расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия

[mihatel]

Всем добрый день. Такая задача:
В плоскости $P$ дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC=l, AC = 2a$). Шар радиуса $r$ касается плоскости $P$ в точке $B$. Две скрещивающиеся прямые проходят через точки $A$ и $C$ и касаются шара. Угол между каждой из этих прямых и плоскостью $P$ равен $\alpha$. Найти расстояние между этими прямыми.

Непонятно, как решать эту задачу. Например, если ввести систему координат и попытаться найти уравнения этих самых прямых, получаются трехэтажные выражения. А ведь на самих уравнениях задача не заканчивается. Если бы были заданы числа, тогда по уравнению одной прямой и плоскости, ей параллельной и содержащей другую прямую, можно было бы найти ответ. Но когда каждое уравнение занимает пол-страницы, по-моему, это не тот путь. А другого я не вижу. Подскажите, пожалуйста.

[пианист]

Можно попробовать так: после некоторого медитирования приходим к выводу, что одна прямая переходит в другую поворотом относительно диаметра шара, перпендикулярного $P$, на угол $\hat{B}$.
Угол между прямой и плоскостью $P$ известен ($\alpha$), отсюда можно найти высоту точки касания прямой шара и, соответственно, расстояние от проекции прямой на плоскость до точки $B$.

[mihatel]

пианист в сообщении #1524786 писал(а):

Можно попробовать так: после некоторого медитирования приходим к выводу, что одна прямая переходит в другую поворотом относительно диаметра шара, перпендикулярного $P$, на угол $\hat{B}$.
Угол между прямой и плоскостью $P$ известен ($\alpha$), отсюда можно найти высоту точки касания прямой шара и, соответственно, расстояние от проекции прямой на плоскость до точки $B$.

Извините, я не медиум и мне нужны еще кое-какие пояснения. Найти высоту точки касания. Относительно чего? $P$? Хорошо. Расстояние от проекции прямой на плоскость... На какую? На $P$? И что? Это расстояние есть ответ? Почему? Я, кстати, сомневаюсь.

[пианист]

Прошу прощения, за неясность изложения.

mihatel в сообщении #1524949 писал(а):

Найти высоту точки касания. Относительно чего?

Высота $=$ расстояние от точки касания прямой шара до плоскости $P$.

mihatel в сообщении #1524949 писал(а):

Расстояние от проекции прямой на плоскость... На какую?

Расстояние от проекции прямой на плоскость $P$.

mihatel в сообщении #1524949 писал(а):

Это расстояние есть ответ?

Ну нет, конечно же!
Я наметил путь, которым бы воспользовался, решая Вашу задачу. По сути, в задаче нужно найти расстояние между двумя образующими однополостного гиперболоида.

[mihatel]

пианист в сообщении #1524988 писал(а):

Ну нет, конечно же!
Я наметил путь, которым бы воспользовался, решая Вашу задачу. По сути, в задаче нужно найти расстояние между двумя образующими однополостного гиперболоида.

Ну нет. Задача эта - не моя. Все свои я давно уже решил. Это просто интересная задача. И гиперболоид тут совершенно не причем. Задачу надо решать школьными методами. (Хотя лично меня удовлетворит и решение с гиперболоидом. Не вижу только, как его можно использовать. Выписать параметрическое семейство образующих, выбрать из них две подходящие и считать общим формулам?) Повторяю, нужно расстояние между скрещивающимися прямыми. Я думаю, что надо искать не само расстояние, а какой-то его эквивалент, который можно вычислить относительно легко. В этом и заключается суть моего вопроса. Я этот эквивалент не вижу. Причем тут проекции на плоскость $P$ и их расстояние до точки $B$? Не понимаю.

[пианист]

mihatel в сообщении #1525080 писал(а):

Ну нет. Задача эта - не моя. Все свои я давно уже решил.

Зачем же Вы тогда написали в раздел "Помогите решить/разобраться"? :о

mihatel в сообщении #1525080 писал(а):

Причем тут проекции на плоскость $P$ и их расстояние до точки $B$?

Мне так проще, убираем лишнее. Есть: одна прямая (диаметр шара, перпендикулярный $P$), вторая, скрещивающаяся с первой (касательная к шару), и третья, получаемая поворотом второй относительно первой на угол $\hat{B}$ (вторая касательная к шару). Угол (известный, $\alpha$) и расстояние от проекции касательной на $P$ до $B$ определяют взаимное расположение прямых в пространстве.
После этого можно и аналитически, уравнение одной касательной пишем в системе координат, где оно проще (где она параллельна одной из координатных плоскостей), а вторая касательная получается поворотом на угол $\hat{B}$. Никаких этажей.

