Кручение связности в римановой геометрии

[sergey zhukov]

Возьмем шар, отметим на нем две произвольные точки $A$ и $B$, и проведем между ними на шаре произвольную линию $S$. Прокатим этот шар по плоскости без проскальзывания так, чтобы точка качения шара всегда находилась на нарисованной линии. На плоскости получим некоторую линию качения. Если нарисовать в начале и конце этой линии на плоскости пару параллельных векторов, то мы получим результат параллельного переноса вектора на шаре вдоль кривой $S$.
Шар можно катить с верчением или без, т.е. в каждой точке кривой его дополнительно можно еще поворачивать вокруг точки качения. Если катить шар с верчением, то на плоскости получится другая кривая качения, и результат параллельного переноса изменится.
Можно ли сказать, что для данного случая верчение шара - это то же самое, что и кручение связности в римановой геометрии?

[Slav-27]

Да; строго говоря, так, как сформулировано, оно неверно, конечно, потому что кручение связности -- это тензор, а верчение шара -- скорее некий процесс; но картинка именно такая. Любые 2 связности отличаются на 1-форму со значениями в эндоморфизмах касательного расслоения, а если обе согласованы с метрикой, то эти эндоморфизмы будут из алгебры Ли ортогональной группы, то есть антисамосопряжённые $A^\dagger=-A$, "генераторы поворотов". Говоря иначе, если зафиксирован какой-то путь на многообразии, то параллельные переносы касательного пространства вдоль него относительно таких 2 связностей "отличаются на бесконечно малое подворачивание в каждой точке".

Как математически сформулировать связь "катится без верчения"? Я думаю, что $\pmb\omega(t)\cdot\mathbf n=0$, где $\mathbf n$ -- единичная нормаль к плоскости, $\pmb\omega$ -- угловая скорость шара. Интересно выразить явно $\pmb\omega(t)\cdot\mathbf n$ в терминах связности и посмотреть, правда ли оно зависит только от скорости и от кручения связности в точке контакта, или зависит ещё от чего-то...

[sergey zhukov]

Slav-27
Спасибо. Я пока не могу математически это показать, т.к. еще плохо понимаю тензоры. Связность я тоже понимаю плохо, особенно связность без метрики.
Риманова геометрия - это все же геометрия. Некоторые ее понятия в некоторых частных случаях можно все же продемонстрировать геометрически на двумерной поверхности. Может, оно и не сильно помогает, когда ты освоил алгебру тензоров и можешь решать задачи вообще без каких-либо визуальных образов, которые только все усложняют. Но чтобы до этого дойти, нужно, как мне кажется, начать с простых примеров в картинках и постепенно показывать, как, где и почему отказывают наглядные представления и как геометрия по необходимости превращается в алгебру без единой картинки.
Например, если взять искривленную поверхность (скажем, шар), нанести на нее произвольную сетку координат (скажем, параллели и меридианы), а затем нарисовать в каждой точке этой поверхности одинаковые бесконечно малые окружности, то компоненты метрического тензора в данной точке координат будут коэффициентами в уравнении окружности в этой точке, записанного в косоугольных координатах, которыми в данной точке представлена координатная сетка. Т.е. метрический тензор - это и есть в данном случае бесконечно малая окружность, одинаковая в каждой точке поверхности, а сложность ее описания (переменные по поверхности компоненты метрического тензора) возникает исключительно из-за сложности координат, в которых она описывается. Координаты получаются сложными потому, что на искривленной поверхности любая сетка координат неизбежно получается представленной в разных точках разными косоугольными локальными координатами.
Метрический тензор в данной точке поверхности не зависит от смены координат, т.к. он есть геометрический объект (окружность). А равенство нулю ковариантной производной метрического тензора значит, что все окружности по поверхности одинаковые.
Когда это становится ясно, можно обратить внимание на то, что как поверхность с нанесенными координатами определяет компоненты метрического тензора, так и наоборот - компоненты метрического тензора в заданных координатах определяют поверхность. Далее можно заметить, что описание поверхностей с помощью метрики более общее - в данных координатах каждой поверхности в трехмерном пространстве соответствует метрика, но не каждой метрике - поверхность, которую можно изобразить в трехмерном пространстве. Поскольку в дифференциальной геометрии используется именно более общее описание - через метрику - то уже для двумерного случая наглядно изобразить поверхность с произвольной метрикой невозможно. И поэтому приходится с самого начала отказаться даже от двумерных картинок.
По моему, такого типа пояснения нужны в самом начале именно для того, чтобы с одной стороны, сразу понять ограниченность картинок, а с другой - понять, где они еще адекватно работают.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1515342 писал(а):

