в натуре, я проводил :)

Из-за этого вот поведения цепей я не очень доверяю всяким "красивым" задачам на канаты.

[Ignatovich]

amon в сообщении #1532879 писал(а):

Не всякое движение нити в отсутствии внешних сил является контурным, что собственно и подтверждает Ваш пункт 1, и надо сильно стараться, что бы сделать его таковым

Для контурного движения свободной нити каждому ее фрагменту нужно сообщить касательную скорость постоянной величины. Сделать это можно разными способами. Например, раскрутить нить на шкиве, сбросить ее плашмя на горизонтальный гладкий стол, а затем сколь угодно малыми силами медленно деформировать нить в контур любой формы. Или разогнать нить на системе шкивов до любой заданной скорости, предварительно слегка натянув ее, а затем убрать шкивы. Получим контурное движение с заданной скоростью. Сила натяжения станет равной $\rho\upsilon^2$. Разве не так?

[sergey zhukov]

Ignatovich
Возьмем, например, такой контур с текущей цепью (шкивы не касаются цепи):

Теперь начнем стягивать контур шкивами. По вашему, для этого не требуется приложения силы, кинетическая энергия контура не меняется, а сам контур сохраняет стационарность. А по моему, тут требуется очевидная работа против сил натяжения цепи, которая должна увеличить кинетическую энергию цепи, причем стационарность контура нарушится при попытке его стянуть.

Wrest
Не видел раньше цепного фонтана. Объяснение довольно замысловатое. Мне особенно понравилось это видео:
https://youtu.be/UpRS8RCcpUo
Здесь очень хорошо видно, как жесткость цепи на изгиб (а тут просто ограничение на максимальный угол между звеньями задано) влияет на высоту фонтана и даже как именно происходит подбрасывание этого фонтана за счет "подкатывания" под поднимающуюся цепь кругового сегмента цепи.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1532934 писал(а):

А по моему, тут требуется очевидная работа против сил натяжения цепи, которая должна увеличить кинетическую энергию цепи,

Хм, интересно, ну у вас на рисунке шкивы как-бы стягивают контур. А если как-бы расталкивали, то тоже было бы очевидно? :) Ну например цепь течет по "гусеничной линии":

При движении роликов внутрь (в направлении синий->красный) и наружу (красный->синий) надо будет преодолевать силу натяжения и кинетическая энергия нити увеличится в обоих случаях?

[sergey zhukov]

wrest
Да, что-то не то.

У нас тут система, которая имеет континуум состояний при одной и той же энергии (меняется только момент импульса). Это очень похоже на гироскоп. Сделаем так, чтобы ось гироскопа могла поворачиваться только в одной плоскости. Тогда при попытке повернуть ее в этой самой плоскости моментом $M$ гироскоп будет вести себя, как не вращающийся. Т.е. если считать, что на гироскоп действует только момент $M$ и не учитывать гироскопический момент $T$ от реакции плоскости, то при приложении момента $M$ ось гироскопа приобретет такое же угловое ускорение, как если бы он не вращался. А при снятии момента $M$ ось гироскопа продолжит вращаться с постоянной угловой скоростью. В процессе поворота гироскоп не меняет энергии, но меняет момент импульса.

Работа по повороту гироскопа на угол $\partial \alpha$, как и момент $M$ (и гироскопический момент $T$) при достаточно медленной скорости поворота, стремятся к нулю. Точнее, гироскоп можно толкнуть сколь угодно малым моментом, дождаться поворота его оси на нужный угол, а затем остановить его толчком противоположного момента. Похоже, действительно, контур бегущей цепи можно медленно деформировать из одной формы в другую практически нулевыми силами таким же образом. Только толкать и тормозить ее нужно будет сложной распределенной системой сил, а не какими попало силами.

Первоначальный вопрос: а почему же обруч из цепи не сплющивается достаточно быстро системой гравитационных сил? Видимо потому, что эта система сил не подходит для сплющивания обруча. Она делает с ним нечто другое. Бегущая цепь - это не проволока, сплющивание которой из кольца в две параллельные линии происходит под действием таких сил гравитации. Бегущую цепь тоже можно сплющить подобным образом, но для этого, видимо, нужна другая система сил.