2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение26.08.2021, 16:35 


17/10/16
3894
epros
Тогда я так понимаю. Связность определяет изменение компонент вектора при его параллельном переносе. Метрика определяет длину вектора в каждой точке пространства по его компонентам.

Мы ожидаем, что при параллельном переносе длина вектора будет сохраняться. Т.е. компоненты вектора при параллельном переносе из точки в точку должны меняться так, чтобы его длина, вычисленная по метрике в точках пути его переноса, сохранялась. В этом случае связность накладывает ограничение на вид метрики (или даже полностью ее определяет).

Если связность и метрика согласованы таким образом (т.е. метрика просто получена из связности), то у связности все равно еще остается некоторая свобода. Вектор может сохранять свою длину при параллельном переносе, но даже при сохранении длины перенос может происходить множеством способов. В процессе переноса вектор может по разному вращаться. В общем случае при переносе вектора по замкнутому контуру хотя его длина и сохраняется, но направление при возвращении становится другим, т.к. связность не гарантирует, что все компоненты вектора вернутся к исходным при переносе по контуру. Это и есть кручение связности. Тут трудность еще в том, что кривизна пространства тоже приводит к повороту вектора, перенесенного по контуру.

Я так понимаю, что отношение угла поворота к площади контура стремится к нулю, если поворот обусловлен только кривизной пространства (т.е. в пределе бесконечно малого контура пространство можно считать плоским). Но если поворот обусловлен кручением связности, то отношение угла к площади не стремится к нулю. В этом разница между этими поворотами.

Если потребовать, чтобы длина переносимого вектора сохранялась, а кручение связности отсутствовало, то у связности не остается свободы, между связностью и метрикой возникает однозначное соответствие. Одно определяет другое и наоборот. Только в этом случае кривая параллельного переноса вектора (геодезическая) и стационарная кривая в смысле длины - это одно и то же.

Если же связность не согласована с метрикой, то параллельно переносимый вектор не сохраняет еще и длину. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру не только поворачивает, но и укорачивает или удлиняет его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение26.08.2021, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Тогда я так понимаю. Связность определяет изменение компонент вектора при его параллельном переносе.
Компоненты - это про координаты. А связность - это и есть параллельный перенос.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Метрика определяет длину вектора в каждой точке пространства по его компонентам.
Строго говоря, метрика определяет скалярное произведение. Причём оно может быть несимметричным к перестановке сомножителей. Но в более узком смысле (для симметричной метрики) - да, метрика определяет расстояния. В том числе - и длину вектора, которую можно интерпретировать как расстояние между его "концами", если интерпретировать вектор как "направленный отрезок".

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Мы ожидаем, что при параллельном переносе длина вектора будет сохраняться.
Да, если мы ожидаем, что параллельный перенос - это такая штука, при которой линейки и угольники (транспортиры) не меняются, то вправе ожидать, что метрика при переносе не изменится. По-умному это называется согласованностью метрики со связностью.

Увы, не всякая связность позволяет подобрать под неё какую-либо метрику. Например, если при переносе вектора по контуру получается так же направленный, но вдвое больший вектор, то с таким переносом не получится согласовать никакую метрику.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Если связность и метрика согласованы таким образом (т.е. метрика просто получена из связности), то у связности все равно еще остается некоторая свобода.
Да, одной метрике могут соответствовать разные связности с кручением. Причём они отличаются не только антисимметричной частью.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Я так понимаю, что отношение угла поворота к площади контура стремится к нулю, если поворот обусловлен только кривизной пространства (т.е. в пределе бесконечно малого контура пространство можно считать плоским). Но если поворот обусловлен кручением связности, то отношение угла к площади не стремится к нулю. В этом разница между этими поворотами.
Отношение угла поворота вектора, переносимого по малому контуру, к площади этого контура, собственно, и является одной из компонент кривизны. Впрочем, кривизна определена и в неметрическом аффинно связном пространстве.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Если потребовать, чтобы длина переносимого вектора сохранялась, а кручение связности отсутствовало, то у связности не остается свободы, между связностью и метрикой возникает однозначное соответствие
Да, одной метрике соответствует только одна симметричая (без кручения) связность. Но одной симметричной связности могут соответствовать разные метрики. Например, можно увеличить все расстояния вдвое и связность не изменится.

sergey zhukov в сообщении #1529716 писал(а):
Если же связность не согласована с метрикой, то параллельно переносимый вектор не сохраняет еще и длину. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру не только поворачивает, но и укорачивает или удлиняет его.

