Спектр сигнала и амплитуда.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

Если для описания сигнала, кроме отсчетов во временной или спектральной области требуются ещё какие-то предположения, то это совсем не обзательно эквивалентные описания.

Эти описания (при разных количествах отсчётов спектра) можно считать эквивалентными в том смысле, что они соответствуют сигналам, в точности одинаковым на рассматриваемом отрезке времени.

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

Эквивалентные описания сигнала - это когда существует процедура получения одного описания из другого и наоборот.

Мда, теперь будете меня учить тому, что такое классы эквивалентности? И опять неправильно...

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

ДПФ применяется не к сигналу (непрерывному и бесконечному), оно применяется к конечному упорядоченному набору чисел. И результатом его является конечный упорядоченный набор чисел.

Эти наборы чисел - результаты дискретизации сигнала и спектра. Именно это даёт соответствующим операциям с этими числами право называться дискретным преобразованием Фурье.

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

Чтобы описать набор измерений $N$ независимых величин нам потребуется набор из ровно $N$ независимых переменных.
Если переменных будет больше, то не все они будет независимые. Если переменных будет меньше, то не все наборы из $N$ величин могут быть заданы этими переменными. Вот и весь глубокий смысл равенства количества отсчетов во временной и в спектральной области.

Ваша ошибка в том, что Вы опять исходите из предположения взаимной однозначности преобразования. Я Вам уже неоднократно приводил примеры того, что одному и тому же сигналу на заданном отрезке могут соответствовать разные спектры, в зависимости от того, что мы предполагаем о сигнале за пределами этого отрезка.

Используемое Вами определение ДПФ основано на предположении, что за пределами рассматриваемого отрезка сигнал повторяется с периодом, в точности равным длине рассматриваемого отрезка. Только из этого предположения можно вывести утверждение о взаимной однозначности преобразования и сделать все Ваши последующие выводы о равенстве количеств отсчётов сигнала и спектра. Но на самом деле о сигнале за пределами рассматриваемого отрезка ничего не известно.

[ViktorArs]

Круто! ПРошу прощения за такую реакцию. В этом научном обсуждении для меня просто море информации. Это круто!

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

Кстати, есть теорема, что при заданном количестве отсчетов разрешение во временной области обратно пропорционально разрешению в спектральной области. Это как раз про то, что ДПФ не добавляет (и не уменьшает) информацию о сигнале.

А названия у нее случаем нет?

[epros]

(ViktorArs)

Поменяйте автора в цитате

[ihq.pl]

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

есть теорема, что при заданном количестве отсчетов разрешение во временной области обратно пропорционально разрешению в спектральной области. Это как раз про то, что ДПФ не добавляет (и не уменьшает) информацию о сигнале.

Не уверен, что речь об этом, но есть такое понятие как частотно-временное окно -- прямоугольник на плоскости $(t,\omega)$. Существуют ф-ии носители которых в этой плоскости эффективно является окном (ф-я Гаусса, например). Допустим, $f(t)$ обладает таким свойством. Тогда площадь её окна не меняется при заменах переменной $t=as, a\ne 0$ . То есть, если ф-ю сжать по времени, её окно растянется по частоте, и наоборот. Замечательным в таких функциях является то, что они и их преобразования Фурье можно достаточно точно описать конечным набором дискретных значений, при этом набор значений $f$ есть ДПФ набора значений $\hat f$, и наоборот.

[Евгений Машеров]

ViktorArs в сообщении #1530125 писал(а):

А названия у нее случаем нет?

АФАИК, речь о соотношении неопределённостей (в обработке сигналов, связь с таковым в квантовой физике есть, но достаточно хитрая).
Скажем, обсуждается у Марпла, "Цифровой спектральный анализ"

[epros]

Не знаю, имел ли в ввиду EUgeneUS соотношение неопределённостей. В спектральном анализе оно действительно есть, причем с моей точки зрения - в точности то самое, которое в квантовой механике. Точнее, квантовая механика его как раз заимствует из спектрального анализа.

Скорее EUgeneUS говорил про то, что сигнал, как и его спектр можно восстановить из конечного множества отсчётов. Такой факт тоже есть, хотя он имеет место для специфического класса сигналов - периодических и с конечным (без высоких частот) спектром.