[mihatel]

пианист в сообщении #1525093 писал(а):

После этого можно и аналитически, уравнение одной касательной пишем в системе координат, где оно проще (где она параллельна одной из координатных плоскостей), а вторая касательная получается поворотом на угол $\hat{B}$. Никаких этажей.

Не знаю, не нравится мне все это. Первая сложность - $\hat{B}$. Уже не первый этаж. Потом, если взять координатную плоскость параллельно касательной, то точки А и С будут иметь чудовищные координаты. Даже если получатся уравнения касательных, как найти расстояние без аналитической геометрии? А это школьная задача, на полчаса.

Кстати, эта задача, как написано в книжке, предлагалась на экзамене на Физический факультет МГУ в 1979 году. В предыдущие и последующие несколько лет давались аналогичные задачи, которые, в отличие от этой, действительно легко решаются выбором системы координат. Поэтому я и написал в раздел "помогите разобраться".

[redicka]

Задача на запутывание. Ввиду симметрии - расстояние равно нулю.

[svv]

redicka
Не всё так просто. Допустим, плоскость $P$ горизонтальна, Вы стоите в точке $A$ и смотрите на шар. Если угол $\alpha$ не слишком большой, есть две возможности провести из $A$ касательную к шару под углом $\alpha$ к $P$ — левее центра шара и правее центра шара. То же касается и точки $C$. Так вот, если из $A$ провести касательную левее центра, а из $C$ правее центра, тогда ситуация действительно получается симметричная и эти касательные пересекутся. Но нарушится условие, что прямые скрещивающиеся. А вот если из $A$ провести касательную правее центра, и из $C$ тоже правее, касательные будут скрещивающимися. Но симметрии уже не будет.

[redicka]

Согласен. Тогда нулевое расстояние нужно было исключить в условии задачи т.к. оно допустимо, несмотря на то, что сказано о скрещивающихся прямых.
Ведь уместен вопрос: когда расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю?

[svv]

Если так считать, то возникнет необходимость в новом термине, вроде такого: скрещивающиеся прямые называются строго скрещивающимися, если они не пересекаются.

Кроме того, скрещивающиеся в Вашем смысле — это просто непараллельные. А это слово лучше: в нём нет ужасающе скрежещущих шипящих.

[пианист]

mihatel в сообщении #1525222 писал(а):

это школьная задача, на полчаса

Пас. Такого решения не вижу. Хоть аналитически, хоть на построение, решение получается громоздкое, никак не на полчаса школьнику.
Разве только, правильно высказанное предположение, и автор имел в виду пару пересекающихся касательных (но тогда, да, непонятно, с чего их назвали скрещивающимися).
В общем, обращайтесь к автору задачи.

[TOTAL]

redicka в сообщении #1525259 писал(а):

Ведь уместен вопрос: когда расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю?

Вопрос "уместен", если забыть, что скрещивающиеся по определению не лежат в одной плоскости.

[redicka]

TOTAL в сообщении #1525278 писал(а):

redicka в сообщении #1525259 писал(а):

Ведь уместен вопрос: когда расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю?

Вопрос "уместен", если забыть, что скрещивающиеся по определению не лежат в одной плоскости.

Согласен. Не сообразил посмотреть определение скрещивающихся прямых в википедии

[HungryLion]

А разве

mihatel в сообщении #1525222 писал(а):

школьная задача, на полчаса

и

mihatel в сообщении #1525222 писал(а):

предлагалась на экзамене на Физический факультет МГУ в 1979 году

не взаимоисключающие параграфы?

Я, к сожалению , не могу нарисовать приемлемую картинку для решения даже для себя на бумаге, но попробую изложить идею.
Обозначим точки касания шара прямыми, проходящими через $A$ и $C$ как $A'$ и $C'$ соответственно. Эти точки находятся на высоте $h$ от плоскости $P$.
$O$ - центр шара. Обозначим $B'$ точку лежащую на радиусе шара $OB$ на высоте $h$.
Треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны, так что легко находим $|A'C'|$.
Построим отрезок $A''C'$ параллельный $AA'$ и отрезок $C''A'$ параллельный $CC'$ соответственно. Если я ничего не путаю, то расстояние между параллельными плоскостями $AA'C''$ и $A''C'C$ и будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Далее находим угол $\beta$ между плоскостями $AA'C''$ и $P$ по известным сторонам треугольника $AA'C''$ и высоте $h$.
Зная $|A'C'|$ и $\beta$ находим искомое расстояние.

В результате у меня получилось $\frac{2 a \sin{\alpha}\sqrt{r(2 l\sin{\alpha} -r)}}{\sqrt{l^2-a^2}}$, но я мог где-то напутать и, скорее всего, напутал.