2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стержень у упора и шайба
Сообщение06.07.2021, 09:46 


21/07/20
157
Однородный стержень лежит на гладком горизонтальном столе. Один конец стержня находится вблизи неподвижного упора. Во второй конец стержня попадает небольшая шайба. Ее скорость $\upsilon$ направлена горизонтально перпендикулярно стержню. Считая удары упругими найдите угловую скорость стержня и скорость его центра масс после столкновений с шайбой и упором. Массы стержня и шайбы, начальная скорость шайбы известны.

Задача вполне техническая, студенческая, но с некоторой, на мой взгляд, неожиданностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение06.07.2021, 15:58 


30/01/18
399
Если я правильно понял задачу. (И правильно её решил :D )

$V=\frac{m}{m+\frac{M}{3}}v$

$\omega = \frac{2V}{l}$

Где
$m$ - масса шайбы
$M$ - масса стержня
$l$ - длина стержня
$V$ - скорость центра масс стержня
$\omega$ - угловая скорость стержня

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение06.07.2021, 20:31 


21/07/20
157
rascas, у меня иначе.

На всякий случай помещаю рисунок к задаче:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение07.07.2021, 08:04 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Ignatovich
У меня вышло

(Оффтоп)

$$V=\frac{4m}{M+4m}v,\qquad \omega=0.$$

Действительно неожиданно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение07.07.2021, 20:32 


21/07/20
157
DimaM
У меня также. И чтобы получить результат $\omega=0$ пришлось записать 5 уравнений, выражающих законы сохранения для двух столкновений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение08.07.2021, 06:32 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Ignatovich в сообщении #1525526 писал(а):
И чтобы получить результат $\omega=0$ пришлось записать 5 уравнений, выражающих законы сохранения для двух столкновений.

То же самое.
Еще интересно, что обычно нулевой корень квадратного уравнения отбрасываем, а здесь состоянию до столкновения соответствует как раз ненулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение14.07.2021, 22:45 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Наверное задачку проще решать задав величину импульса при первом столкновении.
Если она равна $P$, тогда из сохранении энергии можно угадать величину импульса второго столкновения.
Поскольку очевидно, что ответ находится из решения квадратного уравнения, то он угадываетя на раз практически без формул.
Одно решение тривиально - столкновения нет и импульс ноль, А второй корень будет тот же импульс $P$, что дает нам в результате нулевую угловую скорость.
Так что особой неожиданности вроде нет.
Промежуточные "вычисления" я опускаю. Их в такой постановке каждый может проделать в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение28.07.2021, 09:43 


21/07/20
157
fred1996
Если вместо однородного стержня рассмотреть симметричную гантель (два малых шарика, соединенных невесомым или массивным стержнем), то согласно вашим рассуждениям получим нулевую угловую скорость после соударений. Так ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение28.07.2021, 11:11 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ignatovich
Конечно нет.
Можно сформулировать задачку следующим образом.
Пусть у нас есть твердое тело массы $m$ с моментом инерции $I$
Куда его надо ударить, чтобы после второго симметричного относительно ЦМ удара тело перестало вращаться?
Получается простоe соотношение: $I=\frac{1}{3}mx^2$
Очевидно что однородный стержень, если его ударить по самому концу ($l=2x$), подойдет.
А вот гантельку придется "бить" подальше от центра

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение28.07.2021, 16:50 


17/07/21
1
Такое ощущение, что вы считаете, что после удара шайбы по одному концу стержня, другой конец стержня начнет движение в противоположную сторону относительно неподвижной системы, в которой решаем задачу. Но, думаю, оба конца стержня в неподвижной системе начнут движение в одну сторону, просто конец, в который ударила шайба, будет опережать противоположный конец. Так как нет ни одной ни внешней ни внутренней силы, направленной в противоположную, от направления силы со стороны шайбы на стержень, откуда-же взяться ускорению в эту противоположную сторону. А вот, если-бы какая-то точка стержня была закреплена на оси, тогда, со сторны этой оси, появилась бы сила. Тогда один конец будет двигаться в одну сторону, другой в противоположную, относительно неподвижной оси. В нашей задаче центр массы стержня будет двигаться поступательно в сторону движения шайбы до столкновения, а относительно центра массы стержня он будет вращаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение28.07.2021, 17:13 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
starik111
А вы попробуйте просто посчитать. Без ощущений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение24.11.2021, 12:07 


05/09/16
9449
Я тут сделал таки свои выкладки :mrgreen:

(Оффтоп)

Чтоб DimaM не подумал что я у него ворую, а то меня это ощущение не покидает.

