Стержень у упора и шайба

[Ignatovich]

Однородный стержень лежит на гладком горизонтальном столе. Один конец стержня находится вблизи неподвижного упора. Во второй конец стержня попадает небольшая шайба. Ее скорость $\upsilon$ направлена горизонтально перпендикулярно стержню. Считая удары упругими найдите угловую скорость стержня и скорость его центра масс после столкновений с шайбой и упором. Массы стержня и шайбы, начальная скорость шайбы известны.

Задача вполне техническая, студенческая, но с некоторой, на мой взгляд, неожиданностью.

[rascas]

Если я правильно понял задачу. (И правильно её решил )

$V=\frac{m}{m+\frac{M}{3}}v$

$\omega = \frac{2V}{l}$

Где
$m$ - масса шайбы
$M$ - масса стержня
$l$ - длина стержня
$V$ - скорость центра масс стержня
$\omega$ - угловая скорость стержня

[Ignatovich]

rascas, у меня иначе.

На всякий случай помещаю рисунок к задаче:

[DimaM]

Ignatovich
У меня вышло

(Оффтоп)

$$V=\frac{4m}{M+4m}v,\qquad \omega=0.$$

Действительно неожиданно.

[Ignatovich]

DimaM
У меня также. И чтобы получить результат $\omega=0$ пришлось записать 5 уравнений, выражающих законы сохранения для двух столкновений.

[DimaM]

Ignatovich в сообщении #1525526 писал(а):

И чтобы получить результат $\omega=0$ пришлось записать 5 уравнений, выражающих законы сохранения для двух столкновений.

То же самое.
Еще интересно, что обычно нулевой корень квадратного уравнения отбрасываем, а здесь состоянию до столкновения соответствует как раз ненулевой.

[fred1996]

Наверное задачку проще решать задав величину импульса при первом столкновении.
Если она равна $P$, тогда из сохранении энергии можно угадать величину импульса второго столкновения.
Поскольку очевидно, что ответ находится из решения квадратного уравнения, то он угадываетя на раз практически без формул.
Одно решение тривиально - столкновения нет и импульс ноль, А второй корень будет тот же импульс $P$, что дает нам в результате нулевую угловую скорость.
Так что особой неожиданности вроде нет.
Промежуточные "вычисления" я опускаю. Их в такой постановке каждый может проделать в уме.

[Ignatovich]

fred1996
Если вместо однородного стержня рассмотреть симметричную гантель (два малых шарика, соединенных невесомым или массивным стержнем), то согласно вашим рассуждениям получим нулевую угловую скорость после соударений. Так ли это?

[fred1996]

Ignatovich
Конечно нет.
Можно сформулировать задачку следующим образом.
Пусть у нас есть твердое тело массы $m$ с моментом инерции $I$
Куда его надо ударить, чтобы после второго симметричного относительно ЦМ удара тело перестало вращаться?
Получается простоe соотношение: $I=\frac{1}{3}mx^2$
Очевидно что однородный стержень, если его ударить по самому концу ($l=2x$), подойдет.
А вот гантельку придется "бить" подальше от центра

[starik111]

Такое ощущение, что вы считаете, что после удара шайбы по одному концу стержня, другой конец стержня начнет движение в противоположную сторону относительно неподвижной системы, в которой решаем задачу. Но, думаю, оба конца стержня в неподвижной системе начнут движение в одну сторону, просто конец, в который ударила шайба, будет опережать противоположный конец. Так как нет ни одной ни внешней ни внутренней силы, направленной в противоположную, от направления силы со стороны шайбы на стержень, откуда-же взяться ускорению в эту противоположную сторону. А вот, если-бы какая-то точка стержня была закреплена на оси, тогда, со сторны этой оси, появилась бы сила. Тогда один конец будет двигаться в одну сторону, другой в противоположную, относительно неподвижной оси. В нашей задаче центр массы стержня будет двигаться поступательно в сторону движения шайбы до столкновения, а относительно центра массы стержня он будет вращаться.

[fred1996]

starik111
А вы попробуйте просто посчитать. Без ощущений.

[wrest]

Я тут сделал таки свои выкладки

(Оффтоп)

Чтоб DimaM не подумал что я у него ворую, а то меня это ощущение не покидает.

