Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике

[Cheloveck]

Здравствуйте,у меня познания в математическом анализе не дальше первого курса(и также не очень сильны) за исключением ду с разделяющими переменными которые проходят вроде как на втором курсе.Так вот,выше приведено авторское решение задачи и моё решение,я хотел бы взять эту задачу как нечто на что можно было опереться когда нужна конкретика.
Сначала я приведу свои рассуждения по этой теме и моменты которые вводят меня в заблуждение.Решать задачи в которых используется математический анализ в какой-то степени я начал совсем недавно.А точнее речь о задачах на ДУ в физике.Я сперва думал,что для составления ДУ нужно как-то связать производную функции и саму функцию,это было проще в задач на движение ибо по определению мы знаем что такое скорость,ускорение и т.п через производные.Позже посмотрев задачи по динамике и всякие задачи на вытекания жидкости я не смог их решить и начал искать решение в интернете,я весьма удивился как решают такие задачи люди.Они все используют такое утверждение: дифференциал функции-это бесконечно малое приращение функции.

Все они как один пишут,что если есть к примеру приращение функции $\Delta f(t)$ и $\Delta f(t)\longrightarrow 0$,то тогда $\Delta f(t)=df$

Скажем из сосуда вытекает какой-то объём жидкости $\Delta V$ за время $\Delta t$,при этом объём вытекающей жидкости как и время вытекания этого объёма стремиться к нулю.Но человек который решает задачу говорит,что за время $dt$ вытекает объём жидкости $dV$,как бы уже сразу говоря что за дифференциалы означают бесконечно малое приращение физической величины.Если равенство дифференциала переменной $t$ ещё можно понять исходя из математического определения дифференциала,а именно потому что
$t$- это независимая переменная и $\Delta t\longrightarrow 0$,то равенство дифференциала функции объёма с бесконечно малым приращением функции нельзя.Ведь приращение функции просто по определению не равно дифференциалу функции.А именно $dV=V'dt$ или $\Delta V=dV+\alpha(\Delta t)$
И так решают многие задачи.Потом я открыл учебник Сивухина и увидел вот эту информацию:
«На символ $\frac{dx}{dt}$ в математике следует смотреть как на единое целое,а не как на отношение двух «бесконечно малых» приращений $dx$ и $dt$....Малые,но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t$,отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную $x'$,физик называет бесконечно малыми или,полнее,физически бесконечно малыми величинами.Он обозначает их посредством $dx$ и $dt$ и обращается с ними как с математическими дифференциалами.»
И тогда я подумал,что возможно в задачах по физике активно используется вот этот приближённый смысл дифференциала $\Delta y \approx dy$
Теперь вернёмся к задачи о трении каната.Как видно автор в своём решении пускай и не использует дифференциалы,но тем не менее использует другие приближённые равенства с синусом,косинусом и даже пренебрегает разностью модулей сил.Я стал смотреть на эти приближённые равенства также как на операции с дифференциалом функции в физике.Мне не не ясно когда чем можно пренебречь,но я стал думать,что в физике ДУ которые получаются на выходе имеют какие-то неточности из-за этих приближений и было уже начал мериться с этим,как сам попробовал решить задачу перейдя к пределу и получив связь между производной и её функцией я не использовал ни одного приближённого равенство,но результат был совершенно тот же.Приведу своё решение задачи.
уравнение по нормали: $N=T(\varphi+\Delta \varphi)\sin\Delta \varphi$
уравнение по касательной: $T(\varphi+\Delta \varphi)\cos\Delta \varphi-T(\varphi)=F_{TP}=kN$
Подставим вместо $N$ выражение равное ему из уравнения по нормали,разделив конечное выражение на $\Delta \varphi$ и получим:

$$\frac{T(\varphi+\Delta \varphi)\cos\Delta \varphi-T(\varphi)}{\Delta \varphi}=\frac{kT(\varphi+\Delta \varphi\sin\Delta \varphi)}{\Delta \varphi}$$

