Происхождение предыдущего уравнения

, а также парного ему уравнения

следующее:
Рассмотрим уравнение

.
Полагая

и приводя

к Вейерштрассову виду получаем уравнение

,
полагая

и приводя

к Вейерштрассову виду получаем уравнение

.
Уравнение

как и уравнение

имеет решение в натуральных числах, а именно

,
однако, решений типа

(как в уравнении

), у него нет. И вышеуказанная параметризация - единственная для уравнения

, хотя для отдельных

имеются другие решения в натуральных

, например,

.
А для

, например, натуральных решений, кроме получаемых из вышеуказанной параметризации, не имеется.