[ViktorArs]

ViktorArs в сообщении #1530125 писал(а):

Круто! ПРошу прощения за такую реакцию. В этом научном обсуждении для меня просто море информации. Это круто!

epros в сообщении #1530111 писал(а):

Кстати, есть теорема, что при заданном количестве отсчетов разрешение во временной области обратно пропорционально разрешению в спектральной области. Это как раз про то, что ДПФ не добавляет (и не уменьшает) информацию о сигнале.

А названия у нее случаем нет?

Пардон. Да цитирование не верно оформил. Сам не знаю как так вышло. Поменять не дает, видимо редактировать можно только в течение какого-то времени.

[EUgeneUS]

ViktorArs

(Оффтоп)

ViktorArs в сообщении #1530142 писал(а):

Пардон. Да цитирование не верно оформил. Сам не знаю как так вышло. Поменять не дает, видимо редактировать можно только в течение какого-то времени.

1. Да. Для обычных, не заслуженных участников, есть конечное время для редактирования сообщений.
2. ошибка с авторством цитаты возникает, если текст выделить в одном сообщении, а кнопку "ответить" нажать под другим сообщением.
3. нажалуйтесь сами на себя модераторам (кнопка с воскл. знаком под проблемным сообщением) с просьбой исправить цитату. Насколько знаю, в таких случаях модсостав идет на встречу.

[ihq.pl]

epros в сообщении #1530138 писал(а):

Такой факт тоже есть, хотя он имеет место для специфического класса сигналов

Для тригонометрических полиномов, например - здесь всё конечно и дискретно)
По сути ДПФ подразумевает, что сигнал хорошо аппроксимируется тригонометрическими полиномами

[Евгений Машеров]

ViktorArs в сообщении #1530002 писал(а):

По теории вопрос: кол-во точек спектра равно количеству точек сигнала. Это теорема какая-то есть? Или правило?

Нет такого правила. Число точек сигнала, вообще говоря, не равно числу точек спектра. Можем построить спектр с числом точек, куда большим числа точек в сигнале. Но соседние значения будут высококоррелированы и не нести информации. Можем построить спектр с числом отсчётов существенно меньшим, чем точек в сигнале. Причём это может быть практически полезно (ну, скажем, доктору для контроля глубины наркоза по ЭЭГ нужны лишь суммарные мощности дельта-, тэта-, альфа- и бета-ритмов, 4 точки из возможных 256). Есть вычислительная процедура, БПФ. В ней мы из n входных значений делаем n значений преобразования. Это обеспечивает обратимость преобразования (что не означает, что можно восстановить сигнал по спектру, только возможность обратить ПФ). Причём оно работает с комплексными величинами на входе и выдаёт комплексные на выходе. Если на входе действительные числа, n точек выхода не будут независимыми, половина преобразованных значений - комплексное сопряжённые с другой половиной. Комплексные значения после ПФ соответствуют определённым частотам, их модуль связан с амплитудой соответствующей компоненты, а фаза - со сдвигом компоненты относительно начала отрезка. Поскольку момент начала отсчёта произволен - фаза нас часто не интересует, она зависит от неконтролируемой нами величины (момента времени), и мы ею пренебрегаем (но иногда именно она и важна). И строим "спектр мощности" (об условности термина "мощность" говорилось ранее), квадраты модулей соответствующих компонентов. Достоинство квадратов в аддитивности, Пифагор свидетель. Это искупает проблемы с изменением размерности. А иногда важны относительные значения, и спектр логарифмируется, переводясь в децибелы. В построенном так спектре точек вполовину меньше, чем в исходном отрезке, по которому считали. При этом расчёт по всей доступной продолжительности сигнала, как по одному отрезку, обычно не практикуется. Чаще разбивают его на фрагменты равной длины, выбирая обычно удобную для БПФ. При этом принимается "математическая фикция", что за пределами каждого отрезка сигнал бесконечно повторяет данный отрезок. Как правило, на вход БПФ дают не сам отрезок, а произведение его на окно, обычно спадающее к краям отрезка (если явно на окно не умножают, не значит, что его нет, просто оно "прямоугольное"). Любое окно, в том числе и прямоугольное, искажает спектр, но по-разному. Спадающее к краям (косинусоидальное, гауссианное, треугольное...) избавляет от "дефектов на стыках", но расширяет частотные пики. Рассчитанные по соседним отрезкам спектры усредняют меж собой (хотя есть задачи, когда смотрят на спектры по соседним фрагментам, не смущаясь их неточностью - они, в статистическом смысле, несостоятельны), а также усредняют по соседним значениям (впрочем, эта операция эквивалентна применению окон). Усредняют обычно именно спектр мощности, благодаря её аддитивности, а потом уже могут логарифмировать или извлекать корень. Поскольку обычно применяемые окна берут разные отсчёты с разными весами, популярна техника "с перекрытием", когда отрезки берутся не сдвинутые на всю длину, а, скажем, на 50%, так что точки на краю одного отрезка, и поэтому взятые с малыми весами, оказываются близкими к середине соседнего, и веса у них близки к единице.