осуществим предельный переход при $\Delta \varphi\rightarrow 0$ далее преобразовав равенство используя свойства пределов и в итоге получим:

$$\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{T(\varphi+\Delta \varphi)}{\Delta \varphi}\lim_{\Delta \varphi\to 0}\cos\Delta \varphi-\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{T(\varphi)}{\Delta \varphi}=k\lim_{\Delta \varphi\to 0}T(\varphi+\Delta \varphi)\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{\sin\Delta \varphi}{\Delta \varphi}$$

Далее преобразуем:

$$\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{T(\varphi+\Delta \varphi)}{\Delta \varphi}-\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{T(\varphi)}{\Delta \varphi}=k\lim_{\Delta \varphi\to 0}T(\varphi+\Delta \varphi)$$

$$\lim_{\Delta \varphi\to 0}\frac{T(\varphi+\Delta \varphi)-T(\varphi)}{\Delta \varphi}=kT(\varphi)$$

в итоге:

$$T'(\varphi)=kT(\varphi)$$

Пришли к точно такому же ДУ к которому пришёл автор.
Тогда все мои мысли о смысле дифференциала в физике судя по-всему были ошибочными,как и мысли о приближённых равенствах.Выходит я бы мог заменить угол в этой задаче на дифференциал этого угла и также поступить с разностью модулей сил натяжения,только это бы был дифференциал силы натяжения и в итоге результат был бы тот же.Так выходит дифференциал функции и правда когда-то равен бесконечно малому приращению ? Но я не понимаю как это может быть,если равенство точное,то почему пропадает слагаемое $\alpha(\Delta x)$ в формуле $\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha(\Delta x)$ которая выражает приращение функции через дифференциал.В итоге я сформулирую вопросы на которые хочу получить ответы и объяснения.
Каким на самом деле смыслом дифференциала пользуются физики и если он отличается от математического определения,то почему они могут пользоваться таким смыслом ? Я думаю это основной вопрос,но пытаясь ответить на него у меня возникли новые при рассмотрении задачи про канат.Почему моё решение без каких-либо приближённых равенств с предельным переходом приводит к точно такому же результату как и решение автора где используется приближённое равенство на углы и модули сил ? Эта задача навела меня на этот вопрос и думаю его можно сформулировать в более общем виде:Почему приближённые равенства такие как $\Delta y \approx dy$, $\sin(\Delta \varphi) \approx \varphi$ и т.д в какой-то момент становятся точными ?

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530460 писал(а):

Как мне понимать что такое дифференциал в физике и как убедиться,что нужно понимать его именно так ?

У Сивухина хорошо написано.
В математике тоже [первым] дифференциалом считают линейную часть приращения функции и бесконечномалые для этого не привлекают (см. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... A%D0%B0%29 ).

[epros]

wrest в сообщении #1530476 писал(а):

бесконечномалые для этого не привлекают

Кстати, это потому, что в стандартном анализе не бывает никаких "бесконечно малых", не равных нулю.

Так что дифференциал вполне конечен. Специально для физиков можно добавить, что он может быть просто малым (не бесконечно), оставаясь при этом линейной частью приращения. И физик при этом может пренебречь незначительными различиями между приращением и его линейной частью.

[realeugene]

epros в сообщении #1530480 писал(а):

Так что дифференциал вполне конечен.

Разве? Он же вообще не число.

[epros]

realeugene в сообщении #1530483 писал(а):

Он же вообще не число.

А что такое число? Вот в формуле $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ переменная $x$ - это число или нет?

[wrest]

epros в сообщении #1530491 писал(а):

переменная $x$ - это число или нет?

$x$ это варианта :) Так нас учит Фихтенгольц. Ну и дифференциал это функция канеш, а не число.

[epros]

wrest в сообщении #1530492 писал(а):

Ну и дифференциал это функция канеш, а не число.

По моим понятиям числовая функция - это вполне себе число. В некотором смысле. Ровно как и численная переменная - число (в том же смысле).

[realeugene]

epros в сообщении #1530491 писал(а):

переменная $x$ - это число или нет?

Нет. Это символ.

-- 03.09.2021, 17:41 --

epros в сообщении #1530498 писал(а):

В некотором смысле.