О том, что перенос что-то укорачивает или удлиняет, Вы можете судить только если у Вас уже есть метрика. Но фокус в том, что пока у Вас нет метрики, у Вас не определено и понятие поворота. Поэтому Вы не можете судить о том, являются ли два вектора в одной точке "просто повёрнутыми" друг относительно друга или у них разные длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение26.08.2021, 20:02 


17/10/16
3894
epros в сообщении #1529722 писал(а):
Отношение угла поворота вектора, переносимого по малому контуру, к площади этого контура, собственно, и является одной из компонент кривизны.

Да, это я что-то не то сказал. Видимо, нужно брать отношение угла поворота к длине контура. Кручение связности должно как-то сильнее поворачивать вектор, чем кривизна. Отношение угла поворота, обусловленного кривизной, к углу поворота, обусловленного кручением связности, должно стремится к нулю при стягивании контура. Так, по моему.

Спасибо. По моему, я немного продвинулся в понимании этих вещей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение26.08.2021, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):
нужно брать отношение угла поворота к длине контура
Это вообще непонятно зачем.

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):
Кручение связности должно как-то сильнее поворачивать вектор, чем кривизна
С чего бы это? Антисимметричные компоненты связности могут быть такие же по порядку величины, как и симметричные. И те, и другие одинаково вносят вклад в кривизну.

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):
Отношение угла поворота, обусловленного кривизной
Любой поворот вектора в результате его переноса по контуру "обусловлен кривизной".

sergey zhukov в сообщении #1529725 писал(а):
По моему, я немного продвинулся в понимании этих вещей.
По-моему, ключевое слово здесь "по-моему". :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение26.08.2021, 22:29 


17/10/16
3894
epros в сообщении #1529729 писал(а):
Любой поворот вектора в результате его переноса по контуру "обусловлен кривизной".

А может так? В геометрии Римана-Картана (это геометрия с ненулевым кручением) у тензора кривизны просто меньше симметрий. А в геометрии Римана (это геометрия с нулевым кручением) у тензора кривизны больше симметрий. Т.е. тензор кривизны и там и там не нулевой, просто в первом случае он может быть более сложным, чем во втором.

Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением. Т.е. метрический тензор по пространству везде единичный, а при параллельном переносе вектор вращается. Но кручение - это тоже следствие не нулевого тензора кривизны, так что никакого плоского пространства с кручением нет. И нет смысла разделять поворот вектора при переносе по контуру от кручения и от кривизны. Если он вращается - значит, тензор кривизны не нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение27.08.2021, 07:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):
В геометрии Римана-Картана (это геометрия с ненулевым кручением) у тензора кривизны просто меньше симметрий. А в геометрии Римана (это геометрия с нулевым кручением) у тензора кривизны больше симметрий.
Это верно. Ровно как и то, что у симметричной связности больше симметрий, чем у связности в общем случае.

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):
Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением
Если Вы "плоским пространством" называете пространство нулевой кривизны, то такое возможно.

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):
Но кручение - это тоже следствие не нулевого тензора кривизны
С какой это стати?

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):
И нет смысла разделять поворот вектора при переносе по контуру от кручения и от кривизны.
Опять у Вас котлеты с мухами смешались. Кручение проявляется при любом переносе, не только по контуру. А при переносе по контуру любой поворот вектора связан с кривизной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение27.08.2021, 08:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
epros в сообщении #1529744 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1529733 писал(а):
Я думал, что возможно говорить о плоском пространстве с не нулевым кручением.

Если Вы "плоским пространством" называете пространство нулевой кривизны, то такое возможно.