Энергия, переданная стержню при первом ударе, раскладывается на энергию поступательного движения ($E_k$) и вращательную ($E_r$). В каком соотношении? У меня получилось так что $E_r/E_k=3$ т.е. одна четверть поступательная и три четверти вращательная. Это, понятно, при любом перпендикулярном ударе по концу стержня. Можно ли это как-то получить рукомахательно, зная только что момент инерции стержня относительно середины равен $I_c=\dfrac{ml^2}{12}$ (а относительно конца $I_r=\dfrac{ml^2}{3}$) -- не знаю.

Дальше. Посчитаем теперь "приведенную массу" стержня, в том смысле, что если заменить стержень массы $M$ на шайбу $M_1$, то какой массы должна быть эта шайба $M_1$, чтобы влетающая шайба $m$ отскочила от неё так же как от стержня $M$? У меня получается что $M_1$=$M/4$ То есть получается, что раз только четверть полученной стержнем энергии конвертируется в поступательную, то и массы его должна быть в 4 раза больше чтобы представлять собой препятствие "эквивалентной массы" для шайбы.
То есть скажем чтобы шайба массой 10г в остановилась после удара, стержень должен быть в четыре раза тяжелее -- 40г. Это тоже как-то должно рукомахательно следовать просто из величины момента инерции стержня...

[wrest]

Собсно выкладки. Меня интересовала только угловая скорость.

(Оффтоп)

Пусть $m_1, m_2, v_0$ -- соответственно массы шайбы, стержня и скорость шайбы.
Сохранение импульса:
$m_1v_0=m_1u+m_2v_1$ -- тут $v_1$ это скорость цетнра масс стержня после первого удара; $u$ - скорость шайбы после первого удара
Сохранение момента испульса:
$m_1v_0=m_1u+\dfrac{wm_2l^2}{6}$ -- тут $l$ это длина стержня, $w$ это угловая скорость стержня (соори не умею писать омегу)
Сохранение полной кинетической энергии:
$m_1v_0^2=m_1u^2+\dfrac{m_2l^2w^2}{12}+m_2v_1^2$
Дальше идут не слишком громоздкие, но неприятные при этом выкладки в которых решается приведенная выше система уравнений относительно неизвестных $u;v_1;w$ ($u$ нас далее интересовать не будет).

Считаем угловую скорость и скорость ЦМ стержня после первого столкновения.

$$w=\dfrac{12v_0m_1}{(4m_1+m_2)l} \eqno(1)$$

и

$$v_1=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2} \eqno (2)$$

Второе столкновение (с упором) можно представить как столкновение с шайбой бесконечной массы, соответственно подходят формулы выше в которых $m_1 \to \infty$ или $\dfrac{m_2}{m_1} \to 0}$.
Тогда, угловая скорость после второго столкновения получит приращение

$$w_2=\dfrac{3v_3}{l} \eqno(3)$$

где $v_3$ нам надо найти - это линейная скорость между упором (ака шайбой бесконечной массы) и концом стержня до второго столкновения. Нам уже известно, что к моменту второго столкновения центр масс стержня двигается со скоростью $v_1$ записанной выше, а сам стержень вращается со скоростью $w$ также записанной выше. Тогда конец стержня движется навстречу упору со скоростью

$$v3=v1-\dfrac{wl}{2} \eqno(4)$$

Теперь подставлем (2) в (4) и получаем

$$v_3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{wl}{2} \eqno(5)$$

Подставляем (1) в (5) и получаем

$$v_3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{12lv_0m_1}{2l(4m_1+m_2)} \eqno (6)$$

Приводим подобные в (6) и получаем

$$v3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{6v_0m_1}{4m_1+m_2}=-\dfrac{4m_1v_0}{4m_1+m_2} \eqno(7)$$

и наконец подставляем (7) в (3), где находим что

$$w2=-\dfrac{12m_1v_0}{l(4m_1+m_2)} \eqno(8)$$

$w+w_2=0$ - то есть угловая скорость стержня после вторго столкновения ноль.

[DimaM]

wrest в сообщении #1540333 писал(а):

Чтоб DimaM не подумал что я у него ворую, а то меня это ощущение не покидает.

(Оффтоп)

Я такое только про условия писал. Но сейчас с этим все хорошо.

wrest в сообщении #1540342 писал(а):

Собсно выкладки.

Кое-где подчерки перед нижними индексами потерялись.

(Оффтоп)

Омега пишется \omega: $\omega$.

[wrest]

DimaM в сообщении #1540467 писал(а):

Кое-где подчерки перед нижними индексами потерялись.

Это да. Но всего час (или два?) на редактирование... В общем, не успел.