В некотором несформулированном смысле. ;)

-- 03.09.2021, 17:43 --

epros в сообщении #1530498 писал(а):

По моим понятиям числовая функция - это вполне себе число.

Число - это элемент числового множества. Функция таковой не является.

[sergey zhukov]

Cheloveck
Многие реальные физические величины не являются точно определенными, хотя в физике постоянно используются точные функциональные зависимости, например, вида $A=A(x, y, z, t)$ (т.е. величина $A$ вроде бы точно определена для каждой точки пространства $(x, y, z)$ в любой момент времени $t$). Но при попытке точно измерить эту величину мы часто убеждаемся, что на самом деле величина $A$ не имеет смысла в точке $(x, y, z, t)$, но имеет смысл только на отрезке $\triangle x, \triangle y, \triangle z, \triangle t$ в окрестности точки $(x, y, z, t)$. Т.е. часто величина $A$ оказывается неким средним значением по малому объему пространства или малому отрезку времени, а прямо в точке это среднее вычислить невозможно.
Например, когда говорят о температуре в точке тела, то всегда подчеркивают: под "точкой" имеется ввиду обьем тела достаточно маленький в сравнении с характерными размерами тела, но достаточно большой в сравнении с размерами молекул этого тела. Понятно, что если температура - это мера средней кинетической энергии молекул тела, то объем "точки" должен быть достаточно большим, чтобы там поместилось достаточно много молекул, по которым и вычисляется это среднее. Если мы принимаем, что тело состоит из молекул, а не из сплошной неделимой субстанции, то автоматически получаем, что математическое понятие "температура в точке" - это есть математическое приближение для физической величины "температура". В реальности есть только средняя величина кинетической энергии по множеству молекул в объеме $\triangle x, \triangle y, \triangle z$, усредненная так же на участке времени $\triangle t$. Это то, о чем Сивухин говорит на стр.46. Т.е. тут речь о том, что в физике часто используются математические приближения физических величин (например, математическая "температура в точке" и соответствующая функция для этой "математической температуры"), причем именно для "математической температуры" в точности определено понятие производной. Для физической температуры, которая даже не определена в точке, не может быть точного определения ее производной в точке.

Теперь, допустим, что мы согласились заменить все физические величины их математическими приближениями, т.е. согласились, что любая физическая величина может быть приближена точной функциональной зависимостью от других величин и определена сколь угодно точно в любой нужной точке. Еще раз отметим - это математическая идеализация реальных физических величин. Это упрощение, которое облегчает нам жизнь, превращая $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ в $\frac{\partial x}{\partial t}$. Но это все же только приближение, которое привносит свои ошибки.

Раз мы теперь имеем дело с точными функциями, то для произвольной функции $f(x+\Delta x)$ справедливо разложение в ряд по степеням $\Delta x$ (разложение функции в степенной ряд):

$$ f(x+\Delta x)=f(x)+f(x)^{\prime} \triangle x+f(x)^{\prime\prime} \frac{\triangle x^2 }{2!}+f(x)^{\prime\prime\prime} \frac{\triangle x^3 }{3!}+...$$

Соответственно, приращение функции:

$$ f(x+\Delta x)-f(x)=f(x)^{\prime} \triangle x+f(x)^{\prime\prime} \frac{\triangle x^2 }{2!}+f(x)^{\prime\prime\prime} \frac{\triangle x^3 }{3!}+...$$

Это точное выражение приращения функции, а его линейная часть - это первое слагаемое. Если это выражение поделить на $\triangle x$ и устремить его к нулю (т.е. по сути, найти производную $f(x)$), то из всей суммы останется только $f(x)^\prime$.

При этом делении обычно сразу говорят "пренебрежем слагаемыми, малыми в сравнении с $\triangle x$, имея ввиду, что предел от деления таких слагаемых на $\triangle x$ при $\triangle x \to 0$ точно равен нулю. Здесь не происходит никакого огрубления и никаких ошибок не возникает, хотя и говорят "пренебрежем". Это просто фраза, которую нужно понимать так "это слагаемое при последующем поиске предела $\triangle x \to 0$ даст ноль, так что его можно отбросить уже сейчас".