Такой объект $\approx$ группе Ли (см. связность Картана).
upd Только еще нужно ковариантное постоянство кручения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение27.08.2021, 16:23 


17/10/16
3894
epros
Я попробовал перенести вектор по замкнутому контуру, как в примере у svv. Взял прямоугольные координаты и единичную метрику, а коэффициенты связности взял постоянными по пространству. Получилось следующее:
Изображение

В первом случае все коэффициенты связности нулевые. Метрика и связность согласованы (длина вектора на всем пути сохраняется). При возврате после переноса по замкнутому контуру вектор не поворачивается (кривизна нулевая). Связность симметрична - кручения нет. Тензор кривизны нулевой.
Во втором случае метрика и связность так же согласованы, кривизна так же нулевая. Связность не симметрична - кручение не нулевое. Тензор кривизны не равен нулю из-за наличия кручения (вектор поворачивается вдоль контура).
В третьем случае связность с метрикой не согласована (вектор меняет длину в процессе переноса по контуру). Коэффициенты связности выбраны так, что кручение отсутствует (связность симметрична). Кривизна нулевая (вектор при возврате в исходную точку не поворачивается). Тензор кривизны равен нулю.
В четвертом случае связность с метрикой опять не согласована. Связность симметричная, кручения нет. Кривизна не нулевая (вектор при возвращении в исходную точку поворачивается). Тензор кривизны не равен нулю.

Кривизна пространства зависит только от того, совпадают ли компоненты вернувшегося вектора с его исходными компонентами после переноса его по контуру. Метрика для этого сравнения не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение27.08.2021, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
sergey zhukov в сообщении #1529774 писал(а):
Во втором случае метрика и связность так же согласованы, кривизна так же нулевая. Связность не симметрична - кручение не нулевое. Тензор кривизны не равен нулю из-за наличия кручения (вектор поворачивается вдоль контура).
Каким образом "кривизна нулевая" уживается с "тензор кривизны не равен нулю"? Вы его считали? И что значит "из-за наличия кручения"?

sergey zhukov в сообщении #1529774 писал(а):
В третьем случае связность с метрикой не согласована (вектор меняет длину в процессе переноса по контуру). Коэффициенты связности выбраны так, что кручение отсутствует (связность симметрична). Кривизна нулевая (вектор при возврате в исходную точку не поворачивается). Тензор кривизны равен нулю.
Замечу, что "кривизна нулевая" означает не только отсутствие поворота вектора при возврате в исходную точку, но и отсутствие изменения его длины при возврате в исходную точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение28.08.2021, 16:10 


17/10/16
3894
epros
Я попробовал вычислить компоненты тензора кривизны по формуле $R^s_{jkm}=\Gamma^p_{jk}\Gamma^s_{pm}-\Gamma^p_{jm}\Gamma^s_{pk}$. Да, оказывается он нулевой во всех случаях, кроме последнего.
Я раньше думал, что свойство кручения пространства следует из тензора кривизны. Но на самом деле нет. Тензор кривизны и тензор кручения следуют из коэффициентов связности, а не друг из друга.
Меня немного запутал тот факт, что тензор кривизны в геометрии Римана-Картана имеет меньше симметрий, чем в геометрии Римана. Я подумал, что его дополнительная свобода и отвечает за кручение. Т.е. он не обращается в ноль при наличии кручения. А на самом деле пространство в геометрии Римана-Картана просто может быть искривлено некоторыми дополнительными способами, отсутствующими в геометрии Римана. К кручению же тензор кривизны в геометрии Римана-Картана по прежнему отношения не имеет. За это отвечает тензор кручения.

Я вообще правильно понимаю, что кручение, как и кривизна - это свойства пространства? Часто говорят "кручение связности", но редко я слышал "кривизна связности". А вот "кривизна пространства" слышу гораздо чаще, чем "кручение пространства".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кручение связности в римановой геометрии
Сообщение30.08.2021, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
sergey zhukov в сообщении #1529836 писал(а):
Я вообще правильно понимаю, что кручение, как и кривизна - это свойства пространства? Часто говорят "кручение связности", но редко я слышал "кривизна связности". А вот "кривизна пространства" слышу гораздо чаще, чем "кручение пространства".

Кручение - это свойство пространства, потому что это свойство связности пространства. Кривизна - это свойство пространства, потому что это свойство тензора кривизны пространства - "быть ненулевым". "Кривизна пространства" Вы слышите часто наверняка потому, что говорить "кривизна тензора кривизны" - это масло масляное. "Кривизна связности" - можно сказать, но это будет очень уж косвенно, ибо чтобы понять, что есть кривизна, нужно из этой связности сначала посчитать тензор кривизны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group