ViktorArs в сообщении #1530002 писал(а):

Так всеж уточнить хочу по практическому вопросу
1-я точка $ F_N \cdot 0 / n$
N-я точка $ F_N \cdot (n-1) / n$
N+1-я точка $ F_N \cdot n / n = F_N$
???
и N+1-я точка это уже повторяющийся спектра начинается?

Ну вот посчитали мы БПФ от, для определённости, 512 точек. Получив 512 комплексных чисел. Но они у нас "зеркальны", в том смысле, что после 256 идут те же с точностью до комплексного сопряжения числа в обратном порядке (в предположении, что исходный сигнал действительный). Так что мы ими пренебрегаем. $F_N$ здесь частота Найквиста-Котельникова-Шеннона (ой, ещё Уиттекера забыл), равная половине частоты снятия отсчётов. Частоты выше неё не могут быть правильно определены. Они будут трактоваться, как частоты в полосе между нулём и частотой НКШ (в кино, может, замечали иногда, что колесо вращается в "неправильную" сторону? ну так частота вращения колеса оказалась выше половины частоты кадров, и мы видим вращение и с иной частотой, и с иной фазой).

(Оффтоп)

Как-то два вполне грамотных и весьма трудолюбивых аспиранта сделали открытие минимум на Нобелевку. Нашли ритмы ЭЭГ с частотой 22 и 28 Гц, проявлявшиеся исключительно у больных. А потом с грустью догадались - их аппаратура имела частоту дискретизации 128 Гц, что позволяло избавиться от сетевой наводки 50 Гц, НКШ-частота 64 Гц. Но только в аппаратуре есть схема питания, в которой трансформатор, а у его сердечника гистерезис, порождающий нечётные - 150 гц, 250 Гц и т.д. гармоники, а за трансформатором выпрямитель, превращающий переменный 50 Гц в пульсирующий 100 Гц и соответственно гармоники чётные - 100 Гц, 200 гц, 300 Гц и т.п. И они уже за частотой НКШ(У). Порождая комбинационные частоты, "алиасы" А почему только у больных? Здоровых испытуемых они на кафедре писали, в экранированной камере, а больных в палате, среди разных электрических приборов...

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1530138 писал(а):

Скорее EUgeneUS говорил про то, что сигнал, как и его спектр можно восстановить из конечного множества отсчётов. Такой факт тоже есть, хотя он имеет место для специфического класса сигналов - периодических и с конечным (без высоких частот) спектром.

У меня к Вам большая просьба - не нужно делать неверных предположений о том, что я говорил или подразумевал. А так как верные делать не очень-то получается, то не делайте никаких. Можно просто задать уточняющий вопрос.
Пока ехал до компа с нормальной клавиатурой и формулировал ответ, уважаемый Евгений Машеров написал примерно то, что что у меня "сформулировалось". Вот тут:

Евгений Машеров в сообщении #1530147 писал(а):

Число точек сигнала, вообще говоря, не равно числу точек спектра. Можем построить спектр с числом точек, куда большим числа точек в сигнале. Но соседние значения будут высококоррелированы и не нести информации. Можем построить спектр с числом отсчётов существенно меньшим, чем точек в сигнале. Причём это может быть практически полезно (ну, скажем, доктору для контроля глубины наркоза по ЭЭГ нужны лишь суммарные мощности дельта-, тэта-, альфа- и бета-ритмов, 4 точки из возможных 256). Есть вычислительная процедура, БПФ. В ней мы из n входных значений делаем n значений преобразования. Это обеспечивает обратимость преобразования (что не означает, что можно восстановить сигнал по спектру, только возможность обратить ПФ). Причём оно работает с комплексными величинами на входе и выдаёт комплексные на выходе. Если на входе действительные числа, n точек выхода не будут независимыми, половина преобразованных значений - комплексное сопряжённые с другой половиной.