Что, где и когда можно отбросить, а так же умение делать вычисления "в точке" (т.е. когда говорят "заменим $\sin(\varphi)$ на $\varphi$", "заменим сектор дуги окружности на хорду", "считаем катет равным по длине гипотенузе" и т.д.) - это нужно просто изучить на практике. Общее правило сформулировать трудно. Эти вычисления совершенно точны несмотря на то, что там как будто многим пренебрегают и вводят много упрощений. На самом деле абсолютная точность сохраняется потому, что вводимые приближения являются приближениями только для конечных приращений функции и аргумента (а все чертежи мы рисуем именно для таких конечных приращений), но они перестают быть приближениями и становятся точными выражениями, когда приращения устремляются к нулю и превращаются в дифференциалы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Скриншоты из учебников/задачников еще туда-сюда, но вот "рукопись" точно стоит переделать. Правда, перед этим я бы рекомендовал подумать, нужно ли все это в теме вообще - на первый взгляд кажется, что в дальнешем используется только одна намного более короткая цитата. Если не нужно - просто убрать лишнее.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Cheloveck]

Цитата:

Многие реальные физические величины не являются точно определенными, хотя в физике постоянно используются точные функциональные зависимости, например, вида $A=A(x, y, z, t)$ (т.е. величина $A$ вроде бы точно определена для каждой точки пространства $(x, y, z)$ в любой момент времени $t$). Но при попытке точно измерить эту величину мы часто убеждаемся, что на самом деле величина $A$ не имеет смысла в точке $(x, y, z, t)$, но имеет смысл только на отрезке $\triangle x, \triangle y, \triangle z, \triangle t$ в окрестности точки $(x, y, z, t)$. Т.е. часто величина $A$ оказывается неким средним значением по малому объему пространства или малому отрезку времени, а прямо в точке это среднее вычислить невозможно.
Например, когда говорят о температуре в точке тела, то всегда подчеркивают: под "точкой" имеется ввиду обьем тела достаточно маленький в сравнении с характерными размерами тела, но достаточно большой в сравнении с размерами молекул этого тела. Понятно, что если температура - это мера средней кинетической энергии молекул тела, то объем "точки" должен быть достаточно большим, чтобы там поместилось достаточно много молекул, по которым и вычисляется это среднее. Если мы принимаем, что тело состоит из молекул, а не из сплошной неделимой субстанции, то автоматически получаем, что математическое понятие "температура в точке" - это есть математическое приближение для физической величины "температура". В реальности есть только средняя величина кинетической энергии по множеству молекул в объеме $\triangle x, \triangle y, \triangle z$, усредненная так же на участке времени $\triangle t$. Это то, о чем Сивухин говорит на стр.46. Т.е. тут речь о том, что в физике часто используются математические приближения физических величин (например, математическая "температура в точке" и соответствующая функция для этой "математической температуры"), причем именно для "математической температуры" в точности определено понятие производной. Для физической температуры, которая даже не определена в точке, не может быть точного определения ее производной в точке.

Это да,я понимаю что математика точно не описывает физику если так можно выразиться.Я говорю о точности описании физической модели.Как я это понимаю,вот в задаче про канат мы используем модель:окружность и вот такие векторы сил действуют так-то и так-то,теперь задача про канат превратилась в задачу про окружность с векторами сил.Я говорил про точность описания именно этой задачи про окружность,можно сказать математической задачи на векторы лишь с использованием физических законов(для конкретики именно её взял).

Цитата:

При этом делении обычно сразу говорят "пренебрежем слагаемыми, малыми в сравнении с $\triangle x$, имея ввиду, что предел от деления таких слагаемых на $\triangle x$ при $\triangle x \to 0$ точно равен нулю. Здесь не происходит никакого огрубления и никаких ошибок не возникает, хотя и говорят "пренебрежем". Это просто фраза, которую нужно понимать так "это слагаемое при последующем поиске предела $\triangle x \to 0$ даст ноль, так что его можно отбросить уже сейчас".

Хотите сказать,что некоторые приближённые равенства которые используют это что-то типа шага наперёд зная,что при предельном переходе они станут такими как показывает приближённое равенство ? Если нет,то не понимаю зачем вы привели этот пример с производной.