если взять искривленную поверхность (скажем, шар), нанести на нее произвольную сетку координат (скажем, параллели и меридианы), а затем нарисовать в каждой точке этой поверхности одинаковые бесконечно малые окружности, то компоненты метрического тензора в данной точке координат будут коэффициентами в уравнении окружности в этой точке, записанного в косоугольных координатах, которыми в данной точке представлена координатная сетка.

Хочу только исправить (вы в вашем сообщение несколько раз это повторили).
Сетка координат параллелей и меридиан на сфере НЕ косоугольна (параллели и меридианы везде пересекаются под прямым углом, кроме точек сингулярностей на полюсов где это не определено - т.е. это ортогональная сетка координат).
В соответствующей метрикe на сфере $ds^2 = R^2{d\theta}^2 + R^2{\sin}^2{\theta} {d\varphi}^2$ для этой сетки, аналитически это выражается отсутствием перекрестного члена $d\theta d\varphi$ (который отвечает за "косоугольность" между соответных координатных линий).
Тоже самое для для полярной системе координат на плоскости, и сферической и цилиндрической в трехмерном плоском пространстве - все это ортогональные системы координат (в качестве более экзотических кривых, но ортогональных координат на плоском пространстве например параболические).

[sergey zhukov]

manul91
Совершенно верно. Я хотел сказать, что длина единичных ортов и/или угол между ними на любой сетке, нанесенной на искривленную поверхность, неизбежно переменные в разных точках поверхности. Конечно, в случае ортогональных координат остаются только орты переменной длины, как у меридиан и параллелей на сфере.

[svv]

Связь между кручением связности и «подкручиванием» вектора при параллельном переносе можно изучить на простом примере плоскости с евклидовой метрикой. Будем использовать декартовы координаты $(x^1,x^2)$. Пусть связность согласована с метрикой, хоть не обязательно симметрична. Тогда в каждой точке $x$ символы Кристоффеля будут удовлетворять требованию $\Gamma^i_{jk}+\Gamma^j_{ik}=0$, которое уменьшает число независимых коэффициентов в точке до двух:
$\begin{array}{l}\Gamma^{1}_{21}=-\Gamma^{2}_{11}=:a\\[0.3ex]\Gamma^{1}_{22}=-\Gamma^{2}_{12}=:b\\[0.3ex]\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{12}=\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{22}=0\end{array}$

Параметры $a(x), b(x)$ определяют «угловую скорость вращения» вектора при параллельном переносе. Будем переносить вектор $\mathbf v=(\cos\gamma,\sin\gamma)$ в направлении вектора $\mathbf u=(\cos\varphi,\sin\varphi)$. Тогда угол $\gamma$ будет меняться со скоростью
$\frac{d\gamma}{ds}=a\cos\varphi+b\sin\varphi$,
где $s$ — длина пути.

Эта формула показывает, что (за исключением случая $a=b=0$, когда связность симметрична) в каждой точке есть два противоположных направления с максимальной скоростью вращения переносимого вектора (при переносе в одном из них вектор вращается по часовой стрелке, в другом — против). И есть два противоположных направления с нулевой скоростью вращения. Вообще очевидно, что при смене направления переноса на противоположное скорость вращения меняет знак.

[sergey zhukov]

svv
Значит, получается так:

Я представлял кручение в двумерном плоском случае проще. Думал, что угол поворота переносимого вектора будет фиксированным по всем направлениям, т.е. $\frac{\partial \gamma}{\partial s}=\omega(x)$, где $\omega (x)$ - угловая скорость поворота вектора в точке $х$. Спасибо, стало понятнее.

[svv]

Да, всё верно.
Вектор $\mathbf v$, параллельно перенесённый вдоль кривой из точки $A$ в точку $B$, а потом обратно вдоль той же кривой в точку $A$, должен совпасть с исходным вектором. Это видно из многих соображений, например, из линейности оператора $\nabla_{\mathbf u}$ по $\mathbf u$ (это вектор, задающий направление переноса). Значит, если "туда" вращение $\mathbf v$ будет по часовой стрелке, то "обратно" — против. Значит, из непрерывности, в каком-то направлении $\mathbf v$ вообще не будет вращаться.

