Ещё одна старая нерешённая проблема была, похоже, решена год назад.
Суть проблемы сводится, грубо говоря, к следующему: пусть есть последовательность натуральных чисел "высокой плотности" (то есть ряд из обратных к ним расходится); тогда в этой последовательности встретится бесконечно много арифметических прогрессий длины 3.
Если не ошибаюсь, в таком виде формулировал эту гипотезу Эрдёш и я сам когда-то давно пытался строить максимально плотные конечные наборы (увлекательное занятие!). [Здесь немного больше об этом:
A003002.]
Вот
ссылка на Архив и ещё на
обсуждение с участием одного из авторов.
Доказательство сложное, пока не опубликовано в солидных журналах и не слышно, чтобы под ним подписался кто-то из именитых. Но хочется верить (оснований достаточно, как мне кажется).