Цитата:

но они перестают быть приближениями и становятся точными выражениями, когда приращения устремляются к нулю и превращаются в дифференциалы.

Хотите сказать,что изначально берут какой-то малый угол(как говорят в задачах) к примеру,а в дальнейшем его устремляют к нулю и это даёт точное равенство.Но почему при стремлении к нулю приращения превращаются в дифференциалы точно,ведь такое равенство лишь приближённое $\Delta y \approx dy$ ?

-- 05.09.2021, 05:24 --

Цитата:

Специально для физиков можно добавить, что он может быть просто малым (не бесконечно), оставаясь при этом линейной частью приращения. И физик при этом может пренебречь незначительными различиями между приращением и его линейной частью.

Если они пренебрегают,то почему через предел получается тот же результат ?

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530616 писал(а):

Но почему при стремлении к нулю приращения превращаются в дифференциалы точно,ведь такое равенство лишь приближённое $\Delta y \approx dy$ ?

Это свойство диффененцируемых функций.
Тут вам надо матан вспоминать, как раз первый курс...

[Otta]

Cheloveck в сообщении #1530616 писал(а):

Цитата:

Специально для физиков можно добавить, что он может быть просто малым (не бесконечно), оставаясь при этом линейной частью приращения. И физик при этом может пренебречь незначительными различиями между приращением и его линейной частью.

Если они пренебрегают,то почему через предел получается тот же результат ?

Так в чем различие между приращением и его линейной частью? Еще раз.

[sergey zhukov]

Cheloveck
Хорошо, давайте рассмотрим вашу задачу про канат. Чтобы ее решить, нужно рассмотреть малый (бесконечно малый) кусочек каната. Мы же рисуем приблизительный чертеж бесконечно малого кусочка: на нем кусочек каната не бесконечно мал, он имеет на чертеже угловой размер $\Delta \varphi$. Именно для этого неточного чертежа нам и требуются синусы и косинусы. Для точного же чертежа (который, правда, невозможно нарисовать) на их месте должны стоять именно $\partial\varphi$ и 1. Так это можно представлять, если по простому.

Вот вы удивляетесь, почему при замене приращения функции на его линейную часть не возникает ошибок в решении задачи? Да потому, что для точного решения нам как раз и нужна только линейная часть приращения (по крайней мере для этой задачи это так). Полное приращение возникает как раз для приближенного решения, а нас оно не интересует.

Кстати, вас не удивляет, что операция предела в математике дает в точности один и тот же результат для разных выражений, "пренебрегая" всякой мелочью, но тем не менее не давая никаких ошибок? Например:

$$\lim\limits_{x \to \infty}^{}}\frac{5x^3}{4x^3+1}=\lim\limits_{x \to \infty}^{}}\frac{5x^3+x^2}{4x^3+x+1}=\lim\limits_{x \to \infty}^{}}\frac{5x^3+x+\sqrt{x}}{4x^3+x^2+1}=\frac{5}{4}$$

Что бы там ни стояло в числителе и знаменателе, значение имеет только отношение коэффициентов при старших степенях. Относительный вклад всего остального при $x \to \infty$ стремится к нулю. Это математический факт: при нахождении предела некоторые слагаемые в выражении ни на что не влияют (просто обнуляются). Часто уже заранее можно видеть, что это за слагаемые и просто отбрасывать их. Например, $\sin(\varphi)$ имеет такое разложение:

$$\sin(\varphi)=\varphi-\frac{\varphi^3}{3!}+\frac{\varphi^5}{5!}-\frac{\varphi^7}{7!}+...$$

(Здесь использована общая формула, в которой производные вычислены в точке $\varphi=0$). Если это выражение для синуса подставить в нашу задачу про канат, то можно сразу заметить, что слагаемые со второго и далее обнулятся, поэтому их с самого начал нет смысла писать. Но так бывает не всегда. В более сложных задачах, в которых получаются производные более высоких порядков, бывает нужно сохранять члены выше первого, т.к. они не обнуляются в пределе. Нужно смотреть конкретные ситуации.