Кручение связности в римановой геометрии

[sergey zhukov]

epros
Тогда я так понимаю. Связность определяет изменение компонент вектора при его параллельном переносе. Метрика определяет длину вектора в каждой точке пространства по его компонентам.

Мы ожидаем, что при параллельном переносе длина вектора будет сохраняться. Т.е. компоненты вектора при параллельном переносе из точки в точку должны меняться так, чтобы его длина, вычисленная по метрике в точках пути его переноса, сохранялась. В этом случае связность накладывает ограничение на вид метрики (или даже полностью ее определяет).

Если связность и метрика согласованы таким образом (т.е. метрика просто получена из связности), то у связности все равно еще остается некоторая свобода. Вектор может сохранять свою длину при параллельном переносе, но даже при сохранении длины перенос может происходить множеством способов. В процессе переноса вектор может по разному вращаться. В общем случае при переносе вектора по замкнутому контуру хотя его длина и сохраняется, но направление при возвращении становится другим, т.к. связность не гарантирует, что все компоненты вектора вернутся к исходным при переносе по контуру. Это и есть кручение связности. Тут трудность еще в том, что кривизна пространства тоже приводит к повороту вектора, перенесенного по контуру.

Я так понимаю, что отношение угла поворота к площади контура стремится к нулю, если поворот обусловлен только кривизной пространства (т.е. в пределе бесконечно малого контура пространство можно считать плоским). Но если поворот обусловлен кручением связности, то отношение угла к площади не стремится к нулю. В этом разница между этими поворотами.

Если потребовать, чтобы длина переносимого вектора сохранялась, а кручение связности отсутствовало, то у связности не остается свободы, между связностью и метрикой возникает однозначное соответствие. Одно определяет другое и наоборот. Только в этом случае кривая параллельного переноса вектора (геодезическая) и стационарная кривая в смысле длины - это одно и то же.

Если же связность не согласована с метрикой, то параллельно переносимый вектор не сохраняет еще и длину. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру не только поворачивает, но и укорачивает или удлиняет его.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Тогда я так понимаю. Связность определяет изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Компоненты - это про координаты. А связность - это и есть параллельный перенос.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Метрика определяет длину вектора в каждой точке пространства по его компонентам.

Строго говоря, метрика определяет скалярное произведение. Причём оно может быть несимметричным к перестановке сомножителей. Но в более узком смысле (для симметричной метрики) - да, метрика определяет расстояния. В том числе - и длину вектора, которую можно интерпретировать как расстояние между его "концами", если интерпретировать вектор как "направленный отрезок".

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Мы ожидаем, что при параллельном переносе длина вектора будет сохраняться.

Да, если мы ожидаем, что параллельный перенос - это такая штука, при которой линейки и угольники (транспортиры) не меняются, то вправе ожидать, что метрика при переносе не изменится. По-умному это называется согласованностью метрики со связностью.

Увы, не всякая связность позволяет подобрать под неё какую-либо метрику. Например, если при переносе вектора по контуру получается так же направленный, но вдвое больший вектор, то с таким переносом не получится согласовать никакую метрику.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Если связность и метрика согласованы таким образом (т.е. метрика просто получена из связности), то у связности все равно еще остается некоторая свобода.

Да, одной метрике могут соответствовать разные связности с кручением. Причём они отличаются не только антисимметричной частью.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Я так понимаю, что отношение угла поворота к площади контура стремится к нулю, если поворот обусловлен только кривизной пространства (т.е. в пределе бесконечно малого контура пространство можно считать плоским). Но если поворот обусловлен кручением связности, то отношение угла к площади не стремится к нулю. В этом разница между этими поворотами.

Отношение угла поворота вектора, переносимого по малому контуру, к площади этого контура, собственно, и является одной из компонент кривизны. Впрочем, кривизна определена и в неметрическом аффинно связном пространстве.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Если потребовать, чтобы длина переносимого вектора сохранялась, а кручение связности отсутствовало, то у связности не остается свободы, между связностью и метрикой возникает однозначное соответствие

Да, одной метрике соответствует только одна симметричая (без кручения) связность. Но одной симметричной связности могут соответствовать разные метрики. Например, можно увеличить все расстояния вдвое и связность не изменится.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):

Если же связность не согласована с метрикой, то параллельно переносимый вектор не сохраняет еще и длину. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру не только поворачивает, но и укорачивает или удлиняет его.

