Число левых и правых смежных классов

[EminentVictorians]

Пусть $G$ - группа, $H$ - ее подгруппа. $H$ порождает разбиение группы $G$ на непересекающиеся множества - левые смежные классы $gH$ всевозможных элементов $g \in G$. Аналогично и с правыми смежными классами. Т.е. смежные классы - это просто подмножества группы $G$. Далее я приведу цитату из Винберга, которая мне не особо понятна.

Винберг, стр. 176 писал(а):

Заметим, что инверсия $g \to g^{-1}$ устанавливает взаимно однознач­ное соответствие между множествами левых и правых смежных классов. А именно,

$$(gH)^{-1} = Hg^{-1}$$

У меня по этому поводу 2 вопроса.

1. Что означает $(gH)^{-1}$? $gH$ - это просто элемент фактормножества, а на этом фактормножестве вроде никаких унарных операций взятия обратных нету. Единственная трактовка, которую я могу предположить, вот такая: $(gH)^{-1} = \{(gh)^{-1}, h\in H\} = \{(h^{-1}g^{-1}, h\in H\} = Hg^{-1}$. Вроде все сошлось.


2. Меня смущает фраза "соответствие между множествами левых и правых смежных классов". Множества смежных классов - это фактормножества, которые сами состоят из смежных классов. Я сначала прочитал эту фразу как: "фактормножество произвольной группы $G$, состоящее из левых смежных классов по произвольной ее подгруппе $H$, равномощно фактормножеству, состоящему из правых смежных классов по этой же подгруппе". Интересно, верно ли это. Выглядит как-то не очень реально. Может быть в случае, если смежных классов конечное число, это верно?

Скорее всего тут имелось в виду, что равномощны не множества левых и правых смежных классов, а некоторые пары самих смежных классов (смежный класс ведь это подмножество группы $G$ и равномощны поэтому некоторые пары этих подмножеств, а именно $gH$ и $Hg^{-1}$, но я не знаю, вписывается ли это в текст цитаты).

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1527107 писал(а):

Множества смежных классов - это фактормножества

Фактормножество — это множество с определённой на ём операцией, единицей нейтральным элементом и т.п. Тут же, имхо, имеется в виду просто набор классов.

EminentVictorians в сообщении #1527107 писал(а):

Интересно, верно ли это

Дык — вам же взаимно однозначное соответствие привели. Чего ещё надо?

EminentVictorians в сообщении #1527107 писал(а):

Скорее всего тут имелось в виду

Нет, скорее всего имелось в виду ровното, во что вы не верите. Мощность смежных классов вообще одинакова всегда, имхо (лень доказывать, но, по идее, очень просто).

[nnosipov]

iifat в сообщении #1527108 писал(а):

Фактормножество — это множество с определённой на ём операцией, единицей нейтральным элементом и т.п.

Нет, это уже факторгруппа. А фактормножество --- это просто множество классов эквивалентности (в данном случае --- по подгруппе $H$).

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1527108 писал(а):

Мощность смежных классов вообще одинакова всегда, имхо (лень доказывать, но, по идее, очень просто).

У меня не получается это доказать. С чего начать?

[Qlin]

Взятие обратного элемента $g \to g^{-1}$ обратимо, поэтому является биекцией. Взятие обратного смежного класса $gH \to (gH)^{-1}=Hg^{-1}$ тоже является биекцией по той же причине. Оно отображает все левые смежные классы в правые, поэтому множества левых и правых смежных классов равномощны.

[EminentVictorians]

Поставим в соответствие каждому левому смежному классу $gH$ правый смежный класс $Hg^{-1}$. Возьмем 2 разных класса $gH$ и $kH$ (т.е. $g$ не эквивалентно $k$). Тогда $g^{-1}$ будет не эквивалентен $k^{-1}$, а значит $Hg^{-1}$ и $Hk^{-1}$ будут разными смежными классами, инъективность доказана. Возьмем произвольный правый смежный класс $Hx$. В него отобразится левый смежный класс $x^{-1}H$, т.е. сюрьективность тоже доказана, а значит множества левых и правых смежных классов действительно равномощны. Все получилось.

-- 25.07.2021, 20:42 --

А, ну еще надо корректность отображения доказать. Но это тоже легко: из эквивалентности $g$ и $k$ следует эквивалентность $g^{-1}$ и $k^{-1}$.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1527115 писал(а):

С чего начать?

Опять же, с попытки построить биекцию промежду $H$ и $gH$.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1527153 писал(а):

Опять же, с попытки построить биекцию промежду $H$ и $gH$.

Они все и правда равномощные, обалдеть. Никогда бы не поверил, если бы сам не доказал. Сама подгруппа $H$ является смежным классом. Берем любой смежный класс $gH$ и строим отображение $gh \to h$. Оно является биекцией.

[Qlin]

EminentVictorians в сообщении #1527253 писал(а):

Сама подгруппа $H$ является смежным классом.

И что ?

EminentVictorians в сообщении #1527253 писал(а):

Берем любой смежный класс $gH$ и строим отображение $gh \to h$. Оно является биекцией.

И что ? Как эта биекция помогает доказать равномощность множеств всех левых и всех правых смежных классов ?

[iifat]

Qlin в сообщении #1527287 писал(а):

равномощность множеств всех левых и всех правых смежных классов

Тут уже речь идёт о равномощности любой пары смежных классов.