[sergey zhukov]

svv
Вот еще что я не могу понять. Если заданы координаты и метрика, то в некоторых случаях это можно изобразить , как искривленную двумерную поверхность. Тогда параллельный перенос вектора кажется однозначно определенным. Например, вдоль геодезических вектор параллельно переносится так, что он сохранет угол к вектору переноса. Кажется, что есть естественный способ такого перенесения. Скажем, ось маленькой катушки с двумя приваренными одинаковыми колесами, катящаяся по этой поверхности, переносится параллельно.

Или это и называется "связность, согласованная с метрикой"? И если связность не согласована с метрикой, то, скажем, перенос вектора вдоль геодезической не будет сохранять угол? Или же случай, когда метрика не согласована со связностью, вообще нельзя изобразить поверхностью ни в каком случае?

[arseniiv]

Изобразить точно всегда можно, просто мы будем катать многообразие по плоскому пространству тоже без метрики. В таком плоском пространстве мы можем измерять только отношения длин параллельных отрезков, отношения площадей параллельных площадок и т. п. вплоть до отношений $n$-мерных объёмов, которые все уже «параллельны» между собой, и такое пространство допускает больше движений: ещё всякие там сдвиги и растяжения например; так что свободы бесконечно мало покрутить многообразие вокруг точки касания с плоским пространством будет больше.

(Но дальше в этой теме я снова читатель.)

-- Пт апр 30, 2021 19:20:11 --

(А если многообразие было ориентированным, то кататься оно будет по ориентированному плоскому пространству и т. п..)

[sergey zhukov]

arseniiv
Я вот о чем. Эволюция понятия "метрика" (по крайней мере у меня она сложилась так) достаточно прозрачно просматривается из геометрии:
1. Функции (от координат) коэффициентов уравнения маленького круга радиуса $ds$ в криволинейных координатах на плоскости;
2. Те же функции в криволинейных координатах на искривленной поверхности;
3. Просто произвольно заданные (всюду положительные) функции координат при членах квадратичной формы в пространстве произвольной размерности.

А откуда исторически взялось понятие "связность", я не вижу. Вероятно, оно возникло уже в развитом формализме?
Например, двумерная поверхность накладывает некоторые связи на компоненты метрики. А мы можем игнорировать это и посмотреть, что можно получить, задав все компоненты метрики независимо.
Точно так же при работе с метрикой возникли некоторые функции координат, которые однозначно следовали из метрики. А мы решили посмотреть, что получится, если задать их независимо от метрики.

Т.е. может быть связность никогда и не имела никакого наглядного геометрического образа? Просто оказалось, что формализ тут имеет некоторую свободу?

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1516199 писал(а):

Если заданы координаты и метрика, то в некоторых случаях это можно изобразить , как искривленную двумерную поверхность. Тогда параллельный перенос вектора кажется однозначно определенным. Например, вдоль геодезических вектор параллельно переносится так, что он сохранет угол к вектору переноса. Кажется, что есть естественный способ такого перенесения.

Такой способ параллельного переноса даёт связность Леви-Чивиты. Это аффинная связность, удовлетворяющая двум требованиям (важны оба):
1) она согласована с метрикой (синонимы: сохраняет метрику, сохраняет скалярное произведение);
2) имеет нулевое кручение (синоним: симметрична).
Для многообразия $M$ с римановой метрикой $g$ такая связность существует и единственна.

sergey zhukov в сообщении #1516199 писал(а):

Кажется, что есть естественный способ такого перенесения. Скажем, ось маленькой катушки с двумя приваренными одинаковыми колесами, катящаяся по этой поверхности, переносится параллельно.

Да, в случае двумерной поверхности, вложенной в $\mathbb R^3$, такой же способ параллельного переноса даёт маленькая катушка (при условии, что оба колёсика проходят одинаковый путь в единицу времени, что не гарантируется жёсткостью катушки).

sergey zhukov в сообщении #1516199 писал(а):

Или это и называется "связность, согласованная с метрикой"?

Теперь понятно, что нет: «естественная» связность должна быть ещё симметрична, а не только согласована с метрикой. (Понятно, что ссылка на формулу $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ мало объясняет, что такое симметричная связность, но при необходимости можно привести и более наглядный образ.)