С небольшими уточнениями
1. Насколько понял, вопрос ТС о равенстве количества отсчетов касался именно дискретного преобразования Фурье, а не преобразования временных отсчетов в спектр "вообще".
2. Равенство количества отсчетов напрямую следует из требования существования обратного преобразования.
3. Построение спектра с числом отсчетов меньшим числа отсчетов во временной области, конечно, возможно и часто используется, но это уже не может называться ДПФ.
4. БПФ - всего лишь алгоритм, реализующий ДПФ.
5. Выделение болдом в цитате - моё. Специально, для epros выделил, о чем я говорил ранее по этому частному вопросу (а не про "взаимоднозначное" восстановление бесконечного непрерывного сигнала из дискретного спектра).

[EUgeneUS]

UPD.
Кстати, самое распространенное преобразование (отсчетов во временной области в отсчеты в спектральной области), при котором количество отсчетов в одной области не равно количеству отсчетов в другой - это "спектр мощности". Также упоминаемый выше уважаемым Евгений Машеров.
При этом:
1. $N$ отсчетов во временной области преобразуются в $N/2$ отсчетов в спектральной.
2. Теряется информация о фазах компонент.
3. Такое преобразование уже не является обратимым.

Используется сплошь и рядом. По сути картинки, которые привычно называть "спектром" - это именно оно, а не ДПФ. Так как на этих картинках не отображается, отсутствует информация о фазах компонент.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530155 писал(а):

Специально, для epros выделил, о чем я говорил ранее по этому частному вопросу (а не про "взаимоднозначное" восстановление бесконечного непрерывного сигнала из дискретного спектра).

Спасибо, конечно, за пояснение, но никто не сомневался, что существует обратимая вычислительная процедура для преобразования набора из $n$ чисел в набор из других $n$ чисел, и что именно про неё Вы и говорите. Ваше непонимание заключается в другом. На примере Ваших пунктов 1-5:
1. ДПФ имеет смысл не само по себе, как игра с какими-то наборами чисел. Его смысл заключается в том, что оно соответствует нахождению спектра (Фурье-образа) сигнала. Разумеется, в предположении, что сигнал и спектр дискретизованы.
2. Разумеется, для дискретного преобразования это так. Если это требование есть. А Вам неоднократно было сказано, что при анализе реальных сигналов это требование вовсе не обязано возникать.
3. ДПФ может называться всё, что является дискретным и преобразованием, если это преобразование - преобразование Фурье. Что не исключает, конечно, права любых авторов давать этому понятию более специфические определения. Например, определить таким образом конкретную обратимую вычислительную процедуру для преобразования набора из $n$ чисел в набор из других $n$ чисел. Даже можете определить "единственно правильный" коэффициент перед этим преобразованием: будет ли там $1$, $\frac{1}{n}$ или $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
4. Это верно.

[ViktorArs]

Спасибо всем большое за комментарии!

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1530198 писал(а):

Ваше непонимание заключается в другом. На примере Ваших пунктов 1-5:

Никакого указание на "мое непонимание" в Вашем тексте (после приведенной цитаты) не обнаружил.

Мотивация, почему ДПФ - обратимое преобразование, неоднократно озвучивалась и мной, и уважаемым Евгений Машеров.

Остался терминологический спор, что можно называть ДПФ, а что нельзя. Вы можете его легко разрешить. Достаточно привести хотя бы один учебник, где ДПФ определяется так, как Вы предлагаете. А именно:

epros в сообщении #1530198 писал(а):

ДПФ может называться всё, что является дискретным и преобразованием, если это преобразование - преобразование Фурье.

А не в виде обратимого преобразования.