CheloveckМногие реальные физические величины не являются точно определенными, хотя в физике постоянно используются точные функциональные зависимости, например, вида
(т.е. величина
вроде бы точно определена для каждой точки пространства
в любой момент времени
). Но при попытке точно измерить эту величину мы часто убеждаемся, что на самом деле величина
не имеет смысла в точке
, но имеет смысл только на отрезке
в окрестности точки
. Т.е. часто величина
оказывается неким средним значением по малому объему пространства или малому отрезку времени, а прямо в точке это среднее вычислить невозможно.
Например, когда говорят о температуре в точке тела, то всегда подчеркивают: под "точкой" имеется ввиду обьем тела достаточно маленький в сравнении с характерными размерами тела, но достаточно большой в сравнении с размерами молекул этого тела. Понятно, что если температура - это мера средней кинетической энергии молекул тела, то объем "точки" должен быть достаточно большим, чтобы там поместилось достаточно много молекул, по которым и вычисляется это среднее. Если мы принимаем, что тело состоит из молекул, а не из сплошной неделимой субстанции, то автоматически получаем, что математическое понятие "температура в точке" - это есть математическое приближение для физической величины "температура". В реальности есть только средняя величина кинетической энергии по множеству молекул в объеме
, усредненная так же на участке времени
. Это то, о чем Сивухин говорит на стр.46. Т.е. тут речь о том, что в физике часто используются математические приближения физических величин (например, математическая "температура в точке" и соответствующая функция для этой "математической температуры"), причем именно для "математической температуры" в точности определено понятие производной. Для физической температуры, которая даже не определена в точке, не может быть точного определения ее производной в точке.
Теперь, допустим, что мы согласились заменить все физические величины их математическими приближениями, т.е. согласились, что любая физическая величина может быть приближена точной функциональной зависимостью от других величин и определена сколь угодно точно в любой нужной точке. Еще раз отметим - это математическая идеализация реальных физических величин. Это упрощение, которое облегчает нам жизнь, превращая
в
. Но это все же только приближение, которое привносит свои ошибки.
Раз мы теперь имеем дело с точными функциями, то для произвольной функции
справедливо разложение в ряд по степеням
(разложение функции в степенной ряд):
Соответственно, приращение функции:
Это точное выражение приращения функции, а его линейная часть - это первое слагаемое. Если это выражение поделить на
и устремить его к нулю (т.е. по сути, найти производную
), то из всей суммы останется только
.
При этом делении обычно сразу говорят "пренебрежем слагаемыми, малыми в сравнении с
, имея ввиду, что предел от деления таких слагаемых на
при
точно равен нулю. Здесь не происходит никакого огрубления и никаких ошибок не возникает, хотя и говорят "пренебрежем". Это просто фраза, которую нужно понимать так "это слагаемое при последующем поиске предела
даст ноль, так что его можно отбросить уже сейчас".
Что, где и когда можно отбросить, а так же умение делать вычисления "в точке" (т.е. когда говорят "заменим
на
", "заменим сектор дуги окружности на хорду", "считаем катет равным по длине гипотенузе" и т.д.) - это нужно просто изучить на практике. Общее правило сформулировать трудно. Эти вычисления совершенно точны несмотря на то, что там как будто многим пренебрегают и вводят много упрощений. На самом деле абсолютная точность сохраняется потому, что вводимые приближения являются приближениями только для конечных приращений функции и аргумента (а все чертежи мы рисуем именно для таких конечных приращений), но они перестают быть приближениями и становятся точными выражениями, когда приращения устремляются к нулю и превращаются в дифференциалы.