В нашем же случае связность согласована с метрикой, но несимметрична. В моём примере с евклидовой плоскостью это приведёт к тому, что геодезические будут совсем не похожи на прямые линии в смысле $ax+by=c$, хотя перенос векторов вдоль этих геодезических будет сохранять длину и углы. Как могут геодезические получаться другими? Известно, что связность можно разложить на симметричную часть и антисимметричную часть (тензор кручения), при этом геодезические определяются только симметричной частью. Но симметричная часть связности, согласованной с метрикой, вообще говоря, сама с метрикой не согласована!

sergey zhukov в сообщении #1516199 писал(а):

И если связность не согласована с метрикой, то, скажем, перенос вектора вдоль геодезической не будет сохранять угол?

А в этом случае может не сохраняться не только угол, но и длина (естественно, я говорю о случае, когда метрика вообще задана). Гарантированно сохраняется только нулевой угол между геодезической и перенесённым вдоль неё касательным вектором — по определению геодезической.

sergey zhukov в сообщении #1516199 писал(а):

Или же случай, когда метрика не согласована со связностью, вообще нельзя изобразить поверхностью ни в каком случае?

Да, поверхностью Вы зададите метрику, а связность надо изобразить как-то дополнительно, иначе получим только естественную связность — Леви-Чивиты.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1516228 писал(а):

Точно так же при работе с метрикой возникли некоторые функции координат, которые однозначно следовали из метрики. А мы решили посмотреть, что получится, если задать их независимо от метрики.

Т.е. может быть связность никогда и не имела никакого наглядного геометрического образа? Просто оказалось, что формализ тут имеет некоторую свободу?

Эрвин Шрёдингер в книге "Пространственно-временная структура Вселенной" писал (с.39):

Цитата:

Если мы рассмотрим две аффинные связности $\Gamma^k{}_{lm}$ и $\hat{\Gamma}^k{}_{lm}$ (что допустимо и очень часто рассматривается) ...

Стало быть, ещё в 1950-е годы (а может, и намного раньше) связность, не ассоциированная с метрикой, рассматривалась как полезный инструмент в теоретической физике.

[sergey zhukov]

svv
Кажется, к понятиям дифференциальной геометрии (в частности, связность и метрика) как мне теперь кажется, проще всего подходить так:

Если взять криволинейные координаты на плоскости и проследить за изменением компонент любого вектора при его параллельном перемещении, то можно заметить общую форму для вычисления дифференциала компонент: $\partial A^i=\Gamma^i_{jk}A^j\partial x^k$. Причем в этой форме не все функции кооординат $\Gamma^i_{jk}$ оказываются независимы. Естественно задать вопрос: что получится, если все эти функции взять произвольными? Это и приводит, в частности, к понятию кручения связности.

То же самое происходит и с метрикой. Если взять криволинейные координаты на плоскости и вычислить в них длину произвольного вектора через его компоненты в любой точке, то можно заметить общую форму для длины вектора: $A^2=g_{ij}x^ix^j$. Причем в этой форме не все функции координат $g_{ij}$ оказываются независимы. Естественно задать вопрос: что получится, если все эти функции взять произвольными? Это приводит, в частности, к понятию кривизны пространства.

Т.е. плоское пространство в криволинейных координатах дает нам некоторые общие формы, на которые наложены некоторые ограничения.Тогда понятно стремление снять эти ограничения и рассмотреть самый общий случай, который следует из этих форм. Новые понятия (кривизна, кручение) самым естественным образом получаются, похоже, отсюда. Конечно, в этом случае трудно визуализировать эти понятия.

Я так понимаю, что даже в ОТО некоторые ограничения на эти функции еще остаются. Например, кручение принято равным нулю, а метрика выражается симметричным тензором.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1529691 писал(а):

Это приводит, в частности, к понятию кривизны пространства.

Чтобы прийти к понятию кривизны пространства координаты не только не нужны, но даже где-то методически вредны. Всё должно начинаться с понятия параллельного переноса вектора: Как только мы задумается о том, что будет, если перенести вектор по замкнутому контуру, так появляются варианты:
1) Если вектор сохраняется, то это пространство нулевой кривизны.
2) Если сохраняется только длина вектора, то имеем в общем случае искривлённое пространство, в котором параллельный перенос определён согласованным с метрикой способом.
3) Если ни то, ни другое, то параллельный перенос не согласован с метрикой или пространство вовсе не метрическое.