О том, что перенос что-то укорачивает или удлиняет, Вы можете судить только если у Вас уже есть метрика. Но фокус в том, что пока у Вас нет метрики, у Вас не определено и понятие поворота. Поэтому Вы не можете судить о том, являются ли два вектора в одной точке "просто повёрнутыми" друг относительно друга или у них разные длины.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1529722 писал(а):

Отношение угла поворота вектора, переносимого по малому контуру, к площади этого контура, собственно, и является одной из компонент кривизны.

Да, это я что-то не то сказал. Видимо, нужно брать отношение угла поворота к длине контура. Кручение связности должно как-то сильнее поворачивать вектор, чем кривизна. Отношение угла поворота, обусловленного кривизной, к углу поворота, обусловленного кручением связности, должно стремится к нулю при стягивании контура. Так, по моему.

Спасибо. По моему, я немного продвинулся в понимании этих вещей.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):

нужно брать отношение угла поворота к длине контура

Это вообще непонятно зачем.

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):

Кручение связности должно как-то сильнее поворачивать вектор, чем кривизна

С чего бы это? Антисимметричные компоненты связности могут быть такие же по порядку величины, как и симметричные. И те, и другие одинаково вносят вклад в кривизну.

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):

Отношение угла поворота, обусловленного кривизной

Любой поворот вектора в результате его переноса по контуру "обусловлен кривизной".

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):

По моему, я немного продвинулся в понимании этих вещей.

По-моему, ключевое слово здесь "по-моему".

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1529729 писал(а):

Любой поворот вектора в результате его переноса по контуру "обусловлен кривизной".

А может так? В геометрии Римана-Картана (это геометрия с ненулевым кручением) у тензора кривизны просто меньше симметрий. А в геометрии Римана (это геометрия с нулевым кручением) у тензора кривизны больше симметрий. Т.е. тензор кривизны и там и там не нулевой, просто в первом случае он может быть более сложным, чем во втором.

Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением. Т.е. метрический тензор по пространству везде единичный, а при параллельном переносе вектор вращается. Но кручение - это тоже следствие не нулевого тензора кривизны, так что никакого плоского пространства с кручением нет. И нет смысла разделять поворот вектора при переносе по контуру от кручения и от кривизны. Если он вращается - значит, тензор кривизны не нулевой.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):

В геометрии Римана-Картана (это геометрия с ненулевым кручением) у тензора кривизны просто меньше симметрий. А в геометрии Римана (это геометрия с нулевым кручением) у тензора кривизны больше симметрий.

Это верно. Ровно как и то, что у симметричной связности больше симметрий, чем у связности в общем случае.

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):

Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением

Если Вы "плоским пространством" называете пространство нулевой кривизны, то такое возможно.

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):

Но кручение - это тоже следствие не нулевого тензора кривизны

С какой это стати?

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):

И нет смысла разделять поворот вектора при переносе по контуру от кручения и от кривизны.

Опять у Вас котлеты с мухами смешались. Кручение проявляется при любом переносе, не только по контуру. А при переносе по контуру любой поворот вектора связан с кривизной.

[пианист]

epros в сообщении #1529744 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):

Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением.

Если Вы "плоским пространством" называете пространство нулевой кривизны, то такое возможно.

Такой объект $\approx$ группе Ли (см. связность Картана).
upd Только еще нужно ковариантное постоянство кручения.

