2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение22.05.2021, 21:07 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Рассматривается уравнение $(x^2+x)(y^3+y)=z^3+z$.
Предлагается найти его 1-параметрическое решение в целых числах $x,y,z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение30.05.2021, 22:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Ответ получается с помощью стандартных инструментов для эллиптических кривых.
$x=-(N^2+2)(N^4+1)(N^6+2N^4+N^2+1)$
$y=N$
$z=(N^2+2)(N^2+1)(N^4+1)N$,
где $N$ - целый параметр
Интересно что имеются нетривиальные 1-параметрические решения в целых числах и для других уравнений из этой серии
$(x^2+x)+(y^3+y)=z^3+z$,
$(x^2-x)(y^3-y)=z^3-z$
Предлагается найти эти решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 15:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Обобщающий вариант для исходного уравнения.
Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 16:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
scwec в сообщении #1521591 писал(а):
Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.
Симпатично. Можно поискать решение в многочленах от $N$ небольшой степени (иногда такой фокус проходит).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3156
Уфа
Численное компьютерное моделирование ведь никто не запрещал? :D
$y = N(N^2+2)$
$x=N^4+3N^2+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 17:25 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ну, такой скромный ответ нельзя не обнаружить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 18:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Ответ worm2 верный, согласен и с замечаниями nnosipov.
Все предыдущие уравнения также имеют решения в натуральных числах. Этим они и симпатичны.
Повышая степень $y$ до $4$, докажите, что уравнение $\dfrac{y^4+y}{x^2+x}=N$ при любом натуральном $N$
имеет решения в положительных рациональных числах $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение12.06.2021, 22:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Компактный ответ здесь: $(x,y)=(1,1)$ для $N=1$,
и для $N>1$
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$
Технологическое решение - приведение уравнения $(y^4+y)=N(x^2+x)$ к Вейерштрассовой форме в новых переменных $u,w$
(формулы перехода может дать Maple) $w^2=u^3-N^3{u}+N^3$.
У этого уравнения есть очевидные рациональные решения $(-N,\pm{N^2})$
Решение $(u,w)=(-N,N^2)$ при переходе от $u,w$ к $x,y$ соответствует
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение15.06.2021, 14:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Ещё о решении уравнений в натуральных числах.
Докажите, что уравнение $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1$
при любом натуральном $N$ имеет решение в натуральных числах $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 11:01 


02/04/18
246
Параметризуется, конечно, легко, с первой же догадки ($x=aN^2+bN+c\rightarrow a^3+4a$ - полный квадрат только при $a=2$), после чего короткий перебор значений свободного члена дает два парных представления $x=2N^2\pm1$.

Эмпирически (то есть по результатам подбора решений при разных $N$) найдена еще одна симпатичная параметризация: $(4N^3+1)^2-4N^2$. Соответственно, $y=64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1$

Вероятно, таких семейств много (бесконечно много), потому что при $N=1$ также годятся значения $x$ 15 и 640.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 17:31 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Параметризации Dendr верные.
Трактовка. Здесь имеется множество эллиптических кривых, зависящих от натурального параметра $N$.
Из целых точек $P=(2N^2+1,-4N^3-2N-1)$ и $Q=(2N^2-1,4N^3-2N+1)$ (первая параметризация Dendr)
на исходных эллиптических кривых, стандартным вычислением $P+Q$ в Pari, получаем на каждой кривой
$P+Q=(16N^6+8N^3-4N^2+1, 64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1)$ - вторая параметризация .
Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.
В пределах возможности вычислений, других параметризаций $x,y$, пригодных для всех натуральных $N$, не существует

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 19:57 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
scwec в сообщении #1522971 писал(а):
Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.
Тоже хотел бы это отметить. Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 21:45 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
nnosipov в сообщении #1523019 писал(а):
Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

Обратившись к Magma, для $N=2,3,4,5$, например, не имеется других подходящих значений $x,y$, кроме как из полученных параметризаций. Строго говоря, это, конечно, не является достаточным доказательством, и с этим надо согласиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение02.07.2021, 18:41 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Происхождение предыдущего уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1\qquad(1)$, а также парного ему уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N+1)x-1\qquad(2)$ следующее:
Рассмотрим уравнение $u^2+u+w^4+w=v^4+v\qquad(3)$.
Полагая $w=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(1)$,
полагая $v=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(2)$.
Уравнение $(2)$ как и уравнение $(1)$ имеет решение в натуральных числах, а именно
$x=16N^6+8N^3+4N^2+1, y=64N^9+48N^6+24N^5+12N^3+6N^2+2N+1$,
однако, решений типа $x=2N^2\pm{1}$ (как в уравнении $(1)$), у него нет. И вышеуказанная параметризация - единственная для уравнения $(2)$, хотя для отдельных $N$ имеются другие решения в натуральных $x,y$, например, $(N=1,x=1,y=3),(N=1,x=2,y=5),(N=4,x=5,y=73)$.
А для $N=2,3,6,7$, например, натуральных решений, кроме получаемых из вышеуказанной параметризации, не имеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group