Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах : Вопросы преподавания - Страница 2 fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение29.07.2021, 14:18 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение29.07.2021, 14:39 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
xagiwo в сообщении #1527547 писал(а):
Шень рекомендует через 10-15 минут ставить два :)
Когда я в начале 90-х работал в нашем местном педе ассистентом, мой лектор (по алгебре) практиковал такую вещь: студенты у него на зачете вычисляли определителя 3-го порядка на время (давалось, кажется, 30 секунд). На мой вопрос, какой в этом смысл, страшно обиделся. Потом он перебрался в Москву, преподавал (а может, и до сих пор преподает) в МФТИ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение29.07.2021, 16:48 


11/02/20
57
nnosipov, ShMaxG Спасибо!

Red_Herring в сообщении #1527545 писал(а):
В принципе такие вещи надо уметь решать, но не на время и не на экзамене (и не на соревнованиях). И не всем. Иначе это превращается в IMO style drill.

Возможно и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение29.07.2021, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
xagiwo в сообщении #1527527 писал(а):
FL91 я видел такую
подборку, вроде составленную из нескольких других. Впрочем, задачи не впечатляют

Спасибо! Ознакомился с темой, не знал, что так делали. Комментарии Варди в "Эйнштейне" к задачам любопытные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение31.07.2021, 10:59 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
StaticZero в сообщении #1527615 писал(а):
Комментарии Варди в "Эйнштейне" к задачам любопытные.
Я смотрел его препринт (файл прилагаю). Решая пресловутое уравнение 4-й степени (problem 16), он почему-то считает, что советские школьники (1984 год) должны хорошо знать комплексные числа, хотя в те времена их давно уже не было в школьной программе. По-моему, он совершенно не понял, в чем прикол в этой задаче, а он вот в чем: корней --- вещественных --- нет, но это трудно доказать, потому что минимум многочлена примерно $0,005$. Впрочем, для "сдвинутого" варианта $z^4-30z^2+32z+353$ работает стандартная техника: будем искать разложение $z^4-30z^2+32z+353=(z^2+az+b)(z^2+cz+d)$ с неопределенными (вещественными!) коэффициентами. Технически этот план, конечно, реализовать сложно (за 20 минут экзамена просто невозможно), но в конечном итоге $a$ окажется равным учетверенному корню биквадратного уравнения $t^4-4t^2-1=0$, т.е. $a=\pm 4\sqrt{2+\sqrt{5}}$. Тогда $b=(2-\sqrt{5})a+1+8\sqrt{5}$. И вот теперь надо доказывать, что $a^2-4b<0$ (это действительно чуть-чуть меньше нуля). Поскольку все радикалы квадратные, это можно сделать возведением в квадрат (приближенные вычисления не нужны).

Вот, кстати, примерно то же самое от Sergey Markelov (см. файл Epilogue_12_28_2016-158.pdf).


Вложения:
Epilogue_12_28_2016-158.pdf [62.87 Кб]
Скачиваний: 379
Vardi-solutions.pdf [728.42 Кб]
Скачиваний: 382
 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение31.07.2021, 12:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
xagiwo в сообщении #1527527 писал(а):
Впрочем, задачи не впечатляют
Надо делать поправку на время, все-таки это было 30-40 лет назад. С тех пор произошел заметный прогресс: старые трюки все выучили и они превратились во что-то стандартное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение31.07.2021, 13:06 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov угу. А ещё я, как оказалось, не очень внимательно читал и пропустил все интересные задачи, так что моё высказывание лучше вообще не принимать к сведению)

 Профиль  
                  
 
 Re: ФизМатЮмор: анекдоты, байки, шутки, афоризмы и др.
Сообщение01.08.2021, 07:20 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
nnosipov в сообщении #1527450 писал(а):
Это все малоинтересные фантазии Шеня на почве притеснения евреев на вступительных экзаменах в МГУ столетней давности. Казалось бы, столько времени с тех пор прошло, должно же было отпустить, ан нет, у него все равно периодически подгорает.

Вы это серьёзно? Стольким людям жизнь исковеркали. Беллу Абрамовну Субботовскую, которая которая решилась помочь, так просто убили. Сендерова, Каневского в тюрьму посадили. Ничего себе "малоинтересные фантазии"! Одно из самых черных пятен в истории России! Как Вам не стыдно за такие слова?! По-моему, России об этих ужасах дискриминации нужно вечно помнить и каяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение01.08.2021, 07:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
arqady
Давайте заниматься математикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение04.08.2021, 21:14 


20/09/09
2063
Уфа
Подобная задача была на олимпиаде "Покорите Воробьевы горы" - 2011, задача №8: https://rsr-olymp.ru/upload/files/tasks/115/2010/5_17366-tasks&ans-math-11-zaoch_tur-10-11.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение04.08.2021, 21:24 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
Rasool в сообщении #1528082 писал(а):
Подобная задача
Подобная какой задаче? Здесь обсуждаются уравнения 4-й степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение05.08.2021, 22:45 


20/09/09
2063
Уфа
nnosipov в сообщении #1528083 писал(а):
Rasool в сообщении #1528082 писал(а):
Подобная задача
Подобная какой задаче? Здесь обсуждаются уравнения 4-й степени.

А, извините - задача №8 - система квадратных уравнений. Но схемы решений похожи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение06.08.2021, 03:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
Rasool в сообщении #1528157 писал(а):
Но схемы решений похожи.
Как свинка на морскую свинку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах
Сообщение01.09.2021, 17:58 
Заслуженный участник


20/12/10
9106
Еще один комментарий по поводу problem 16 (см. post1527704.html#p1527704). Если мы хотим решить это уравнение 4-й степени, оставаясь в поле действительных чисел максимально долго, то мы должны, применяя метод Феррари или как было описано выше, использовать иррациональный корень кубической резольвенты (он является вещественной квадратичной иррациональностью из $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$). Тогда мы получим два квадратных уравнения, в коэффициентах которых присутствует неупрощаемый двойной вещественный радикал $\sqrt{2+\sqrt{5}}$. Если эти уравнения решать обычным образом (через дискриминант), то получаемые (комплексные, как мы уже знаем) корни будут записаны как трижды вложенные радикалы. Более точно, вещественные части этих корней --- это дважды вложенные вещественные радикалы, а мнимые --- уже трижды вложенные вещественные радикалы. С другой стороны, из ответа к задаче, который дал Vardi, следует, что для вещественной и мнимой части достаточно дважды вложенных вещественных радикалов (ответ в такой форме мы получим, если в методе Феррари будем использовать рациональный корень кубической резольвенты). Это означает, что более школьный способ решения задачи дает корни в усложненном виде. Иными словами, полученные выражения для мнимых частей корней могут и должны быть упрощены. В этой связи несколько интригующе выглядит концовка текста от Sergey Markelov (см. соответствующий прикрепленный файл из post1527704.html#p1527704): "we arrive at ... from which the four solutions on p. 55 follow immediately". Здесь непонятно, о каких 4-х решениях идет речь; если это решения в форме Vardi, то интригует это "immediately": все-таки упрощение выражений типа $\sqrt{-7+4\sqrt{5}+(-8+4\sqrt{5})\sqrt{2+\sqrt{5}}}$ не совсем банальная (для школьника) задача. Или я не прав?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group