[sergey zhukov]

epros
Я попробовал перенести вектор по замкнутому контуру, как в примере у svv. Взял прямоугольные координаты и единичную метрику, а коэффициенты связности взял постоянными по пространству. Получилось следующее:


В первом случае все коэффициенты связности нулевые. Метрика и связность согласованы (длина вектора на всем пути сохраняется). При возврате после переноса по замкнутому контуру вектор не поворачивается (кривизна нулевая). Связность симметрична - кручения нет. Тензор кривизны нулевой.
Во втором случае метрика и связность так же согласованы, кривизна так же нулевая. Связность не симметрична - кручение не нулевое. Тензор кривизны не равен нулю из-за наличия кручения (вектор поворачивается вдоль контура).
В третьем случае связность с метрикой не согласована (вектор меняет длину в процессе переноса по контуру). Коэффициенты связности выбраны так, что кручение отсутствует (связность симметрична). Кривизна нулевая (вектор при возврате в исходную точку не поворачивается). Тензор кривизны равен нулю.
В четвертом случае связность с метрикой опять не согласована. Связность симметричная, кручения нет. Кривизна не нулевая (вектор при возвращении в исходную точку поворачивается). Тензор кривизны не равен нулю.

Кривизна пространства зависит только от того, совпадают ли компоненты вернувшегося вектора с его исходными компонентами после переноса его по контуру. Метрика для этого сравнения не требуется.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529774 писал(а):

Во втором случае метрика и связность так же согласованы, кривизна так же нулевая. Связность не симметрична - кручение не нулевое. Тензор кривизны не равен нулю из-за наличия кручения (вектор поворачивается вдоль контура).

Каким образом "кривизна нулевая" уживается с "тензор кривизны не равен нулю"? Вы его считали? И что значит "из-за наличия кручения"?

sergey zhukov в сообщении #1529774 писал(а):

В третьем случае связность с метрикой не согласована (вектор меняет длину в процессе переноса по контуру). Коэффициенты связности выбраны так, что кручение отсутствует (связность симметрична). Кривизна нулевая (вектор при возврате в исходную точку не поворачивается). Тензор кривизны равен нулю.

Замечу, что "кривизна нулевая" означает не только отсутствие поворота вектора при возврате в исходную точку, но и отсутствие изменения его длины при возврате в исходную точку.

[sergey zhukov]

epros
Я попробовал вычислить компоненты тензора кривизны по формуле $R^s_{jkm}=\Gamma^p_{jk}\Gamma^s_{pm}-\Gamma^p_{jm}\Gamma^s_{pk}$. Да, оказывается он нулевой во всех случаях, кроме последнего.
Я раньше думал, что свойство кручения пространства следует из тензора кривизны. Но на самом деле нет. Тензор кривизны и тензор кручения следуют из коэффициентов связности, а не друг из друга.
Меня немного запутал тот факт, что тензор кривизны в геометрии Римана-Картана имеет меньше симметрий, чем в геометрии Римана. Я подумал, что его дополнительная свобода и отвечает за кручение. Т.е. он не обращается в ноль при наличии кручения. А на самом деле пространство в геометрии Римана-Картана просто может быть искривлено некоторыми дополнительными способами, отсутствующими в геометрии Римана. К кручению же тензор кривизны в геометрии Римана-Картана по прежнему отношения не имеет. За это отвечает тензор кручения.

Я вообще правильно понимаю, что кручение, как и кривизна - это свойства пространства? Часто говорят "кручение связности", но редко я слышал "кривизна связности". А вот "кривизна пространства" слышу гораздо чаще, чем "кручение пространства".

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529836 писал(а):

Я вообще правильно понимаю, что кручение, как и кривизна - это свойства пространства? Часто говорят "кручение связности", но редко я слышал "кривизна связности". А вот "кривизна пространства" слышу гораздо чаще, чем "кручение пространства".

Кручение - это свойство пространства, потому что это свойство связности пространства. Кривизна - это свойство пространства, потому что это свойство тензора кривизны пространства - "быть ненулевым". "Кривизна пространства" Вы слышите часто наверняка потому, что говорить "кривизна тензора кривизны" - это масло масляное. "Кривизна связности" - можно сказать, но это будет очень уж косвенно, ибо чтобы понять, что есть кривизна, нужно из этой связности сначала посчитать тензор кривизны.