Энергия, переданная стержню при первом ударе, раскладывается на энергию поступательного движения ($E_k$) и вращательную ($E_r$). В каком соотношении? У меня получилось так что $E_r/E_k=3$ т.е. одна четверть поступательная и три четверти вращательная. Это, понятно, при любом перпендикулярном ударе по концу стержня. Можно ли это как-то получить рукомахательно, зная только что момент инерции стержня относительно середины равен $I_c=\dfrac{ml^2}{12}$ (а относительно конца $I_r=\dfrac{ml^2}{3}$) -- не знаю.

Дальше. Посчитаем теперь "приведенную массу" стержня, в том смысле, что если заменить стержень массы $M$ на шайбу $M_1$, то какой массы должна быть эта шайба $M_1$, чтобы влетающая шайба $m$ отскочила от неё так же как от стержня $M$? У меня получается что $M_1$=$M/4$ То есть получается, что раз только четверть полученной стержнем энергии конвертируется в поступательную, то и массы его должна быть в 4 раза больше чтобы представлять собой препятствие "эквивалентной массы" для шайбы.
То есть скажем чтобы шайба массой 10г в остановилась после удара, стержень должен быть в четыре раза тяжелее -- 40г. Это тоже как-то должно рукомахательно следовать просто из величины момента инерции стержня...

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение24.11.2021, 13:48 


05/09/16
9449
Собсно выкладки. Меня интересовала только угловая скорость.

(Оффтоп)

Пусть $m_1, m_2, v_0$ -- соответственно массы шайбы, стержня и скорость шайбы.
Сохранение импульса:
$m_1v_0=m_1u+m_2v_1$ -- тут $v_1$ это скорость цетнра масс стержня после первого удара; $u$ - скорость шайбы после первого удара
Сохранение момента испульса:
$m_1v_0=m_1u+\dfrac{wm_2l^2}{6}$ -- тут $l$ это длина стержня, $w$ это угловая скорость стержня (соори не умею писать омегу)
Сохранение полной кинетической энергии:
$m_1v_0^2=m_1u^2+\dfrac{m_2l^2w^2}{12}+m_2v_1^2$
Дальше идут не слишком громоздкие, но неприятные при этом выкладки в которых решается приведенная выше система уравнений относительно неизвестных $u;v_1;w$ ($u$ нас далее интересовать не будет).

Считаем угловую скорость и скорость ЦМ стержня после первого столкновения.
$$w=\dfrac{12v_0m_1}{(4m_1+m_2)l} \eqno(1)$$
и
$$v_1=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2} \eqno (2)$$

Второе столкновение (с упором) можно представить как столкновение с шайбой бесконечной массы, соответственно подходят формулы выше в которых $m_1 \to \infty$ или $\dfrac{m_2}{m_1} \to 0}$.
Тогда, угловая скорость после второго столкновения получит приращение
$$w_2=\dfrac{3v_3}{l} \eqno(3)$$
где $v_3$ нам надо найти - это линейная скорость между упором (ака шайбой бесконечной массы) и концом стержня до второго столкновения. Нам уже известно, что к моменту второго столкновения центр масс стержня двигается со скоростью $v_1$ записанной выше, а сам стержень вращается со скоростью $w$ также записанной выше. Тогда конец стержня движется навстречу упору со скоростью
$$v3=v1-\dfrac{wl}{2} \eqno(4)$$
Теперь подставлем (2) в (4) и получаем
$$v_3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{wl}{2} \eqno(5)$$
Подставляем (1) в (5) и получаем
$$v_3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{12lv_0m_1}{2l(4m_1+m_2)} \eqno (6)$$
Приводим подобные в (6) и получаем
$$v3=\dfrac{2m_1v_0}{4m_1+m_2}-\dfrac{6v_0m_1}{4m_1+m_2}=-\dfrac{4m_1v_0}{4m_1+m_2} \eqno(7)$$
и наконец подставляем (7) в (3), где находим что
$$w2=-\dfrac{12m_1v_0}{l(4m_1+m_2)} \eqno(8)$$

$w+w_2=0$ - то есть угловая скорость стержня после вторго столкновения ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение25.11.2021, 07:42 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
wrest в сообщении #1540333 писал(а):
Чтоб DimaM не подумал что я у него ворую, а то меня это ощущение не покидает.

(Оффтоп)

Я такое только про условия писал. Но сейчас с этим все хорошо.


wrest в сообщении #1540342 писал(а):
Собсно выкладки.

Кое-где подчерки перед нижними индексами потерялись.

(Оффтоп)

Омега пишется \omega: $\omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень у упора и шайба
Сообщение25.11.2021, 09:38 


05/09/16
9449
DimaM в сообщении #1540467 писал(а):
Кое-где подчерки перед нижними индексами потерялись.

Это да. Но всего час (или два?) на редактирование... В общем, не успел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group