2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение22.05.2021, 21:07 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Рассматривается уравнение $(x^2+x)(y^3+y)=z^3+z$.
Предлагается найти его 1-параметрическое решение в целых числах $x,y,z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение30.05.2021, 22:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ответ получается с помощью стандартных инструментов для эллиптических кривых.
$x=-(N^2+2)(N^4+1)(N^6+2N^4+N^2+1)$
$y=N$
$z=(N^2+2)(N^2+1)(N^4+1)N$,
где $N$ - целый параметр
Интересно что имеются нетривиальные 1-параметрические решения в целых числах и для других уравнений из этой серии
$(x^2+x)+(y^3+y)=z^3+z$,
$(x^2-x)(y^3-y)=z^3-z$
Предлагается найти эти решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 15:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Обобщающий вариант для исходного уравнения.
Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 16:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1521591 писал(а):
Докажите, что для любого натурального $N$ найдутся такие натуральные $x,y$, что
$\dfrac{y^3+y}{x^2+x}=N$.
Симпатично. Можно поискать решение в многочленах от $N$ небольшой степени (иногда такой фокус проходит).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Численное компьютерное моделирование ведь никто не запрещал? :D
$y = N(N^2+2)$
$x=N^4+3N^2+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 17:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ну, такой скромный ответ нельзя не обнаружить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение07.06.2021, 18:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ответ worm2 верный, согласен и с замечаниями nnosipov.
Все предыдущие уравнения также имеют решения в натуральных числах. Этим они и симпатичны.
Повышая степень $y$ до $4$, докажите, что уравнение $\dfrac{y^4+y}{x^2+x}=N$ при любом натуральном $N$
имеет решения в положительных рациональных числах $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение12.06.2021, 22:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Компактный ответ здесь: $(x,y)=(1,1)$ для $N=1$,
и для $N>1$
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$
Технологическое решение - приведение уравнения $(y^4+y)=N(x^2+x)$ к Вейерштрассовой форме в новых переменных $u,w$
(формулы перехода может дать Maple) $w^2=u^3-N^3{u}+N^3$.
У этого уравнения есть очевидные рациональные решения $(-N,\pm{N^2})$
Решение $(u,w)=(-N,N^2)$ при переходе от $u,w$ к $x,y$ соответствует
$x=\dfrac{2(N + 1)}{(N - 1)^2}$
$y=\dfrac{N + 1}{N - 1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение15.06.2021, 14:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ещё о решении уравнений в натуральных числах.
Докажите, что уравнение $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1$
при любом натуральном $N$ имеет решение в натуральных числах $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 11:01 


02/04/18
240
Параметризуется, конечно, легко, с первой же догадки ($x=aN^2+bN+c\rightarrow a^3+4a$ - полный квадрат только при $a=2$), после чего короткий перебор значений свободного члена дает два парных представления $x=2N^2\pm1$.

Эмпирически (то есть по результатам подбора решений при разных $N$) найдена еще одна симпатичная параметризация: $(4N^3+1)^2-4N^2$. Соответственно, $y=64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1$

Вероятно, таких семейств много (бесконечно много), потому что при $N=1$ также годятся значения $x$ 15 и 640.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 17:31 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Параметризации Dendr верные.
Трактовка. Здесь имеется множество эллиптических кривых, зависящих от натурального параметра $N$.
Из целых точек $P=(2N^2+1,-4N^3-2N-1)$ и $Q=(2N^2-1,4N^3-2N+1)$ (первая параметризация Dendr)
на исходных эллиптических кривых, стандартным вычислением $P+Q$ в Pari, получаем на каждой кривой
$P+Q=(16N^6+8N^3-4N^2+1, 64N^9+48N^6-24N^5+12N^3-6N^2+2N+1)$ - вторая параметризация .
Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.
В пределах возможности вычислений, других параметризаций $x,y$, пригодных для всех натуральных $N$, не существует

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 19:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1522971 писал(а):
Таких целых параметризаций конечное число, это следует из теоремы Морделла о конечности целых точек на эллиптических кривых.
Тоже хотел бы это отметить. Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение16.06.2021, 21:45 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1523019 писал(а):
Однако предъявление полного списка таких параметризаций (с доказательством полноты) не кажется очевидным.

Обратившись к Magma, для $N=2,3,4,5$, например, не имеется других подходящих значений $x,y$, кроме как из полученных параметризаций. Строго говоря, это, конечно, не является достаточным доказательством, и с этим надо согласиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+x)(y^3+y)=z^3+z
Сообщение02.07.2021, 18:41 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Происхождение предыдущего уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N-1)x+1\qquad(1)$, а также парного ему уравнения $y^2=x^3+(4N^4+4N+1)x-1\qquad(2)$ следующее:
Рассмотрим уравнение $u^2+u+w^4+w=v^4+v\qquad(3)$.
Полагая $w=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(1)$,
полагая $v=N$ и приводя $(3)$ к Вейерштрассову виду получаем уравнение $(2)$.
Уравнение $(2)$ как и уравнение $(1)$ имеет решение в натуральных числах, а именно
$x=16N^6+8N^3+4N^2+1, y=64N^9+48N^6+24N^5+12N^3+6N^2+2N+1$,
однако, решений типа $x=2N^2\pm{1}$ (как в уравнении $(1)$), у него нет. И вышеуказанная параметризация - единственная для уравнения $(2)$, хотя для отдельных $N$ имеются другие решения в натуральных $x,y$, например, $(N=1,x=1,y=3),(N=1,x=2,y=5),(N=4,x=5,y=73)$.
А для $N=2,3,6,7$, например, натуральных решений, кроме получаемых из вышеуказанной параметризации, не имеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group